2020-2021学年广东省广州市九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）−的相反数是（ ） A．
23
3
2B．−2
3
C． 3
2
D．−3
2
2．（3分）网上购物已成为现代人消费的趋势，天猫“11•11”购物狂欢节创造了一天6501900000元的支付宝成交额．其中6501900000科学记数法可以表示为（ ） A．650.19×108 C．65.019×109
B．6.5019×109 D．6.5019×1010
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．长方体
D．四棱柱
4．（3分）如图所示，直线AB，CD相交，所形成的∠1，∠2，∠3，∠4中，∠2的对顶角是（ ）
A．∠1
B．∠3
C．∠4
D．∠1和∠3
5．（3分）不等式组{𝑥+4＞3的解集在数轴上可表示为（ ）
𝑥≤1
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
第1页（共27页）
A．60°
B．50°
C．45°
D．40°
7．（3分）已知m＝1+√2，n＝1−√2，则代数式√𝑚2+𝑛2−3𝑚𝑛的值为（ ） A．9
B．±3
C．3
D．5
8．（3分）对原价为289元的某种药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A．289（1﹣2x）＝256 C．289（1﹣x）2＝256
B．256（1﹣x）2＝289 D．256（1﹣2x）＝289
3
59．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB=，则AC等于（ ）
A．3
B．9
C．4
D．12
𝑎
(𝑏＞0)44𝑏10．（3分）定义新运算：a⊕b={𝑎例如：4⊕5=5，4⊕（﹣5）=5．则函数y＝2⊕x−𝑏(𝑏＜0)
（x≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在函数y=√𝑥−1中，自变量x的取值范围是 ． 12．（3分）分解因式：ax2﹣ay2＝ ．
13．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，，√3）
第2页（共27页）
则点C的坐标为 ．
14．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是 ．
15．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH＝BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD＝120°；③△AMH是等边三角形④S四边形ABMD=其中正确结论的是 ．
√34AM2．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 2𝑥−𝑦=917．（7分）解方程组：{．
3𝑥+𝑦=11
18．（9分）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
19．（10分）先化简，再求值（
3𝑥𝑥−2
−
𝑥
𝑥+2
）÷
．其中
𝑥2−4𝑥
x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．
20．（12分）目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度（态度分为：
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A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对），并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计1万名中学生家长中有多少名家长持反对态度； （4）在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．
21．（12分）“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
22．（12分）如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E． （1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
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23．（12分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处
（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．
（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．
24．（14分）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD． （1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
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25．（14分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4√2，一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0），在整个运动过程中设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S．
（1）当t＝2时，求S的值；
（2）在整个运动过程中，求出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围； （3）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
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2020-2021学年广东省广州市九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）−2的相反数是（ ） A．
2
3
3
3
B．−2
3
3
C． 3
2
D．−3
2
【解答】解：﹣（−2）=2， 故选：A．
2．（3分）网上购物已成为现代人消费的趋势，天猫“11•11”购物狂欢节创造了一天6501900000元的支付宝成交额．其中6501900000科学记数法可以表示为（ ） A．650.19×108 C．65.019×109
B．6.5019×109 D．6.5019×1010
【解答】解：6501900000科学记数法可以表示为6.5019×109． 故选：B．
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．长方体
D．四棱柱
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个圆， ∴此几何体为圆柱， 故选：B．
4．（3分）如图所示，直线AB，CD相交，所形成的∠1，∠2，∠3，∠4中，∠2的对顶角是（ ）
第7页（共27页）
A．∠1
B．∠3
C．∠4
D．∠1和∠3
【解答】解：∠2的对顶角是∠4． 故选：C．
5．（3分）不等式组{𝑥+4＞3的解集在数轴上可表示为（ ）
𝑥≤1
A． B．
C． D．
𝑥+4＞3①
【解答】解：{
𝑥≤1②由①得x＞﹣1 由②得x≤1
所以解集为﹣1＜x≤1 故选：A．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．60°
B．50°
C．45°
D．40°
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°， ∴∠B＝∠ADB=2×（180°﹣100°）＝40°． 故选：D．
7．（3分）已知m＝1+√2，n＝1−√2，则代数式√𝑚2+𝑛2−3𝑚𝑛的值为（ ） A．9
B．±3
C．3
D．5
1
【解答】解：m+n＝2，mn＝（1+√2）（1−√2）＝﹣1，
第8页（共27页）
原式=√(𝑚+𝑛)2−5𝑚𝑛=√22−5×(−1)=√9=3． 故选：C．
8．（3分）对原价为289元的某种药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ） A．289（1﹣2x）＝256 C．289（1﹣x）2＝256
B．256（1﹣x）2＝289 D．256（1﹣2x）＝289
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289（1﹣x），则第二次降价为289（1﹣x）2，由题意得： 289（1﹣x）2＝256． 故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB=，则AC等于（ ）
3
5
A．3
B．9
𝐴𝐶
3
C．4 D．12
【解答】解：∵sinB=𝐴𝐵=5， ∴AC=
3
×15＝9． 5故选：B．
𝑎
(𝑏＞0)44
10．（3分）定义新运算：a⊕b={𝑏𝑎例如：4⊕5=5，4⊕（﹣5）=5．则函数y＝2⊕x
−𝑏(𝑏＜0)
（x≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
第9页（共27页）
2
(𝑥＞0)𝑥【解答】解：由题意得：y＝2⊕x={， 2
−(𝑥＜0)𝑥当x＞0时，反比例函数y=𝑥在第一象限， 当x＜0时，反比例函数y=−在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合． 故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）在函数y=√𝑥−1中，自变量x的取值范围是 x≥1 ． 【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1． 故答案为：x≥1．
12．（3分）分解因式：ax2﹣ay2＝ a（x+y）（x﹣y） ． 【解答】解：ax2﹣ay2， ＝a（x2﹣y2）， ＝a（x+y）（x﹣y）． 故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
13．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，，√3）则点C的坐标为 （−√3，1） ．
2
𝑥2
【解答】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCO是正方形， ∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
第10页（共27页）
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°， ∴∠COE＝∠OAF， 在△COE和△OAF中， {∠𝐶𝑂𝐸=∠𝑂𝐴𝐹𝑂𝐶=𝑂𝐴
∠𝐶𝐸𝑂=∠𝐴𝐹𝑂=90°，
∴△COE≌△OAF， ∴CE＝OF，OE＝AF， ∵A（1，√3），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF=√3， ∴点C坐标（−√3，1）， 故答案为（−√3，1）．
14．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是 （1，3） ．
𝑏4𝑎𝑐−𝑏【解答】解：解法1：利用公式法y＝ax+bx+c的顶点坐标公式为（−2𝑎，），
4𝑎
2
2
代入数值求得顶点坐标为（1，3）；
解法2：利用配方法y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3， 故顶点的坐标是（1，3）．
15．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 m≤3且m≠2 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根， ∴△＝22﹣4×（m﹣2）×1≥0，且m﹣2≠0， 解得：m≤3且m≠2， 故答案为：m≤3且m≠2．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH＝BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD＝120°；③△AMH是等边三角形④S四边形ABMD=4AM2． 其中正确结论的是 ①②③④ ．
√3第11页（共27页）
【解答】解：在菱形ABCD中， ∵AB＝BD， ∴AB＝BD＝AD， ∴△ABD是等边三角形，
∴根据菱形的性质可得∠BDF＝∠C＝60°， ∵BE＝CF，
∴BC﹣BE＝CD﹣CF， 即CE＝DF，
𝐶𝐸=𝐷𝐹
在△BDF和△DCE中，{∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐶=60°
𝐵𝐷=𝐶𝐷∴△BDF≌△DCE（SAS），故①正确； ∴∠DBF＝∠EDC，
∵∠DMF＝∠DBF+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝∠BDC＝60°， ∴∠BMD＝180°﹣∠DMF＝180°﹣60°＝120°，故②正确；
∵∠DEB＝∠EDC+∠C＝∠EDC+60°，∠ABM＝∠ABD+∠DBF＝∠DBF+60°， ∴∠DEB＝∠ABM， 又∵AD∥BC， ∴∠ADH＝∠DEB， ∴∠ADH＝∠ABM，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
在△ABM和△ADH中，{∠𝐴𝐷𝐻=∠𝐴𝐵𝑀
𝐷𝐻=𝐵𝑀∴△ABM≌△ADH（SAS）， ∴AH＝AM，∠BAM＝∠DAH，
∴∠MAH＝∠MAD+∠DAH＝∠MAD+∠BAM＝∠BAD＝60°， ∴△AMH是等边三角形，故③正确；
第12页（共27页）
，
，
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积， 又∵△AMH的面积=2AM•
√31
√3√3AM=4AM2， 2
∴S四边形ABMD=4AM2，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 2𝑥−𝑦=9
17．（7分）解方程组：{．
3𝑥+𝑦=112𝑥−𝑦=9①【解答】解：{，
3𝑥+𝑦=11②①+②得：5x＝20， 解得：x＝4，
把x＝4代入①得：y＝﹣1， 𝑥=4
则方程组的解为{．
𝑦=−1
18．（9分）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF＝AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
【解答】解：（1）如图所示：
第13页（共27页）
（2）四边形ABEF是菱形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB，
由（1）得：AF＝AB， ∴BE＝AF， 又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形． 19．（10分）先化简，再求值（【解答】解：（＝[
3𝑥(𝑥+2)
3𝑥
3𝑥𝑥−2
−
𝑥
𝑥+2
）÷
．其中
𝑥2−4𝑥
x是﹣2、﹣1、0、2中的一个．
𝑥−2
−
𝑥
𝑥+2
）÷
𝑥 𝑥2−4(𝑥+2)(𝑥−2)
， 𝑥(𝑥+2)(𝑥−2)
−
𝑥(𝑥−2)
(𝑥+2)(𝑥−2)
]×
＝2x+8，
由分式有意义可得x≠﹣2、0或2， 当x＝﹣1时，原式＝2×（﹣1）+8＝6．
20．（12分）目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对），并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
第14页（共27页）
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；
（2）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计1万名中学生家长中有多少名家长持反对态度； （4）在此次调查活动中，初三（1）班和初三（2）班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．
【解答】解：（1）共调查的中学生家长数是：40÷20%＝200（人）；
（2）扇形C所对的圆心角的度数是：360°×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝18°， C类的人数是：200×（1﹣20%﹣15%﹣60%）＝10（人）， 补图如下：
（3）根据题意得： 10000×60%＝6000（人），
答：10000名中学生家长中有6000名家长持反对态度；
（4）设初三（1）班两名家长为A1，A2，初三（2）班两名家长为B1，B2， 画树状图为：
第15页（共27页）
共有12种等可能的结果数，其中2人来自不同班级共有8种， 所以选出的2人来自不同班级的概率=
82=． 12321．（12分）“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一批玩具每套的进价是x元，
2500𝑥
×1.5=
4500
， 𝑥+10x＝50，
经检验x＝50是分式方程的解，符合题意． 答：第一批玩具每套的进价是50元；
（2）设每套售价是y元，
250050
×1.5＝75（套）．
50y+75y﹣2500﹣4500≥（2500+4500）×25%， y≥70，
答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是70元．
22．（12分）如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E． （1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
第16页（共27页）
【解答】解：（1）证明：连接DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD． 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB． 在△COD和△COB中 ∵OD＝OB，OC＝OC， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°， ∴∠CDO＝90°， 又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线；
第17页（共27页）
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠EDO＝90°， ∴ED2+OD2＝OE2， ∴32+R2＝（R+1）2， 解得R＝4， ∴⊙O的半径为4．
23．（12分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处
（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．
（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴∠1+∠3＝90°，
∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， 又∵∠D＝∠C， ∴△OCP∽△PDA；
∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
第18页（共27页）
∴
𝑂𝑃𝑃𝐴
=
𝐶𝑃𝐷𝐴
=
√
14
=，
2
1
∴CP=2AD＝4， 设OP＝x，则CO＝8﹣x， 在Rt△PCO中，∠C＝90°， 由勾股定理得 x2＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝5，
∴AB＝AP＝2OP＝10， ∴边CD的长为10；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2， ∵AP＝AB，MQ∥AN， ∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP． ∴MP＝MQ， ∵BN＝PM， ∴BN＝QM．
∵MP＝MQ，ME⊥PQ， ∴EQ=2PQ． ∵MQ∥AN， ∴∠QMF＝∠BNF， 在△MFQ和△NFB中，
1
1
∠𝑄𝐹𝑀=∠𝑁𝐹𝐵
{∠𝑄𝑀𝐹=∠𝐵𝑁𝐹， 𝑀𝑄=𝐵𝑁
∴△MFQ≌△NFB（AAS）． ∴QF=2QB，
∴EF＝EQ+QF=2PQ+2QB=2PB，
由（1）中的结论可得：PC＝4，BC＝8，∠C＝90°， ∴PB=√82+42=4√5， ∴EF=2PB＝2√5，
第19页（共27页）
1
111
1
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2√5．
24．（14分）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD． （1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．
【解答】解：
（1）PM＝PN，PM⊥PN，理由如下： ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．
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在△ACE和△BCD中 𝐴𝐶=𝐵𝐶
{∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐸𝐶𝐷=90°， 𝐶𝐸=𝐶𝐷
∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点， ∴PM=2BD，PN=2AE， ∴PM＝PN，
∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∠EAC+∠BDC＝90°， ∴∠MPA+∠NPC＝90°， ∴∠MPN＝90°， 即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，EC＝CD， ∠ACB＝∠ECD＝90°．
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE＝∠BCD． ∴△ACE≌△BCD．
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD． 又∵∠AOC＝∠BOE， ∠CAE＝∠CBD，
∴∠BHO＝∠ACO＝90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=2BD，PM∥BD； PN=2AE，PN∥AE． ∴PM＝PN．
∴∠MGE+∠BHA＝180°． ∴∠MGE＝90°．
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11
1
1
∴∠MPN＝90°．
∴PM⊥PN． （3）PM＝kPN ∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECD＝90°． ∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE＝∠BCD． ∵BC＝kAC，CD＝kCE， ∴
𝐵𝐶𝐴𝐶
=
𝐶𝐷𝐶𝐸
=k．
∴△BCD∽△ACE．
∴BD＝kAE． ∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=2BD，PN=2AE． ∴PM＝kPN．
1
1
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4√2，一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止．在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0），在整个运动过程中设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S．
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（1）当t＝2时，求S的值；
（2）在整个运动过程中，求出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围； （3）当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的，使得△APQ成为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1中，设PE交AB于F．
当t＝2时，PB＝2，重叠部分是△PDF． ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠B＝45°， ∵PD⊥BC， ∴∠DPB＝90°， ∴∠BDP＝∠B＝45°， ∴PB＝PD＝2，
∵△PQE是等腰直角三角形， ∴∠EPQ＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形， ∴DF＝PF=√2， ∴S=2•DF•PF＝1．
（2）当PQ过点A时，点D与点A重合，PC＝8﹣t，
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1
AP=BC＝4， 则8﹣t＝4，t＝4， 当EQ在直线AB上时，t=当P在点C时，t＝8，
∴分三种情况：①当0＜t≤4时，如图2，
16， 312
∵∠ABC＝45°，∠DPB＝90°， ∴PD＝PB＝t， ∵∠EPQ＝45°， ∴∠EPB＝45°， ∴∠DFP＝90°， ∴FD＝FP=2t，
∴S＝S△DFP=2×2t×2t=4t2； ②当4＜t≤3时，如图3，
161
√2√2√21
在Rt△BFP中，∵BP＝t，∠B＝45°， ∴BF＝PF=2t，
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√2
∴S＝S△ABC﹣S△BFP﹣S△DPC， =
11√2√21
×4√2×4√2−×t×t−（8﹣t）2， 2222234=−t2+8t﹣16； ③当
163
＜t＜8时，如图4，
由PD＝PC＝8﹣t得：PQ＝2PD＝16﹣2t， ∴S△EPQ=2×[
1
√2（16﹣2t）]2＝t2﹣16t+64， 23434∴S＝S梯形EFDP=（t2﹣16t+64）=t2﹣12t+48； （3）存在，理由如下：
如图5，当D在线段AB上时，∠B＝∠C＝45°，
∵PD⊥BC，
∴∠BPD＝90°，∠BDP＝45°， ∴PB＝PD＝t， ∴QD＝PD＝t， ∴PQ＝2PD＝2t， 过A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC，
∴BH＝HC=2BC＝4，AH＝BH＝4， ∴PH＝BH﹣BP＝4﹣t，
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1
在Rt△APH中，AP=√𝐴𝐻2+𝑃𝐻2=√42+(4−𝑡)2=√𝑡2−8𝑡+32， i）当AP＝PQ，则√𝑡2−8𝑡+32=2t， 解得：t1=
4√7−4−4√7−4，x（不符合题意，舍去）； 2=331
2ii）当AQ＝PQ时，如图6，过Q作QG⊥AP于G，则AG＝PG=AP，
∵PQ∥AH， ∴∠APQ＝∠PAH， ∵∠PGQ＝∠AHP＝90°， ∴△PGQ∽△AHP， ∴∴
𝑃𝐺𝐴𝐻𝑃𝐺4
==
𝑃𝑄𝐴𝑃
，
2𝑡∴PG=则
1
√𝑡2−8𝑡+328𝑡，
√𝑡2−8𝑡+32
，
8𝑡𝑡2−8𝑡+32=2， √2√𝑡−8𝑡+32解得t1＝12﹣4√7，t2＝12+4√7（不符合题意，舍去）； iii）当AP＝AQ时，过A作AT⊥PQ于T， 如图7中，则四边形AHPT是矩形，PT＝AH＝4，
若AP＝AQ，由于AF⊥PQ，则有QT＝PT，即PT=2PQ，
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1
即4=
1
×2t，t＝4， 2当t＝4时，A、P、Q三点共线，△APQ不存在，故t＝4舍去， 综上所述：存在这样的t，使得△APQ成为等腰三角形，即t1=
4√7−4，t2＝12﹣4√7； 3第27页（共27页）
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