汉南区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,6，B1,3,5,7，则A2． i是虚数单位，计算i+i2+i3=（ ） A．﹣1

B．1

3． 下列命题中正确的是（ ）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题 B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0” C．“

”是“

”的充分不必要条件

”

C．﹣i

(ðUB)（ ）

A．2,4,6 B．1,3,5 C．2,4,5 D．2,5

D．i

D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“

4． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中

以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ）

A．

B．

C．

D．

5． 已知函数f(x)2sin(x)(0小距离为A．

2)与y轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最

2 B． C． D．

3632 ，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（ ）

，则使f(xt)f(xt)0成立的t的最小值为（ ）1111] 26． 已知点Py）（x，的坐标满足条件A．

B．

C．﹣6 D．6

7． 函数y=ecosx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（ ）

A．

B． C． D．

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8． 设集合Ax,y|x,y,1xy是三角形的三边长，则A所表示的平面区域是（ ）

A． B． C． D． 9． 实数x，y满足不等式组

，则下列点中不能使u=2x+y取得最大值的是（ ）

A．（1，1） B．（0，3） C．（，2） D．（，0）

10．设函数f(x)loga|x1|在(,1)上单调递增，则f(a2)与f(3)的大小关系是（ ） A．f(a2)f(3) B．f(a2)f(3) C. f(a2)f(3) D．不能确定 11．已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（ ） A．3﹣4i

B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i

12．设集合AxR|2x2，Bx|x10，则A【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.

(ðRB)（ ）

A.x|1x2 B.x|2x1 C. x|2x1 D. x|2x2

二、填空题

13．观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

照此规律，第n个等式为 ．

14．直线x2yt0与抛物线y216x交于A，B两点，且与x轴负半轴相交，若O为坐标原点，则

OAB面积的最大值为 . 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力. 15．已知面积为

的△ABC中，∠A=

若点D为BC边上的一点，且满足

=

，则当AD取最小时，

BD的长为 ．

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16．已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为 ． 17．不等式ax2a1x10恒成立，则实数的值是__________. 18．经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为 ．

三、解答题

19．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数． （1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？ （2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？ （3）若x=0，其中的偶数共有多少个？

20．[50，60][60，70][70，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：80][80，90][90，100]． （1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．

（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．

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21．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y24x相交于点A、B两点，设

A(x1,y1)，B(x2,y2)．

（1）求证：y1y2为定值；

（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

设0，，满足6sin2cos3．

3（1）求cos的值；

6（2）求cos2的值．

12

23．已知椭圆C：的右顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

+

=1（a＞b＞0）与双曲线

2

﹣y=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆

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N两点，MN、ON的斜率依次成等比数列，（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、且直线OM、求△OMN面积的取值范围．

24．已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

，且{bn}为递增数列，若cn=

，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．

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汉南区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

考点：集合交集，并集和补集．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.

2． 【答案】A

2

【解析】解：由复数性质知：i=﹣1

23

故i+i+i=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1

故选A

【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．

3． 【答案】 D

【解析】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确； 命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确； ““故“

”⇒“

”是“”⇒“

+2kπ，或”，

”的必要不充分条件，故C不正确；

”，故D正确． ，k∈Z”，

x

命题“∀x∈R，2＞0”的否定是“

故选D．

【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．

4． 【答案】C

【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图

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【试题解析】由题知：所以m可以取：0，1，2． 故答案为：C 5． 【答案】A 【解析】

考

点：三角函数的图象性质． 6． 【答案】 B

【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8， 由（

，解得y=0，x=，

，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣

，

故选B．

【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．

7． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）=e

cosx

（x∈[﹣π，π]）

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cosxcosx

∴f（﹣x）=e（﹣）=e=f（x），函数是偶函数，排除B、D选项． t

令t=cosx，则t=cosx当0≤x≤π时递减，而y=e单调递增，

由复合函数的单调性知函数y=e故选：C．

cosx

在（0，π）递减，所以C选项符合，

【点评】本题考查函数的图象的判断，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．

8． 【答案】A 【解析】

考

点：二元一次不等式所表示的平面区域. 9． 【答案】 D

【解析】解：由题意作出其平面区域，

将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距， 故由图象可知，

使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内， 故（1，1），（0，3），（而点（故选D．

，2）成立，

，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，

故不成立；

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【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．

10．【答案】A 【解析】

试题分析：由fx

loga1x,x,1且fx在,1上单调递增，易得logax1,x1,0a1,1a12.fx在1,上单调递减,fa2f3，故选A.

考点：1、分段函数的解析式；2、对数函数的单调性.

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11．【答案】B

解析：∵（3+4i）z=25，z=∴=3+4i． 故选：B．

12．【答案】B

【解析】易知Bx|x10x|x1，所以A=

=3﹣4i．

(ðRB)x|2x1，故选B.

二、填空题

13．【答案】 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 ．

【解析】解：观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49 …

等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2 左边的式子的项数与右边的底数一致， 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，

照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2， 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2

【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．

14．【答案】【

5123 9解

析

】

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15．【答案】

【解析】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系， 根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0）， 则

=（﹣2x，﹣y），

=（x，﹣y）， ，

⇒

=

cos

=9，

=18，

．

∵△ABC的面积为∴∵

22

∴﹣2x+y=9，

∵AD⊥BC， ∴S=•由故答案为：

•

=得：x=

． ⇒xy=3

， ，

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【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．

16．【答案】 A＜G ． 【解析】解：由题意可得A=

，G=±

，

由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号， 由题意a，b是互异的负数，故A＜G． 故答案是：A＜G．

【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．

17．【答案】a1 【解析】

2试题分析：因为不等式axa1x10恒成立，所以当a0时，不等式可化为x10，不符合题意；

a0a0当a0时，应满足，即，解得a1.1 22(a1)4a0(a1)0考点：不等式的恒成立问题.

18．【答案】 x=﹣3 ．

【解析】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3． 故答案为：x=﹣3．

三、解答题

19．【答案】

【解析】

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【专题】计算题；排列组合．

【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；

（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案； 位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；

（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值． 【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5； 又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，

2

在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A3=6种情况，

即能被5整除的三位数共有6个； （2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；

又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，

3

取出的三个数字为1、2、9时，有A3=6种情况， 3

取出的三个数字为2、4、9时，有A3=6种情况，

则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数； （3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；

又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，

111

当末位是2或4时，有A2×A2×A2=8种情况，

2

当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A3=6种情况，

此时三位偶数一共有6+8=14个，

111

（4）若x=0，可以组成C3×C3×C2=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，

则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，

故x=0不成立； 则每个数字用了

=18次，

111

当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C4×C3×C2=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，

则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7． 两种情况讨论． 20．【答案】

【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否

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【解析】解：（1）依题意，

根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a的值0.005．

（2）这100名学生语文成绩的平均分为： 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73（分），

【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解

21．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为x1. 【解析】

（2）根据两点间距离公式、点到直线距离公式及勾股定理可求得弦长为4(1a)x18a4a ，进而得

2a1时为定值.

试题解析：（1）设直线AB的方程为myx2，由得y4my80，∴y1y28， 因此有y1y28为定值．111]

（2）设存在直线：xa满足条件，则AC的中点E(2myx2,y4x,2

x12y1,)，AC(x12)2y12， 22第 14 页，共 17 页

因此以AC为直径圆的半径r111AC(x12)2y12x124，E点到直线xa的距离222d|x12a|， 222所以所截弦长为2rd2x212(x14)(1a)2x124(x122a)2 424(1a)x18a4a2．

当1a0，即a1时，弦长为定值2，这时直线方程为x1．

考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 22．【答案】（1）【解析】

30210；（2）．

846试题分析：（1）由6sin2cos3 sin，又0，，

366264；（2）由（1）可得cos2cos6410122cos1364 sin23415cos2302． cos2cos2cossin2sin8123434346试题解析：（1）∵6sin2cos3，∴sin，………………………………3分

6410∵0，，∴，，∴cos．………………………………6分

366264101（2）由（1）可得cos22cos212．………………………………8分 1436415，∴sin2∵0，，∴2，．……………………………………10分

333342∴cos2cos2cos2cossin2sin

12343434302．………………………………………………………………………………12分 8考点：三角恒等变换． 23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为（2，0），即a=2，c=

，b=1，…

，所以椭圆的离心率

，

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∴椭圆方程为：．…

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2） 联立

222

消去y并整理得：（1+4k）x+8kmx+4（m﹣1）=0…

则于是

，

…

又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列． ∴

由m≠0得：

…

2222222

又由△=64km﹣16（1+4k）（m﹣1）=16（4k﹣m+1）＞0，得：0＜m＜2 2

显然m≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，

直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） … 设原点O到直线的距离为d，则

∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．

24．【答案】已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=log2

，且{bn}为递增数列，若cn=

，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【专题】计算题；证明题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，从而可得3（1++

）=9，从而解得；

=2n，利用裂项求和法求和．

2n2n

（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）=3•（），从而可得bn=log2

【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，

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则3（1++）=9，

解得，q=1或q=﹣；

n3

故an=3，或an=3•（﹣）﹣；

（Ⅱ）证明：若an=3，则bn=0，与题意不符；

2n2n

故a2n+3=3•（﹣）=3•（），

故bn=log2故cn=

=2n， =﹣

，

故c1+c2+c3+…+cn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣

＜1．

【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．

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