第五章__厚壁圆筒的分析2[1]

当给定uSuu时，可以用上式确定。

当给定力的边条时，用位移表示应力分量的表达式确定A，B。

EEduuEBB1()[()][A(Ar)]r2222rdrrrr111r E[ABArB]E[(1)A(1)B] （5－14） 22222rr1r1EB[(1)A(1)]221r应力法和位移法这两种解法求得的位移，积分常数之间的关系为： C21u[(1)Cr(1)]1Er 

uArBr11C1,BC2. 比较得： AEE 这是按平面应力问题进行的讨论。平面应变问题只需做常数替换。 由： 得： 分析：当zrC1C2r2 和 C1C2r2

r2C1

z1Ezzr1Ez2C1

0或const时，r为常量。即在z方向的变形为均匀变形，垂直于

轴线的平面在变形过程中保持为平面。

5-1-2 均匀厚壁圆筒

如图示的厚壁圆筒内半径为a，外半径为b。内压p1，外压p2。 边条：rrap1,rr2rbp2

由（5－9）式：rC1C2则有：

rC1raC1rbC2a2C2b2rp1联解得： p2122Capbp21122ba  22abCp2p1222ba解释系数：

C1a2C2p1a22222 C1(ba)p2bp1a 22CbCpb122C11b2

a22(p1a2p2b)2C2p1a1ab222a2papb(pp)12212b2a2ba22

将C1,C2回代入（5－9）式~（5－10）式：r，，r，，u 应力分量为式（5－15）： rC1 1ba22C2r21ba222a2p1bp2abr22221r2ab222222ba(p2p1)

ap1bp2ba2222[ap1bp22(p2p1)]ab(p2p1)1ba22r2

2222ab(p2p1)1ap1bp2r22222barba  （5－15）

2222ab(p2p1)1ap1bp222222barba应变分量：

2222ab(p2p1)1ap1bp21[(1)(1)]r22222Ebarba  （5－16）

2222ab(p2p1)1ap1bp21[(1)(1)]22222Ebarba位移分量： u1E[(1)ab(p2p1)1ba2222r2(1)ap1bp2ba2222 r] （5－17）

分析：（1） 式（5－15）称拉梅公式，与弹性常数E,无关，适用于两类平面问题； （2） 式（5－16、17）为平面应力状态下的应变分量，位移分量； （3） 在考虑平面应变问题时，（5－16）、（5－17）式E,要替换。 轴向分量：（1）平面应力问题 （2）平面应变问题 z zzz0,z0 0,z0

r1Ez

2E(ba)220时， z1Err222(ap1bp2) （5－19）

22222 z0时， z2ba(ap1bp2) （5－18）

注：拉梅公式适用于kb/a为任意值的情况。 下面讨论两种情况：

1、p20,p10时，仅承受内压p1作用。

22222abp11ap1ab22(p12p1)r22222barbabar22ap1b 2 （5－20） (12)2rba22ap1b(12)22bar uap1E(ba)222[(1)br2 (1)r] （5－21）

2、p10,p20时，仅承受外压p2作用。

2bp2(1r22(ba) 2bp22(12(ba)arar22222) （5－22） ) ubp2E(ba)222[(1)ar(1)r] （5－23）

分析：图（5－2）则有：

（1）两种均压下，径向应力r均为压应力，且即： rrar(max)ra，r(max)rb。

p1，rrbp2

，即：

（2）均压下切向应力，内压时0，外压时0，且，2maxra

p20rababa2a22222p10

 p20rbba222p10;0p10ra2bp2ba2p10rbbaba2222p20

第二节 厚壁圆筒的弹塑性分析

基本情况：内外半径分别为a,b的厚壁圆筒，内部受压p，前面公式中p1p,p20理想弹塑性材料。（图5－3）

受力分析：p增大，增大，r增大  塑性状态（弹性区域减少，塑

性区域增加） 截面全部进入塑性状态（塑性极限状态）,此时有：ppmax，瞬时变形速度无穷大。

讨论问题：限定轴对称平面应变问题（z增大），5-2-1 屈服条件

1、塑性理论中的两种屈服条件 （1）米泽斯屈服条件

在极坐标系中，用应力分量表示的屈服条件，由式（3－23）可得出Rs。 r12。

22zzr6rzzr2s

22222 （2）特雷斯卡屈服条件

用主应力表示，由（3－21）式得出：ks/2；

max12,23,31s 2、轴对称平面应变问题（厚壁圆筒）屈服条件

rzzr0， r，，z均为主应力。 z0,12z12r

将z代入米泽斯屈服条件，有： r2[12r][21214r]

2 r r r2[r2r214r2rrr]

22[r12r2r]

21212r2r22r

2 r2222r2r

 r2r323212r2r122122r

122r2323r3rr2222

2r2r3232

r22即：

rr22s，有

2432s

r23s1.115s （5－24） (

0r0图（5-2)a)

式（5-24）为轴对称应变问题的米泽斯屈服条件。 当分析图（5－2)a的情况，已知应力大小，并取： 1,z2,r3,(zr)

且： 0,r0，则有：特雷斯卡屈服条件

rs （5－25） 即：在轴对称平面应变条件下，设12，按两种屈服条件进入塑性状态时，其应力组

23合相同，所满足的条件仅相差一个系数。亦即：当按（5－25）式分析的s乘以了米泽斯屈服条件的结果。 3、结果解释

则变成

一般，两种屈服条件的数学表达式和物理解释都不相同，而全面的讨论，应力组合相同，满足的条件仅相差一个系数，形成这种状况的原因从两方面解释。 （1）厚壁圆筒的应力偏量状态 ① 在厚壁圆筒内 zr,12r0，且为主应力，则有：

max ② 因为  13z(r)

12r(r)，则平均应力m(0)为： z)13[12(r)]12(r)z

m(r ③ 应力偏量： S Srrm12(r)m12ax

m(r)max Szzm0 即：此时的应力偏量状态为纯剪切。 ④ 结论

在应力状态中(,r,z)减去静水压力(0)，屈服条件并不改变，即可用应力偏量状态判断材料是否屈服。 （2）分析两个屈服条件 单向拉伸时，(10,230)

22 Mises屈服条件： 22s 1

a Trasc屈服条件： s

两条件完全一样，而在描述纯剪切时相差15.5%。

若使用纯剪切重合的屈服条件，即：

J216122233122k2

max12,23,312k则在该问题中两个屈服条件完全一样。

22注意：max2k，312max2k，可以帮助理解上式。

13

5-2-2 弹塑性分析

当内压p较小时，弹性状态，其应力分量为：

r22

1)222bar  （5－26）22apb2(1)22barap(b2222222当ra时，组合应力(r)达最大，即： (r)ra[apba22(ba1)apba22(br1)]2bpba222p1ab22

筒体由内壁开始屈服，即此时内压为pe，则有： (r)ras 所以有：

2pe1ab22s ， pes2(1ab22 ) （5－27）

式中，pe —弹性极限压力

（1）当ppe时，圆筒处于弹性状态；

（2）当ppe时，筒体内壁附近出现塑性区，p增大，塑性区扩展； （3）因应力组合(r)具有对称性，其弹塑分界面为圆柱面； （4）弹塑性状态下内压p增大到pp，其分界半径为rp；

（5）分两个区讨论，在分界面上，应力相等，图（5－4）a ；p195

（6）看作两个厚壁圆筒分析，内筒外半径rp，内半径a，壁厚rpa；外筒内半径rp，外半径b，壁厚rpb，r[（5－4）（b）,(c)]p195

① 内筒：求应力分量

r， （塑性分析）

rrbq图

此时：r， 应满足平衡方程和屈服条件、：

ddrrrr0

rs由上两式：

drdrsr0drsrdr

积分得出： rslnrC 确定积分常数C：rrappppslnaC

raCslnapp rslnrslnappslnslnrpp

srsrpps1lnppaa即有（5－28）式成立：

rslna （5－28）

rs1lnppappr

 分析（5－28）式知：塑性区应力分量是静定的，仅与pp有关，与弹性区无关，可以看出：r0，0。

ra,解释： ra,lnlnrara00ln100rpprar0  ② 外筒（弹性分析）

内半径rp，外半径rb，承受内压qr不分时边界面上rrrprrp作用。（内筒，外筒边界上压力相等，

相同，rp相当于a但未知，q相当于内压p未知）



rrpqbrprqbrp222p222(brbr221)

22(1) 注意：此时rp和q是未知量，由交界面上径向应力相同的条件确定rp和q之间的关系。 从弹性区看：rrp时，刚达到屈服，r 由式（5－27）得： q 在塑性区的rrp处：r rrprrps

s2(1rpb22)

q代入（5－28）式的r

rslnrapprrpslnrpappq

qppslnrpa

当rrp时，径向应力q应相等，即： qppsln ppslnrparpass2(1(1rpb22rpb22)

2) （5－29）

式（5－29）给出了pp和rp之间的关系，已知pp可求出rp，反之亦然。 此时，弹性区(rprb)应力表达式为：

2srpb2(21)r22br  (5－30)

22srpb(21)22br r同理可得。

rpqbrp222(br221)rp222brp(br221)s2(1rpb22)rp2b22s(br221)

r r2ap222br22z2zr2s

22ba(1)，apba2222(br221)，2za222bap,

2

a2p22ba22a2pb2a2pb2bb2(12)(21)22222rrbarbara2p22ba2b22r2a2pb22222bar2s2a2pb26222bar2

22sa2pb2所以有： 3222bar （第一种情况：za222bap）

3apba222br22spe1s2b12 a3同理可求出：Pe2，Pe3 当rb时，u urbrb1，pp2

bpEba222221a2pbba1bb2a2bE 

第三节 组合厚壁圆筒的分析

1、采取组合厚壁圆筒的意义？为什么？

2、过盈量的意义？12 ，1，2的意义？

3、套装压力p的导出？套装应力？内、外筒套装应力分量，分析图（5－8）a，应力分量的性质？

4、如何确定分层半径b，及套装过盈量？b，的选择对应力组合的临界值有什么影响？

5、筒体厚度变化对塑性极限承载力的影响？ 6、不同材料时组合厚壁圆筒的相关值如何确定？

7、当采用多层组合厚壁圆筒时，弹性极限压力的变化？如何导出？