奥数训练之二次根式

二次根式

一、二次根式的两个非负性.

1）、被开方数非负的应用：【a0】

例1：已知：y=2x3+32x+2.则xy= .

2a662a例2：已知：b=4a3b+4a3b则a2-ab+b2= . 例3：设a.b.c均为不小于3的实数.

1c1 则a2+b1+的最小值是 .

针对性训练：

1、代数式x+x1+x2的最小值为 .

22、求：a4+92a+13a+a的值为 .

2）、结果非负【a0】的应用

例1：已知：x4+（2x+y）2=0则x-y的值为 . 针对性训练习：

1

1、已知：m2+x2+y2+4x-6y+13=0则（x+y）m的值为 . 2、①.10x1+1有最小值时x= ，这个最小值为= .

2x4+1有最小值时x= ，这个最小值为= ②.

24x③.9-的最大值为 ，最小值为 .

3）、综合应用.8

例1：已知：a2001+2000a=2003-a 求：a

例题：已知：3x+5y=7其中（x>0）求m=2x-3y的取值范围.

针对性练习：

1、已知：实数a满足2004a+a2005=a则a-20042的值为 .

2a(a)4）、一个非负数转化为另一个非负数的平方的应用【】

例1: 填空：y-2y1=( )2

例2：已知：2（x+y1+z2）=x+y+z.求x.y.z的值.

1c11例3：已知a+b2+=4a2+2b-3 求：a+2b-2c的值.

2

针对性练习

1、a,b,c是实数，若abc2a14b16c214，求abcbcacab的值

2、如果4xy1z2xyz9，那么x+y+z的值是多少

2二、a=a的应用

22拓展为ab= ab反过来ab=ab时要注意a符号

例1：设x<0.y<0.在x

y1x-yxy3-x3y化简= . 例2：若

x32x1+=2则x的取值范围是 . 21例3：已知：-33x22-

14x4x2+5x= .

针对性练习

2ab应当化简为 . 1、若ab<0.则代数式

2、a

1a化为最简二次根式是 .

3、根式a

11a-bb3化简得 . 3

14、若22x12x42化简得.=

5、若数轴上表示a的点在原点左边，则化简：

2aa2的结果是 .

1998199920002001146、的值等于.=

x24x2422例1：当0例2：200120032005200716= . 针对性练习：19881989199019911-19892=

三、实数的比较大小

1）、平方法

例1：设a=10.b=7+1.c=3+2比较a、b、c的大小

针对性练习：设a=3+7，.b=4+6，c28，d25，

比较a、b、c、d的大小为

通过对上述问题的解决，你能得到怎样的规律？你能证明你的结论吗？

2）、倒数法

4

例题：已知：a=101-100.b=99-98比较a、b的大小.

针对性练习

1、已知a31,b53,c75,d97

比较a、b、c、d的大小为

通过对例题和习题的解决，你认为具有怎样特点的二次根式，在比较大小时，适合用倒数法，比较的结果用怎样的规律？应用你总结的规律快速解决下面的问题

问题：设a＞1,p2006a12006a,q2006a12006a,

r2006a2006a1,s2006a2006a1,则p，q，r，s中值最小的一个是

3）、化分子或分母相同比较另一个

111例题：已知：a+bc4）、化同底或同指比较大小

例题：比较233 522 611的大小.

5）、根据数轴的位置比较大小

5

ab2b例题：已知：b<0 06）、做差比较法

例题：已知:a、b、c均为正数且ab若x=a+b+c、 y=ab+bc+ac，比较x、y的大小

针对性练习.

111111已知：a、b、c为正数且ab若x=a+b+c y=ab+bc+ca

则x与y的大小关系是 .

7）、作商比较法

a1a2例题：比较a2与a3的大小

四、二次根式的运算：

1）、巧用乘法公式

例1：计算：235235235235

a例2：若a=235, b=2+610 求b的值

3 6

2）、巧用因式分解 例1：计算：235－

2235

2例2：计算：512002-2512001-4512000+2002

例3：化简：

xyx4xy4yx2y①xy= ②

=

615ab2b③1435 = ④

ab2b=

5764332例4：化简：10141521 181236

.针对性练习：

35231、计算：361015 10141521

.2、满足等式xy+xy-2003x-2003y+2003xy=2003的正整数对(x、y)的个数有多少个

3）、巧用合并同类二次根式

例题：已知：pq0且p与q均为整数 .若2p+22q-32=0成立，求：满足条件的所有p.q

7

的值.

针对性练习:

已知整数x.y满足x+2y=50.那么整数对（x.y）的个数是 .

A：0 B：1 C：2 D：3

4）、巧用无理数特点

11331941232b-24-120a+例题：已知a.b是有理数且3=0求a、b的值.

针对性练习：

1. 设a是一个无理数且a.b满足ab+a-b=1则b= . 112. 设x.y都是有理数.且满足方程23x+32y-4-=0，求x-y的值

bcbcaa 5）、巧用a例题：化简

643326332

针对性练习：

8

1、①2353 ②3557

25732、当n为奇数时化简：

1235(13)(35)5273(57)(73)2n122n12n3(2n12n1)(2n12n3)

6）、有关把无理数分成整数部分与小数部分的计算

例1：写出13的整数部分是 .小数部分是 .

写出2+6的小数部分 .3-5的小数部分 . 352743写出2的小数部分 写出2的小数部分

写出的835小数部分

例2：已知：9+13与9-13的小数部分分别是a和b.求ab-3a+4b+8的值.

1例3：设a,b分别表示37的整数部分与小数部分.求a2+(1+7)ab的值.

1111例4、若设39432的整数部分为a，小数部分为b，求aba4b的值

1例5、求与17122最接近的整数

9

22例6、m是n的小数部分，且mn24，求m、n

7）、有关重二次根式的化简与计算

例题：化简下列各式.

1）若a≥0、b≥0化简：2abab.=

2）若a≤0、b≤0化简：2abab=

3） 322322=

4）71516215 =

5）108322=

6）、2009200820072005111=

7）、635635

y232y5.

8）、已知x141025，x241025，求x1x2的值

2366428）、

32. 236104322.

10

五、二次根式的条件求值.（即代数式求值）

1）、直接代入法

2例题：已知：x=2-3 求743x23x3的值.

2）、先化简所求再代入求值

a2a2a4aa24a4a22aa例题：已知：a是4-3的小数部分，求代入式的值为 针对性练习：

5151a22abb2221. 当a=2 . b=2时，代数式ab的值

11122. 已知x=1+3，求x2x4x2.

113. 若a=21 . b=21求

ababba的值

a21a22a1a2a4. 已知：a=23 .求a1的值

13）、先化简已知再代入求值

3131例题1：已知：x=31 .y=31 求x4+y4的值.

11

例题2：设a>0,b>0 ,aab3ba5b求abab的值.

2a3bab针对性练习：

1122xy32321、已知：x= .y=那么的值为 . 32322332、已知实数a满足a+aa=0那么a1a1 . 3、已知：xyy2x20且x2-4x+4=0，求xy的值

m2n84、正数m.n满足m+4mn2m4n4n3，求m2n2002的值

5、

xn1nn1n，

yn1n22n1n，n为自然数，如果2x197xy2y1993成立，求n的值

4）、整体代入

包括：对称式整体代入.完全平方根式整体代入，构造已知整体代入.

11a1422a的值 a例1：已知：a>1，且a+求

ab例2：设a例3：已知：a+b=

19921991,a-b=19921991求ab的值

12

例4：已知：a-b=2+3 b-c=2-3求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.

11例5：x=21311.y=21311 求:x2-xy+y2的值.

y例6、已知：x22y3,y22x3,xy,求xxy的值

针对性练习

111、已知：a=23, b=23求下列各式的值.

11（1）.a1b1= （2）.a2-ab+b2 = 12、已知：a+a4

.(0a1a= . 3、已知：x+y=7352,x-y=7253, 则xy=

4、已知：a-b=12,ab=1,b>0则a+b=

x5、已知：

x1x2x，求x23x1x29x1的值

5）、平方法

13

3）.a2b+ab2= （

例1：已知：

xa1x2x24xa，求x2x24x(用a的代数式表示)

x222x3xy4y例2：已知：x=-(y<0)，求y的值

2222例3：已知：25x15x4，求25x15x的值.

例4、若

a1221122488aaa1的值 ，求

6）、放缩法

x例题1：已知x+y=-4,xy=1求yyx的值

例题：求代数式863863的值

7）、余式（或降次）法

37例题：当x=2时.4x4-10x3-12x2+27x-4的值是 . 针对性练习

3351、设x=2则（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)= . 14

32x24x22、若x=3-1那么x2x1= .

33525xxx1243、已知：x=21那么4的值为 .

14、已知

x111122,求多项式（2x5+2x4-53x3-57x+54）2003的值

5、已知：

x12002200234x2005x2002（ ） 2，则

1A、0 B、1 C、4 D、4

8）、制造有理化因式法

例题：已知：a4a1=5求62a的值.

9）、勾股构造法

2x4例1：求代数式

12x29的最小值

22a4b1的最小值. 例2：已知：a.b均为正数且a+b=2求U=

10）、规律探索法

1132231433411009999100

例题：化简：212

15

例题：

计算：11121221111111223213242......12013220142

1计算：12112334120102011

11）、换元法

例题：化简

y232y5y22y5

奥数训练之二次根式检测题

1、设x20012000，y20001999，则x,y的大小关系是（ A、x＞y B、x=y C、x＜y D、无法确定

19942、当

x12时，多项式(4x31997x1994)2001的值是（ ）

A、1 B、—1 C、22001 D、22001

ab3、化简2abab的值是（ ）

A、ab B、ab C、ab D、ba16

）

24、当m在可以取值范围内取不同的值时，代数式274m2m的最小值是（ ）

A、0 B、5 C、33 D、9

5、满足等式2x322y的整数解有

A、一组 B、两组 C、三组 D、四组

2a42mn，则这样的a,m,n的取值( ) 6、设正整数a,m,n满足

A、有一组 B、有两组 C、多于两组 D、不存在

17、已知a=221122488aaa1的值等于（ ） ，则

22A、2 B、2 C、22 D、4

18、设m51,则m+m的整数部分为

29、计算：200120022003200412002=

xy4y410、若x2x1和互为相反数，则y的值为

11、已知

x51x3x12，那么x5=

17

23664212、化简：

32=

13、设实数x,y,z满足xyz4x5y4z3，求x,y,z的值

14、已知0＜x＜1＜y＜2,

2222xy2xy4x4y412xxy4y4的值 求

15、设

xk1k1k1k1,yk1k1k1k1，k为自然数，且3x2+34xy+3y2=1000

求k的值

21



3535633633ba的值 16、设a为的小数部分，b为的小数部分。求

17、计算14651465的值

18、已知：xy352,xy325，求xy的值

19、计算：a2a1a2a1

20、计算235235235235

322121、化简：2326

18

3222、化简：268123226812

3232xy(xy)2xy(xy)223、已知：x=32,y=32,求代数式的值

8mmn3n24、已知m＞0,n＞0,m(mn)3n(m5n),求2m3mnn的值

123525、化简：3351552737353537

821510626、化简：

532

133227、已知：133的整数部分为a,其小数部分为b，求198a9bb1的值

28、设S=

1111111111111222223232422007220082，求与S最接近的整数

29、已知x=1-3，则x5-2x4-2x3-x2-2x-1的值是 30、计算：199119931995199716=

xy31、（第15届“希望杯”赛题）已知x=32，y=32，则y+x=

3232＋1＋（—19892）32、已知：P=1988198919901991，求P的值.

19