山东省中考数学培优复习 第14讲 三角形与全等三角形

一：【知识梳理】 1、三角形的分类：

1．三角形按角分为_______，______，_______． 2．三角形按边分为__________,______________. 2、三角形的性质：

1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边

2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________． 3、三角形中的主要线段：

1．_______________________叫三角形的中位线． 2．中位线的性质：________________________．

3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 4、等腰三角形的性质与判定：

1. 等腰三角形的两底角__________；

2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一； 3. 有两个角相等的三角形是_________． 5、等边三角形的性质与判定：

1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一〞的性质；

2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形． 6、直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________．

2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________． 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的___．； 4. 勾股定理：___________________________． 5. 勾股定理的逆定理：___________________． 7.两个重要定理：

〔1〕角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边

的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点〔内心〕

〔2〕垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；

到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点〔外心〕

8.全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.

9. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.

10. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.

11、 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. 12、考前须知：〔1〕说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 〔2〕注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外两个三角形的两边

与一角对应相等的两个三角形也不一定全等． 二、【典型例题】

1．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于 点O，那么∠AOC+∠DOB的度数为度．

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC中∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，要使△ADC≌△BDE，需要添加一个条件，这个条件是．

3．等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰

三角形周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长． 4．：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F. 求证：AB=CF.

5.如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，

连结DE，求证：DF＝DC．

三、当堂检测

1．(2021·毕节)以下表达正确的选项是( ) A．方差越大，说明数据就越稳定

B．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变 C．不在同一直线上的三点确定一个圆

D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 2．(2021·云南)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠BDC的度数是( )A．85° B．80° C．75° D．70°

,

第2题图) ,第3题图)

3．(2021·益阳)如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD

上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能是

( )

A．AE＝CFB．BE＝FD C．BF＝DED．∠1＝∠2

4．(2021·嘉兴)△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，那么∠A等于( ) A．40° B．60° C．80° D．90°

5．(2021·遂宁)如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，那么AC长是( )

A．3 B．4 C．6 D．5

6．(2021·泰州)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形〞．以下各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )

A．1，2，3 B．1，1，2 C．1，1，3 D．1，2，3 二、填空题 7．(2021·绥化)如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是____．(填出一个即可)

,第7题图) ,第9题图)

8．三条不同的直线a，b，c在同一平面内，以下四个命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中为真命题的是____．(填写所有真命题的序号)

9．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，假设∠1＝20°，那么∠2的度数为___．

10．如图，△ABC中，AB＝AC＝13 cm，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，假设△EBC的周长为21 cm，那么BC＝____cm.

,第10题图) ,第12题图)

11．在△ABC中，假设AB＝BC≠AC，那么与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的

三角形一共有___个．

12．(2021·绵阳)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，那么正方形ABCD的边长为____．

三、解答题

13．(2021·云南)如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：AC＝BD.

14．(2021·)如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE.请说明为何△ABC与△DEC全等的理由．

15．(2021·内江)如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，

CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.

(1)求证：△ABM≌△BCN； (2)求∠APN的度数．

16．(2021·德州)问题背景：

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE.连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是____；

探索延伸： 如图2，假设在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，1

且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由；

2

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．