图形的变换
一、选择题
1．下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）
A．上 B．下 C．左 D．右
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等腰梯形
B．平行四边形 C．正三角形
D．矩形
4．如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案．其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（ ）
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A．110° B．115° C．120° D．130°
6．下面四张扑克牌中，图案属于中心对称图形的是图中的（ ） A．
B．
C．
D．
7．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．将如图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
9．若将图中的每个字母都看成独立的图案，则这七个图案中是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
11．下面的图形中，是中心对称图形的是（ ）
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A．
B． C． D．
二、填空题
12．如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，则DE= cm，△ABC的面积= cm2．
13．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 ． 14．将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点A到点A′的距离是 cm．
三、解答题
15．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
（1）观察图1、2中所画的“L”型图形，然后各补画一个小正方形，使图1中所成的图形是轴对称图形，图2中所成的图形是中心对称图形；
（2）补画后，图1、2中的图形是不是正方体的表面展开图？（填“是”或“不是”）
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称． （1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；
Pb）（2）（a，是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；
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（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．（直接写出结果）
17．在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，
AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．
方案设计：
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点p）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于I对称，A′B与l交于点P．
观察计算：
（1）在方案一中，d1= km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，
d2= km（用含a的式子表示）． 探索归纳
（1）①当a=4时，比较大小：d1（ ）d2（填“＞”、“=”或“＜”）； ②当a=6时，比较大小：d1（ ）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
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图形的变换
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】轴对称图形．
【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
【解答】解：所有图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么一定是轴对称图形的有5个，故选D．
【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
2．有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，则完成一次变换．图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ）
A．上 B．下 C．左 D．右 【考点】旋转的性质．
【专题】压轴题；操作型；规律型．
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【分析】根据题意可知每一次变换后相当于逆时针旋转了90°，经过4次变换后会回到原始位置，所以按上述规则完成第9次变换后，相当于第一次变化后的位置关系，分析比较可得答案．
【解答】解：根据题意可知每一次变换后相当于逆时针旋转了90度，经过4次变换后会回到原始位置，
“众”字位于转盘的位置是应该是第一次变换所以按上述规则完成第9次变换后，后的位置即在左边， 比较可得C符合要求． 故选C．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．关键是找到旋转的方向和角度．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等腰梯形
B．平行四边形 C．正三角形
D．矩形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和等腰梯形、平行四边形、正三角形、矩形的性质解答．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选D．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
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4．如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案．其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念和各图的特点求解． 【解答】解：①、是轴对称图形，不是中心对称图形； ②、是轴对称图形，也是中心对称图形； ③、是轴对称图形，不是中心对称图形； ④、是轴对称图形，也是中心对称图形． 满足条件的是①③，故选A．
【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130° 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题．
【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等． 【解答】解：根据题意得：∠2=∠3， ∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠2=（180°﹣50°）÷2=65°， ∵四边形ABCD是矩形，
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∴AD∥BC，
∴∠AEF+∠2=180°， ∴∠AEF=180°﹣65°=115°． 故选B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
6．下面四张扑克牌中，图案属于中心对称图形的是图中的（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；生活中的旋转现象． 【分析】依据中心对称图形的定义即可求解．
C选项及D选项旋转180度后新图形中间的桃心向下，【解答】解：其中A选项、原图形中间的桃心向上，所以不是中心对称图形． 故选B．
【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
7．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
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【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误． 故选：C．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．将如图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【考点】生活中的旋转现象．
【分析】根据旋转的意义，找出图中眼，眉毛，嘴5个关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案．
【解答】解：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90°，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为A图，故选A．
【点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
9．若将图中的每个字母都看成独立的图案，则这七个图案中是中心对称图形的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：根据中心对称图形的概念可知，图案O、I是中心对称图形；而图案L、Y、M、P、C都不是中心对称图形． 故选B．
【点评】解答此题要掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点．
10．．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误； B、是轴对称图形，故B正确； C、不是轴对称图形，故C错误； D、不是轴对称图形，故D错误． 故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
11．下面的图形中，是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形．
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【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题
12．如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于D，GA=5cm，GC=4cm，GB=3cm，将△ADG绕点D旋转180°得到△BDE，则DE= 2 cm，△ABC的面积= 18 cm2．
【考点】旋转的性质． 【专题】压轴题．
【分析】三角形的重心是三条中线的交点，根据中线的性质，S△ACD=S△BCD；再利用勾股定理逆定理证明BG⊥CE，从而得出△BCD的高，可求△BCD的面积． 【解答】解：∵点G是△ABC的重心， ∴DE=GD=GC=2，CD=3GD=6， ∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5， ∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE， ∵CD为△ABC的中线， ∴S△ACD=S△BCD，
∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2××BG×CD=18cm2．填：2，18．
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【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
13．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ． 【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高． 【解答】解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4． 故答案为：4
【点评】考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．
14．将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点A到点A′的距离是 1 cm． 【考点】平移的性质． 【专题】压轴题．
【分析】根据题意，画出图形，由平移的性质直接求得结果． 【解答】
解：在平移的过程中各点的运动状态是一样的，现在将线段平移1cm，则每一点都平移1cm，即AA′=1cm， ∴点A到点A′的距离是1cm．
【点评】本题考查了平移的性质：由平移知识可得对应点间线段即为平移距离．学生在学习中应该借助图形，理解掌握平移的性质．
三、解答题
15．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．
（1）观察图1、2中所画的“L”型图形，然后各补画一个小正方形，使图1中所成的图形是轴对称图形，图2中所成的图形是中心对称图形；
（2）补画后，图1、2中的图形是不是正方体的表面展开图？（填“是”或“不是”）
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【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案． 【专题】网格型．
【分析】（1）根据轴对称图形与中心对称的定义即可作出，首先确定对称轴，即可作出所要作的正方形；
（2）利用折叠的方法进行验证即可．
【解答】解：（1）如图（画对一个得3分）．
（2）图1（不是）或图2（是），图3（是）．
【点评】掌握轴对称的性质：沿着一直线折叠后重合．中心对称的性质：绕某一点旋转180°以后重合．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称． （1）画出对称中心E，并写出点E、A、C的坐标；
Pb）（2）（a，是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标； （3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．（直接写出结果）
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【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换． 【专题】作图题；压轴题．
【分析】（1）连接对应点，对应点的中点即为对称中心，在网格中可直接得出点E、A、C的坐标；
（2）根据“（a+6，b+2）”的规律求出对应点的坐标A2（3，4），C2（4，2），顺次连接即可；
（3）由△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系直接看出是关于原点O成中心对称．
【解答】解：（1）如图，E（﹣3，﹣1），A（﹣3，2），C（﹣2，0）；（4分）
（2）如图，A2（3，4），C2（4，2）；（8分）
（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称．（10分）
【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
第15页（共19页）
作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．中心对称是旋转180度时的特殊情况．
17．在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，
AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．
方案设计：
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点p）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于I对称，A′B与l交于点P．
观察计算：
（1）在方案一中，d1= a+2 km（用含a的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， d2= 探索归纳
（1）①当a=4时，比较大小：d1（ ）d2（填“＞”、“=”或“＜”）； ②当a=6时，比较大小：d1（ ）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
km（用含a的式子表示）．
第16页（共19页）
【考点】作图—应用与设计作图． 【专题】压轴题；阅读型；方案型．
【分析】运用勾股定理和轴对称求出d2，根据方法指导，先求d12﹣d22，再根据差进行分类讨论选取合理方案．
【解答】解：（1）∵A和A'关于直线l对称，
∴PA=PA'，
d1=PB+BA=PB+PA'=a+2； 故答案为：a+2；
（2）因为BK2=a2﹣1， A'B2=BK2+A'K2=a2﹣1+52=a2+24 所以d2=探索归纳：
（1）①当a=4时，d1=6，d2=②当a=6时，d1=8，d2=（2）
，d1＜d2；
．
，d1＞d2；
=4a﹣20．
①当4a﹣20＞0，即a＞5时，d12﹣d22＞0， ∴d1﹣d2＞0， ∴d1＞d2；
第17页（共19页）
②当4a﹣20=0，即a=5时，d12﹣d22=0， ∴d1﹣d2=0， ∴d1=d2
③当4a﹣20＜0，即a＜5时，d12﹣d22＜0， ∴d1﹣d2＜0， ∴d1＜d2
综上可知：当a＞5时，选方案二； 当a=5时，选方案一或方案二；
当1＜a＜5（缺a＞1不扣分）时，选方案一．
【点评】本题为方案设计题，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类讨论的数学思想方法．
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