关于正定Hermite矩阵迹的不等式

第３４卷第２期　吉首大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．３４　ＮＯ．２　２０１３年３月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｓｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｍａｒ．２Ｏ１３　文章编号：１００７—２９８５（２０１３）０２—００２２—０４　关于正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵迹的不等式　宋　园　。，周其生　（１．安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆２４６１３３；２．滁州职业技术学院，安徽滁州　２３９０００）　摘　要：研究了正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵迹不等式的问题，在２个已知实数不等式的基础上，利用Ｎｅｕｍａｎｎ不等式，得到了２　个正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵迹的不等式．　关键词：不等式；正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵；迹　中图分类号：Ｏｌ５１．２１　文献标志码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—２９８５．２０１３．０２．００５　矩阵不等式的研究在现代数学中发挥着重要的作用．矩阵的迹是矩阵重要的数字特征，在实际问题　（如滤波、随机控制以及计量经济学等）中有广泛的应用．关于矩阵迹的不等式也不断地有新的成果出现．　关于正数的不等式，能推广到矩阵的非常少，如：对于任意２个实数ａ，ｂ有ａ。＋ｂ。≥２ａｂ，而任意２个半正　定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ和Ｂ，Ａ。＋Ｂ　≥２ＡＢ一般不成立，重要原因是矩阵的乘法不具有交换性；又对２个半正　定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ与Ｂ，一般也不能由Ａ≥Ｂ推出Ａ　≥Ｂ。．不过，对于矩阵的迹，情况要好得多，这也是　人们对研究矩阵迹不等式感兴趣的另一个原因．　１　问题的提出　最近文献［１—２］分别研究了将某些实数不等式推广为矩阵迹和范数的不等式，其中２个不等式如下：　定理Ａｌ１］　设Ａ与Ｂ为　×　正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则ｔｒ　Ａ　Ｂ　＋ｔｒ　Ａ一　Ｂ。≥ｔｒ　Ａ＋ｔｒ　Ｂ，当且仅当Ａ　＝＝＝Ｂ时不等式取等号．　定理Ｂ［２　设Ａ与Ｂ为　×　阶正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则　ｔｒ　Ａ”＋ｔｒ　Ｂ”≥ｔｒ　Ａ　Ｂ一　＋ｔｒ　Ａ”－ｋＢ　１≤ｋ≤ｎ一１，　当且仅当Ａ—Ｂ时不等式等号成立．　上述２个矩阵迹不等式是针对一对正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵给出的，笔者进一步研究上述不等式，将它推广　到　个矩阵的情形．　２　相关定义和引理　定义１　。　设Ａ一（口　）为　×＂复方阵，称它的对角元素之和为Ａ的矩阵迹，记为ｔｒ　Ａ，即ｔｒ　Ａ一　∑　．　ｉ—ｌ　若　，　，…，　为Ａ的特征值，则　＊收稿日期：２０１２—１Ｏ一１９　基金项目：安徽省高校省级自然科学基金项目（ＫＪ２０１２Ｚ３００）　作者简介：宋园（１９８２一），女，安徽滁州人，滁州职业技术学院助讲，在职硕士研究生，主要从事矩阵理论研究　第２期　宋　园，等：关于正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵迹的不等式　２３　ｔｒ　Ａ＝∑　，ｔｒ　Ａ　一∑　ｉ　注１　矩阵迹满足线性性，即ｔｒ（ａＡ＋　）＝＝＝ａｔｒ　Ａ＋　ｔｒ　Ｂ．　引理１　（Ｎｅｕｍａｎｎ不等式）　设Ａ与Ｂ为”阶Ｈｅｒｍｉｔｅ阵，它们的特征值分别为　１≥　≥…≥　和　≥　。≥…≥　，则　∑　…＋　≤ｔｒ　ＡＢ≤∑　．　（１）式左边等式成立㈢Ｂ一∑　一＋　（１）　，　，…，　为Ａ的对应于　，右边等式成立㈢Ｂ一∑　，　，…，　的某一组标准正交化特征向量．　引理２　Ｅ　已知＆，６∈Ｒ　，则ａ＿ｚ＋　≥“＋６，当且仅当口一６时取等号．　引理３　。　设ｎ＞０，ｂ＞０，则有ａ　十ｂ　≥ａ…ｂ　＋ａ　６　（１≤忌≤，ｚ一１）成立，当且仅当ａ—ｂ时　等号成立．　引理４嘲（ｙｏｕｎｇ不等式）　设ｎ　０，ｂ＞Ｏ，ｐ，ｑ＞１，则有ｎ６≤‘ａ　ｐ＋　ｂ　ｑ（吉＋吉一１）成立，当且仅　当ａ　一ｂ　ｑ时等号成立．　３　主要结果及证明　引理２推广到多个实数的情形也是成立的，于是得到下面的引理：　引理５　已知　ｚ。，ｚ　，…，　∈Ｒ＋，则有　＋盟十…＋生．２Ｏ　ｎ　１＋　≥　＋　＋…＋　，当且仅当　Ｚ　２　Ｚ　３　Ｚ　ｎ　Ｚ　１　ｚ　１＝＝＝　２一・一３２　时等号成立．　门２　＾２　文献［１］将实数不等式　４－　≥＆＋６推广到矩阵中，得到ｔｒ　Ａ。Ｂ　＋ｔｒ　Ａ　Ｂ。≥ｔｒ　Ａ＋ｔｒ　Ｂ．由此　“　笔者进一步也将引理５这个结论推广到矩阵中得到如下结果：　定理１　设Ａ　，Ａ　，…，Ａ　为　个　×ｍ正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则　ｔｒ　Ａ　Ａ　＋ｔｒ　Ａｉ　Ａ；＋…＋ｔｒ　Ａ　一１Ａ　＋ｔｒ　Ａ：Ａ　≥ｔｒ　Ａ１＋ｔｒ　Ａ　２＋…＋ｔｒ　Ａ　，　（２）　当且仅当Ａ　一Ａ　一・一Ａ　时取等号．　证明　令Ａ　的特征值是　（Ａ　）≥　。（Ａ　）≥…≥　（Ａ　）＞０，志一１，２，…，，ｚ，则Ａ　的特征值为　（Ａ　）≥　：１＿１（Ａ　）≥…≥　（Ａ　）＞０，最一１，２，…，　．　当Ａ≥０时，若Ａ一∑　（Ａ）　，则Ａ　１一∑　１（Ａ）　，Ａ。一∑　（Ａ）　．　ｉ一１　ｉ＿＝１　ｉ一１　由引理１知，　ｔｒ　Ａ　Ａ　≥∑　２（Ａ　）Ａ　（Ａ　ｚ），等号成立㈢Ａ　∑　（Ａ　２）　（Ａ１）　（Ａ　），　（３）　ｉ一１　ｉ＝１　ｔｒ　Ａ　Ａ；≥∑　（Ａ。）　（Ａ。），等号成立甘Ａｉ　∑　Ａ　（Ａ　３）　（Ａ　２）　（Ａ　２），　ｉ一１　（Ａ　）　（Ａ　一１）　（Ａ　】），　ｔｒ　Ａ　Ａ：≥∑　（Ａ　）　（Ａ。），等号成立∞Ａ　一∑　（Ａ１）　（Ａ　）　（Ａ　），　ｉ—ｌ　ｉ一１　其中　（Ａ，）为Ａ　对应于　（Ａ，）的某一组标准正交化特征向量（　＝＝＝１，２，…，ｍ；　一１，２，…，ｎ）．　将以上各不等式两边分别相加，并应用由引理５，可得　２４　吉首大学学报（自然科学版）　第３４卷　ｔｒ　Ａｉ　Ａ　＋ｔｒ　Ａ７　Ａ；＋…＋ｔｒ　Ａ　２　（Ａ１）≥　∑　（ｉ＝１　Ａ　）＋…＋∑　（ｉ一１　Ａ　）一ｔｒ　Ａ　＋ｔｒ　Ａ　２＋…＋ｔｒ　Ａ　．　（４）　又由引理５，（４）式第２个不等式等号成立当且仅当　（Ａ　）一　（Ａ　）一・一　（Ａ　），ｉ＝＝＝１，２，…，　．再　由（３）式即得Ａ７　＝ＡＴ　，从而Ａ　一Ａ　．依次推得Ａ。一Ａ　，…，Ａ　一Ａ　．因此，（２）式当且仅当Ａ　一Ａ：一・　一Ａ　时取等号．证毕．　引理３推广到多个实数的情形也是成立的，于是得到如下引理：　弓Ｉ理６　设口ｌ，ｎ　２，…，口　＞０，贝《有口｛口；一　＋ｎｌ口ｉ一　＋…＋ｎ　口　一　≤　ｎ　７＋口；＋…＋ａ：，１≤　ｋ≤　”　一１，当且仅当ｎ　一ｎ。一・一ｎ　等号成立．　证明　Ａ　一ｍ　用引理４可得　＋　ｎ　ｎ　≤一ｋ　ａ　＋　口　２，…　ｋ　ｎ一　　≤一ｋ　ｎ：＋　ｎ　ｎ　，　／＇／　所以　２Ａ　　ｍ　Ａ　一　口｛口　＋。；　；一　＋…＋。　ｎ　一　≤一ｋ口　＋型ｎ：＋鱼ｎ；＋型口；＋…＋型口　一　≥　ｎ　当且仅当ａ　一ａ　一∑　ａ　＋Ⅱ；＋…４－口：，　，　・一ｎ　时等号成立．　文献［２］将口”－ＩＡ　－ｂ　≥ａ　ｂ　－Ｉ－ｎ一　ｂ　推广到矩阵中得到迹的不等式ｔｒ　Ａ　＋ｔｒ　Ｂ”≥ｔｒ　Ａ　Ｂ　＋　ｔｒ　Ａ一　Ｂ　，进一步，将引理６推广到矩阵中得到如下结果：一　　定理２　设Ａ１，／　Ａ　Ａ　２，…，Ａ　为ｎ个　×　正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则　ｔｒ　Ａ　Ａ；　＋ｔｒ　Ａ　Ａ；　＋…＋ｔｒ　Ａ　ｋＡ　ｎ１　≤ｔｒ　Ａ　＋ｔｒ　Ａ；＋…＋ｔｒ　Ａ：，　（５）　当且仅当Ａ　一Ａ　一＋　・一Ａ　时取等号（１≤ｋ≤”一１）．　证明　＋　因为Ａ　，Ａ　ｚ，…，Ａ　为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ阵，所以Ａ　７，Ａ　ｎ　，…，Ａ：也为正定Ｈｅｒｍｉｔｅ阵．设Ａ　的特　征值为　（Ａ　）（ｉ一１，２，…ｎ；　一１，２，…，ｍ），并设９』（Ａ　）（　一１，２，…，ｎ；　：＝＝１，２，…，ｍ）为Ａ　的对应于　，（Ａ　）的某一组标准正交特征向量．由引理１和引理６得，∑　，　　Ａ　ｔｒ　Ａ｛Ａ；一　＋ｔｒ　Ａ　Ａ：一　＋…＋ｔｒ　Ａ　ｋ＾ｎ～　　∑　；（Ａｉ）　一　（Ａ　）＋∑　；（Ａ　）　一　（Ａ。）＋…＋　，＝１　Ｊ＝１　小　卅　，７、　∑　；（Ａ　）　一　（Ａ　）一∑（Ａ　（Ａ　）　（Ａ。）＋　；（Ａ　）　（Ａ。）＋…＋　；（Ａ　）　一　（Ａ　））　Ｊ一１　Ｊ＝１　∑（　ｎ，（Ａ　）＋ａ　Ｔ（Ａ　）＋…＋　ｎ（Ａ　））一∑　ｎ（Ａ１）＋∑　ｎ（Ａ　２）＋…＋∑　（Ａ　）一　ｉ　１　ｉ一１　Ｉ一１　３—１　ｔｒ　Ａ　＋ｔｒ　Ａ；＋…＋ｔｒ　Ａ：．　下面讨论等号成立的充分必要条件．　由引理１，ｔｒ　Ａ｛Ａｉ　∑　（ｌ　Ａ　ｚ）　（Ａ１）　（Ａ　），　（Ａ　）（　一１，２，…，　）为Ａ　的某一组标准正交特征向量．　—２）　３）　（Ａａ），　ｚ）（　一１，２，…，　）为Ａｚ的某一组标准正交特征向量．　ｔｒＡ　ｋｎｎ－　－ｋ≤∑　）等号成立　Ｐ一∑　）　）　）　一　Ｊ＝１　ｉ一１　ｚ）０—１，２，…，　）为Ａ　的某一组标准正交特征向量．　（６）式成立等号当且仅当以上各充要条件均成立．而从引理６可知，（７）式成立等号当且仅当　（Ａ。）：　第２期　宋园，等：关于正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵迹的不等式　２５　（Ａ　）－．．・一　（Ａ　），ｉ一１，２，…，ｍ，再结合以上各充要条件得（５）式等号成立当且仅当Ａ　一Ａ　一・一　Ａ　．证毕．　３　结语　在２个实数不等式的基础上，将宜推广到矩阵的迹的不等式中．进一步的工作是能否将这些实数不等　式推广到矩阵的范数、矩阵的奇异值、矩阵的特征值中．　参考文献：　Ｅｌｉ　魏　禹，桂　楚，周其生．一个实数不等式在矩阵论中的推广ＥＪ］．安庆师范学院学报，２０１１（４）：１０１—１０３．　［２］　胡　油，周其生．关于正定矩阵幂的乘积的一些不等式［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１２（２）：４４—４６．　［３３　王松桂，吴密霞，贾忠贞．矩阵不等式［Ｍ］．第２版．北京：科学出版社，２００６：１２９．　［４］ＢＨＡＴＩＡ　Ｒ．Ｍａｔｒｉｘ　Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９９７．　［５］　匡继昌．常用不等式ＥＭ］．第３版．济南：山东科学技术出版社，２００４：３９３．　ｒ６］ＦＥＮＧ　Ｔｉａｎ—ｘｉａｎｇ，ＬＩＵ　Ｈｏｎｇ—ｘｉａ．Ｓｅｖｅｒａｌ　Ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｔｒａｃｅ　ｏｆ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｄｅｆｉｎｉｔｅ　Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　Ｍａｔｒｉｘ［Ｊ］．数　学杂志，２０１２（２）：２６３—２６８．　［７］ＷＡＮＧ　Ｂｏ—ｙｉｎｇ，ＺＨＡＮＧ　Ｆｕ—ｚｈｅｎ．Ｔｒａｃｅ　ａｎｄ　Ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｆｏｒ　Ｏｒｄｉｎａｒｙ　ａｎｄ　Ｈａｄａｍａｒｄ　Ｐｒｏｄｕｃｔｓ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｅｍｉｄｅｆｉｎｉｔｅ　Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ　Ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｍａｔｒｉｘ　Ａｎａ１．Ａｐｐ１．，１９９５，１６：１　１７３—１　１８３．　［８］　张　瑞，周其生．关于Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵迹的不等式的几点注记［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（４）：１—３．　Ｔｗｏ　Ｎｏｔｅｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｄｅｆｉｎｉｔｅ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　Ｍａｔｒｉｘ　Ｔｒａｃｅ　ＳＯＮＧ　ｙｕａｎ　。ＺＨＯＵ　Ｑｉ—ｓｈｅｎｇ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ａｎｑｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ａｎｑｉｎｇ　２４６１３３，Ａｎｈｕｉ　Ｃｈｉｎａ；　２．Ｃｈｕｚｈｏｕ　Ｖａｃａｔｉｏｎａｌ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈｕｚｈｏｕ　２３９０００，Ａｎｈｕｉ　Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｉｎｅｑｅａｌｉｔｙ’Ｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｔｒａｃｅ　ｏｆ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｅ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｍａ—　ｔｒｉｘ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｗｏ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｒｅａｌ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ，ｔｏｇｅｔｈｅｒ　ｗｉｔｈ　Ｎｅｕｍａｎｎ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｗｏ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ｐｏｓｉ—　ｔｉｖｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｅ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｔｒａｃｅ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｅ　Ｈｅｒｍｉｔｅ　ｍａｔｒｉｘ；ｔｒａｃｅ　（责任编辑　向阳洁）