上海市浦东新区2015届高三一模数学试卷含答案

浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试

高三数学 2015.1

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

x1．不等式21的解为 . 2．已知复数z满足z(1i)2（i为虚数单位），则z . 3．关于x,y的方程x2y22x4ym0表示圆，则实数m的取值范围是 . 4．函数ysinx3cosx的最大值为 . 5．若limx0，则实数x的取值范围是 .

nn1126．已知一个关于x,y的二元线性方程组的增广矩阵是012，则xy= .

x2y21的两条渐近线的夹角为 . 7．双曲线31318．已知yf(x)是函数f(x)xa的反函数，且f(2)1，则实数a . 3含x项系数为 . x)4的展开式中，

10．定义在R上的偶函数yf(x)，在[0,)上单调递增，则不等式f(2x1)f(3)的解是 .

11．如图，已知PA平面ABC，ACAB，APBC，CBA30,D、E分别是BC、AP的中点. 则异面直线AC与DE所成角的大小为 .

9．二项式(2xP E A12．若直线l的方程为axbyc0（a,b不同时为零），则

C 下列命题正确的是 .

（1）以方程axbyc0的解为坐标的点都在直线l上； （2）方程axbyc0可以表示平面坐标系中的任意一条直线； （3）直线l的一个法向量为(a,b)； （4）直线l的倾斜角为arctan().

BD

ab二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.

13．设椭圆的一个焦点为(3,0)，且a2b，则椭圆的标准方程为 （ ）

·1·

x2y21 (A) 4(A)

x2y22y1 (C)x21 (B) 24y2x21 (D) 214．用1，2，3，4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为 （ ）

1234 (B) (C) (D) 555515．下列四个命题中，为真命题的是 （ ）

(A)若ab，则ac2bc2 (C)若ab，则a2b2

(B)若ab，cd则acbd

11

(D)若ab，则

ab

16．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ）

(A) 84 (B) 78 (C)81 (D) 96 17．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17170，则a7a9a11的值为 （ ）

(A) 10 (B) 20 (C)25 (D) 30

18．“直线l垂直于△ABC的边AB，AC”是“直线l垂直于△ABC的边BC”的 （ ）

(A)充分非必要条件 (C)充要条件

(B)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件

1x, x019．函数f(x)=的零点个数为 （ ） x2lnx, x>0(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3

20．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（ ）

(A)赚723元 (B)赚145元 (C)亏145元 (D)亏723元 21．已知数列an的通项公式an2n,nN，则

a1a2a2a3a4a4(A)16096

a3a5a5

a3a4a6a2012a2014a2013 （ ） a2015(B)16104 (C)16112 (D)16120

f(x)22．如果函数yf(x)在区间I上是增函数，而函数y在区间I上是减函数，那么称函数

x123yf(x)是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”. 若函数f(x)xx是区间I22上“缓增函数”，则“缓增区间”I为 （ ）

(A) [1,) (B) [0,3] (C)[0,1] (D) [1,3]

rrrr23．设为两个非零向量a,b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为2，则 （ ）

rr(A)若确定，则|a|唯一确定 (B)若确定，则|b|唯一确定

rr

(C)若|a|确定，则唯一确定 (D)若|b|确定，则唯一确定

·2·

24．已知x1,x2是关于x的方程x2mx(2m1)0的两个实数根，则经过两点A(x1,x12)，

三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）

已知函数ylgx2y21公共点的个数是 （ ） B(x2,x2)的直线与椭圆164 (C)0 (A) 2 (B) 1(D)不确定

2

1x的定义域为集合A，集合B(a,a1). 若BA，求实数a的取值范围. 1xB 26．（本题满分8分）

如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|1，其侧面展开一个圆心角为

S图是

2的扇形，求此圆锥的体积． 3 27．（本题满分8分）

已知直线yOA1x与抛物线y22px(p0)交于O、A两点（F为抛物线的焦点，O为坐标原2点），若AF17，求OA的垂直平分线的方程.

28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bc，A的平分线为AD，若

uuuruuuruuuruuurABADmABAC.

（1）当m2时，求cosA的值；

a23)时，求实数m的取值范围. (2) 当(1,b3

29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）

在数列{an}，{bn}中，a13,b15,an1bn4a4*,bn1n（nN）. 22·3·

（1）求数列{bnan}、{anbn}的通项公式；

（2）设Sn为数列{bn}的前n项的和，若对任意nN*，都有p(Sn4n)[1,3]，求实数p的取值范围. 30．（本题满分8分）

某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B．已

AB与地面所成角的大小为60，点A在地面上的射影为

ABBM如图.请在地面上选定点M，使得达到最大值.

AM

31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)

设函数f(x)A知

H，

HBMsinx（0x）. x2（1）设x0,y0且xy2，试比较f(xy)与f(x)的大小；

（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.

①对任意x(0,2]都有cosxf(x)1成立；

x2x4x6x8x10②对任意x0,都有f(x)1成立； 33!5!7!9!11!2③若关于x的不等式f(x)k在(0,]有解，则k的取值范围是(,).

2

32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)

已知三角形△ABC的三个顶点分别为A(1,0)，

B(1,0)，C(0,1).

（1）动点P在三角形△ABC的内部或边界上，且到三边AC,AB,BC的距离依次成等差数列，求点P的

方程；

·4·

点P轨迹

O

（2）若0ab，直线l:yaxb将△ABC分割为面积相等的两部分，求实数b的取值范围.

浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试

高三数学参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一

律得零分. 1．x0； 2．1i； 3．(,5)； 4．2； 5．(1,1)； 6．6； 7．8．1； 9．24； 10．(1,2)； 11．arccos

二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确

的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．(A) ； 14．(C)； 15．(C)； 16．(B)； 17．(D)； 18．(A)； 19．(C)； 20．(D)； 21．(A)； 22．(D)； 23．(B)；24．(A).

三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）

解：集合A(1,1)，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

； 32（arctan7）； 12．（1）、（2）、（3）. 4a1BA因为，所以 ，1a0.„„„„„„„„„„„„„6分

a11即a1,0. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

26．（本题满分8分）

解：因为|OA|1，所以弧AB长为2，„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

又因为BSA222，所以SA3．„„„„„„„„4分 ，则有SA33在RtSOA中，|OA|1.hSOSA2OA222， „„„„„„„6分 所以圆锥的体积V

27．（本题满分8分）

1222rh． „„„„„„„„„„„„„„„8分 33·5·

y22px1解：OA的方程为：yx. 由 得x28px0， 12yx2所以A(8p,4p)，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

由AF17，可求得p2.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 所以A(16,8)，AO中点M(8,4).„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 所以OA的垂直平分线的方程为：2xy200.„„„„„„„„„„„„8分 28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)

uuuruuuruuuruuurAA解：（1）由bc. 又ABAD2ABAC. 得b(bcos)cos2bccosA„„„2分

22Acos22cosA„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

21cosA12cosA. cosA. „„„„„„„„„„„„„„„„„6分 23uuuruuuruuuruuur1（2）由ABADmABAC. 得cosA；„„„„„„„„„„„„„8分

2m111b2c2a22b2a21a(,)，„„„„„„„10分 又cosA=12322bc2b2b1113(,)，m(,2).„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 所以

2m132229．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）

2bna12，bn1n2，bn1an1(bnan)，

2221即数列{bnan}是首项为2，公比为的等比数列，

21n1所以bnan2().„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

211 an1bn1(anbn)4，an1bn18(anbn8)，a1b180，

22*所以，当nN时，anbn80，即anbn8.„„„„„„„„„„6分

解：（1）因为an1anbn81n121nS4n[1()]， b4() （2）由 得，1n1nn322bnan2()22p12p1[1()n]，1[1()n]3， p(Sn4n)32321n12p3因为1()0，所以.„„„„„„„„„8分 1n1231()n1()22·6·

当n为奇数时，

111()n212p3且131(1)n1()n2211 当n为偶数时，随n的增大而减小， 1n1n1()1()2242p912p33，2p. 且，1231(1)n331()n22综上，2p3.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分

30．（本题满分8分）

解：因为AB与地面所成的角的大小为60，AH垂直于地面，BM是地面上的直线，

所以ABH60,ABM60.

1随n的增大而增大， 1n1()22p32，p3；„„„„„„„„„10分 ，132ABBMAM,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

sinMsinAsinBABBMsinMsinAsinMsinBM∴ AMsinBsinBsinMsinBcosMcosBsinM1cosBsinMcosM

sinBsinBB2cos22sinMcosMcotBsinMcosM„„„„„„„„„„„4分 sinB2cot30sinMcosM3sinMcosM2sin(M30).„„„„„6分

∵

ABBM达到最大值，

AM此时点M在BH延长线上，BHHM处.„„„„„„„„„„„„„„8分

当MB60时，

·7·



31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分) 解：（1）方法一（作商比较）：

显然f(x)0，f(xy)0，

f(xy)sin(xy)xxsinxcosyxcosxsiny. „„„1分

f(x)xysinxxsinxysinx0cosy1因为0xsinxcosyxsinx.„„„„„„„„„„„2分

xsinx00sinyy又0xcosxsinyysinx.„„3分 0xtanx0xcosxsinx所以0xsinxcosyxcosxsinyxsinxysinx. f(xy)1f(xy)f(x).„„„„„„„„„„„„„„„„4分 即

f(x)于是

方法二（作差比较）：

0cosy1xsinx(cosy1)0.„„„„„„„„„„„„„1分

xsinx00sinyy又xcosxsinyysinx0.„„2分 0xtanx0xcosxsinxxsin(xy)(xy)sinxf(xy)f(x)

(xy)xxsinx(cosy1)(xcosxsinyysinx)0.

(xy)x即f(xy)f(x).„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

x1（2）结论①正确，因0x.0sinxxtanx1.

2sinxcosxcosxf(x)1.„„„„„„„„„„„„6分

因为

·8·

x2x4x6x8x10结论②错误，举反例: 设g(x)1.（利用计算器）3!5!7!9!11!f(0.5)g(0.5)3.30931357610140等„„„„„„„„„„„„8分

（f(0.6)g(0.6)3.49376616310130， f(1)g(1)1.59827354910100，

f(0.7)g(0.7)0,f(0.8)f(0.8)0,f(0.9)g(0.9)0均可）.

sinx结论③正确，由f(xy)f(x)知f(x)在区间(0,]上是减函数.

2x2所以f(x)f()f(x)，又f(x)1，

22sinx所以f(x)的值域为[,1).

x2要使不等式f(x)k在(0,]有解，只要k即可.„„„„„„„„„10分

2

32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分) 解：（1）法1：设点P的坐标为x,y，则由题意可知：

xy122xy1xy12y，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 所以22xy12y，由于xy10，xy10，y0，„2分

化简可得：y21（22x22）„„„„„„„„„„„„„„5分 法2：设点P到三边AC,AB,BC的距离分别为d1,d2,d3，其中d2y，|AB|2|AC|2|BC|2.所以 于是点P的轨迹方程为y21（

y21„„„4分 22d1yd312222x22）„„„„„„„„5分 d1d32y（2）由题意知道0ab1，

情况（1）ba.

直线l：ya(x1)，过定点A1,0，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l过三角形的重心0,，

131从而ba.„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

3b1，a线l与两边BC,AC分别相交，设其交点分别为D,E，则直与三角形两边的两个交点坐标Dx1,y1、Ex2,y2应该满足方程

情况（2）ba.此时图像如右下：令y0得x·9·

故直线l组：

yaxb. yx1xy10因此，x1、x2是一元二次方程：a1xb1a1xb10的两个根.

即a1x2a(b1)x(b1)0, 由韦达定理得：x1x2222b12a21而小三角形与原三角形面积比为x1x2，即x1x2.

12b1所以

2211a1a2亦即b1. b12a12，22，

1再代入条件ba，解得0a， 32从而得到b12,1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分

23综合上述（1）（2）得：b12,1.„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

23解法2：由题意知道0ab1 情况（1）ba.

直线l的方程为：ya(x1)，过定点A1,0， 由平面几何知识可知，直线l应该过三角形的重心0,， 从而ba131.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 3情况（2）ba.

设直线l：yaxb分别与边BC:yx1,x0,1， 边AC:yx1,x1,0的交点分别为点D,E， 通过解方程组可得：D(1bab1bab,)，E(,)，又点C(0,1)， a1a1a1a10∴SCDE1111b2a11ba1ab11a221=，同样可以推出1b.

2a12ab1a1211a亦即b1，再代入条件ba，解得0a，

23从而得到b121.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分

,23·10·

21综合上述（1）（2）得：b1,.„„„„„„„„„„„„„„„12分

23

解法3：

情况（1）ba.

直线l的方程为：ya(x1)，过定点A1,0， 由平面几何知识可知，直线l过三角形的重心0,，

131.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 3情况（2）ba.

b令y0，得x1，故直线l与两边BC,AC分别相交，

a设其交点分别为D,E，当a不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b也不

从而ba断减小.

当DE//AB时，CDE与CBA相似，由面积之比等于相似比的平方.

21b2，所以b1， 12221,.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 综上可知b123可知

·11·