2015年高考全国一卷-非线性回归方程题

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(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量

年宣传费(千元)

1111x 46.6 y 56.3 w 6.8 x11(x1－x2.8 )2 x1(w1－w1.6 )2 x1(x1－x)(y－x1(w1－y) 1469 w)(y－y) 108.8 1表中w1 ＝x1w＝

8w1

x1(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距

的最小二乘估计分别为：(uu)(vv)iii1n(uu)ii1n,vu.

2

（19）解：（I）由散点图可以判断ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 ……2分 （II）令wnx，先建立y关于w的线性回归方程。由于

iˆd(ww)(yy)ii1(ww)ii1n2108.868 1.6ˆ563686.8100.6。 ˆydwcˆ100.668w，因此y关于x的回归方程为所以y关于w的线性回归方程为yˆ100.668x。 ……6分 y（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值

ˆ100.66849576.6 yˆ576.60.24966.32。 ……9分 年利润z的预报值z （ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值

ˆ0.2(100.668x)xx13.6x20.12 z13.6ˆ取得最大值 所以当x6.8，即x=46.24时，z2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 ……12分