2018年湖北黄石市九年级数学上册期末试卷及解析及解析

2017-2018学年九年级数学上册期末试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．（3分）成语“水中捞月”所描述的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 3．（3分）反比例函数y=经过（ ）象限．

A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四

4．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件146万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）

A．50（1+x）2=146 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=146 C．50（1+x）+50（1+x）2=146 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=146 5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5=0时，原方程应边形为（ ） A．（x+3）2=14

B．（x﹣3）2=14 C．（x+6）2=41

D．（x﹣6）2=41

6．（3分）已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定

7．（3分）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）

A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1

C．y=（x﹣2）2+1

D．y=（x﹣2）2﹣1

8．（3分）已知扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90°

9．（3分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王慧同学观察得出了下面四条信息：

（1）b2﹣4ac＞0； （2）c＞﹣1； （3）2a+b＜0； （4）a+b+c＜0，其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

1

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10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 ． 12．（3分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，若∠COB=150°，则∠A= 度．

13．AB是⊙O的直径，CD=2（3分）如图，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°， ，则阴影部分的面积为 ．

14．（3分）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知SS1+S2= ．

阴影

=1，则

15．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 个．

16．（3分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a，a）．如图，若曲线

与此正方形的边有交点，则a的取值范围是 ．

2

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三、解答题（共72分） 17．（7分）计算：|

﹣2|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣

+

）÷

．

18．（7分）先化简，再求值：（，其中x=﹣1．

19．（7分）解不等式组：正整数解．

，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根． （1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=4，求m的值．

21．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．

22．（8分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．

（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；

（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．

23．（8分）某公司在销售一种进价为10元的产品时，每年总支出为10万元（不含进货支出），经过

3

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若干年销售得知，年销售量y（万件）是销售单价x（元）的一次函数，并得到如下部分数据： 销售单价x（元） 年销售量y（万件） 12 7 14 6 16 5 18 4 （1）求出y关于x的函数关系式；

（2）写出该公司销售这种产品的年利润w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；当销售单价x为何值时，年利润最大？

24．（9分）如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．

（1）如图2，在等边△ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD是互补等对边四边形吗？请说明理由．

（2）如图3，在等腰△ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB． （3）如图4，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，A（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；

（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．

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参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A． 2．（3分）成语“水中捞月”所描述的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 【解答】解：水中捞月是不可能事件，故选：C． 3．（3分）反比例函数y=经过（ ）象限．

A．第一和第三 B．第二和第四 C．第一和第二 D．第三和第四

【解答】解：∵反比例函数y=中k=1＞0，∴图象在一三象限，故选：A．

4．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件146万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）

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A．50（1+x）2=146 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=146 C．50（1+x）+50（1+x）2=146 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=146

【解答】解：根据题意得：八月份生产零件为50（1+x）（万个）；九月份生产零件为50（1+x）2（万个 则x满足的方程是50（1+x）+50（1+x）2=146，故选：C． 5．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣5=0时，原方程应边形为（ ） A．（x+3）2=14

B．（x﹣3）2=14 C．（x+6）2=41

D．（x﹣6）2=41

【解答】解：x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=14，（x﹣3）2=14．故选：B．

6．（3分）已知⊙O的半径是4，OP=3，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定

【解答】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：A．

7．（3分）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）

A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1

C．y=（x﹣2）2+1

D．y=（x﹣2）2﹣1

【解答】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（x﹣2）2+1．故选：C．

8．（3分）已知扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【解答】解：解：∵l=故选：D．

9．（3分）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王慧同学观察得出了下面四条信息： （1）b2﹣4ac＞0； （2）c＞﹣1； （3）2a+b＜0； （4）a+b+c＜0，其中正确的有（ ）

，l=3πcm，r=6cm，∴3π=

，解得n=90°．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：由图可知，抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故（1）正确； ∵抛物线与y轴的交点（0，c）在（0，﹣1）的上方，∴c＞﹣1，故（2）正确；∵对称轴x=﹣且a＞0，∴﹣b＜2a，则2a+b＞0，故（3）错误；

6

＜1，

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由图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，故（4）正确；故选：C．

10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：当点Q在AD上运动时，0≤x≤1，

y=•AP•AQ=•（2x）•x=x2；当点Q在CD上运动时，1＜x≤3， y=•AP•AD=•x•2=x；当点Q在CB上运动时，3＜x≤4， y=•AP•CB=•x•（8﹣2x）=﹣x2+4x，故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 （﹣1，3） ． 【解答】解：点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3）， 故答案为：（﹣1，3）．

12．（3分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，若∠COB=150°，则∠A= 75 度．

【解答】解：∵OC=OB，∠COB=150°，∴∠OBC=∠OCB=15°，∴∠AOB=150°，由圆周角定理得，∠A=∠AOB=75°，故答案为：75．

13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2

．

，则阴影部分的面积为

7

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【解答】解：连接OD．

∵CD⊥AB∴CE=DE=CD=

（垂径定理），故S△OCE=S△ODE，

即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2， 故S扇形OBD=

=

，即阴影部分的面积为

．故答案为：

．

14．（3分）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知SS1+S2= 6 ．

阴影

=1，则

【解答】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4， ∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．故答案为6．

15．（3分）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 8 个． 【解答】解：由题意可得，

摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4=0.6，∴总的球数为：（8+4）÷0.6=20， ∴红球有：20﹣（8+4）=8（个），故答案为：8．

8

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16．（3分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的a）坐标为（a，．如图，若曲线

与此正方形的边有交点，则a的取值范围是

≤a

．

【解答】解：∵A点的坐标为（a，a）．根据题意C（a﹣1，a﹣1）， 当C在曲线当A在曲线∴a的取值范围是

≤a

时，则a﹣1=

，解得a=

， ≤a

． +1，

时，则a=，解得a=

．故答案为

三、解答题（共72分） 17．（7分）计算：|【解答】解：原式=2﹣

﹣2|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0﹣+2﹣1﹣3=﹣

+

． ）÷

，其中x=

﹣1．

．

18．（7分）先化简，再求值：（

【解答】解：（+）÷=

==，当x=﹣1时，原式=．

19．（7分）解不等式组：正整数解．

，把它的解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的

【解答】解：解不等式①，得x＜4，解不等式②，得x≥﹣2，所以，原不等式组

的解集是﹣2≤x＜4在数轴上表示如下：

所以，原不等式组的正整数解是1，2，3．

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20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根． （1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=4，求m的值． 【解答】解：

（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根， ∴△≥0，即22﹣4[﹣（m﹣2）]≥0，解得m≥1； （3）∵x1﹣x2=4，∴2x1﹣（x1+x2）=4，

又由根与系数的关系可得x1+x2=﹣2，∴2x1+2=4，解得x1=1，∴1+2﹣（m﹣2）=0，解得m=5． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．

【解答】证明：（1）如图1，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°， ∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE， ∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC， ∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线； （2）如图2，连结DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH． ∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE． 在△CDE与△HFE中，

，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．

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22．（8分）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．

（1）若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；

（2）用画树状图或列表的方法，写出参加第一场比赛选手的所有可能，并求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．

【解答】解：（1）根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能， ∴另一位选手恰好是乙同学的概率； （2）画树状图如下：

所有可能出现的情况有6种，其中乙丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种， ∴选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为=．

23．（8分）某公司在销售一种进价为10元的产品时，每年总支出为10万元（不含进货支出），经过若干年销售得知，年销售量y（万件）是销售单价x（元）的一次函数，并得到如下部分数据： 销售单价x（元） 年销售量y（万件） 12 7 14 6 16 5 18 4 （1）求出y关于x的函数关系式；

（2）写出该公司销售这种产品的年利润w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；当销售单价x为何值时，年利润最大？

【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意，得：

，

解得：，则y=﹣x+13；

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（2）∵该公司年利润w=（﹣x+13）（x﹣10）﹣10=﹣（x﹣18）2+22， ∴当x=18时，该公司年利润最大，最大值为22万元．

24．（9分）如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．

（1）如图2，在等边△ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD是互补等对边四边形吗？请说明理由．

（2）如图3，在等腰△ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB． （3）如图4，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【解答】解：（1）四边形ABCD是互补等对边四边形， 理由：如图2，∵△ABE是等边三角形，∴AE=BE，

连接AC，BD，∵点D是AE的中点，∴BD⊥AE，∴∠ADB=90°，

同理：∠BCA=90°，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°∴四边形ABCD是互补等对边四边形． （2）∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，

∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，

，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB=∠BCA，

又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°， 在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=

=90°﹣∠AEB，

∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB， 同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB； （3）仍然成立；

理由如下：如图4所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形

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ABCD是互补等对边四边形，

∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+ADG=180°，∴∠BCA=∠ADC， 又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，

∴△AGD≌△BFC，∴AG=BF，在△ABG和△BAF中，

∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD=∠BAC，

∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°， ∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．

∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中．直线y=﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过B，C两点，与x轴负半轴交于点A，连结AC，A（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式；

（2）点P（m，n）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关于m的函数表达式及S的最大值；

（3）若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q，M，N三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=3，∴C（0，3），∴OC=3， 当y=0时，﹣x+3=0，x=3，∴B（3，0），∵A（﹣1，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），

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把C（0， 3）代入得：3=a（0+1）（0﹣3），∴a=﹣1，∴y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3； （2）如图1，过P作PE⊥x轴于E，∵P（m，n），∴OE=m，BE=3﹣m，PE=n，

S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BE•PE，=m（n+3）+n（3﹣m），=m+n，∵n=﹣m2+2m+3， ∴S=m+（﹣m2+2m+3）=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+当m=时，S有最大值是

；

，

（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4），设直线BM的解析式为：y=kx+b， 把B（3，0），M（1，4）代入得：

，解得：

，∴直线BM的解析式为：y=﹣2x+6，

设N（a，﹣2a+6），Q（n，﹣n+3），分两种情况： ①当N在射线MB上时，如图2，

过Q作EF∥y轴，分别过M、N作x轴的平行线，交EF于E、F， ∵△EQN是等腰直角三角形，∴MQ=QN，∠MQN=90°，

∴∠EQM+∠FQN=90°，∵∠EQM+∠EMQ=90°，∴∠FQN=∠EMQ， ∵∠QEM=∠QFN=90°，∴△EMQ≌△FQN，∴EM=FQ，EQ=FN， ∴

，解得：

，当a=2时，y=﹣2a+6=﹣2×2+6=2，∴N（2，2），

②当N在射线BM上时，如图3，同理作辅助线，得△ENQ≌△FQM， ∴EN=FQ，EQ=FM，∴

，解得：

，

∴N（﹣1，8），综上所述，点N的坐标为（2，2）或（﹣1，8）．

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