稳健的动态资产组合模型研究

2007年　　6月ChineseJournalofManagementScienceJun.,　2007文章编号:1003-207(2007)03-0019-06

稳健的动态资产组合模型研究

朱微亮,刘海龙

(上海交通大学安泰经济与管理学院,上海　200052)

摘　要:事件风险与参数的不确定性对金融决策有重大的影响,投资者担心股市上极端金融事件的出现,突然改变股票价格和波动率,造成较大的损失。通过引入风险规避的稳健投资者以及模型设定可能存在误差,投资者在最小化模型设定误差的前提下,制定风险资产收益跳跃情况下的动态资产组合战略,最大化投资者的效用。结果表明,当投资者是风险规避和不确定性规避者时,稳健的投资准则会显著降低他们对风险资产的需求。关键词:随机波动率,动态资产组合,稳健控制中图分类号:F224;C931　　　文献标识码:A

1　引言

尽管金融市场上极端事件的出现次数不多,但它会突然改变股票价格和波动率,对投资者造成很大影响。因此,一方面,研究者应该对股票价格的波动作更符合现实的假定,在价格动态中加入价格跳跃项;另一方面,投资者在面对跳跃带来的不确定性时,更希望能找到一个稳健的投资准则来选择组合。

许多文献利用数学或工程的方法研究了稳健控制在投资决策中的作用[1-4]。这些文献假定投资者最担心糟糕的事情的发生,而通过稳健控制法则选择的投资组合,不仅在正常情况下表现良好,而且当出现突发事件时,组合也有好的表现。Hansen&Sargent(1995)[1]首次运用稳健控制的方法研究了经济问题,Anderson,Hansen&Sargent(1999)[2]在“稳健的持久收入与定价\"一文中展示了如何在连续时间模型中处理非线性目标函数的稳健控制,Maenhout(2004)[3]更进一步把这种方法拓展到研究投资组合与资产定价。在Maenhout(2004)文章中,投资者对模型设定是否正确没有把握,其中条件相对熵测度正确模型与错误模型的距离,因此投资者在资产价格服从扩散的随机过程时,制定一个稳健的投资规则,通过最小化条件相对熵使模型的错误设定对决策者的效用值影响达到最小。在实证方面,Bates(2000)[4]通过对美国股票价格数据

收稿日期:2006-08-01;修订日期:2007-05-21

作者简介:朱微亮(1976-),男(汉族),上海交通大学安泰经济

与管理学院,博士研究生,研究方向:金融工程.

进行实证分析,发现由于突发事件的出现,不仅股票价格而且股票价格波动率都会发生较大改变,这个现象随后得到许多文献的支持。这种双跳的随机跳-扩散在近期的理论建模文献中得到了应用,Liu,Longstaff&Pan(2003)[5],Liu&Pan(2004)[6]通过

假定投资者最大化终端财富,在资产价格服从双跳-扩散过程时,研究了动态的投资组合问题。总之,

由于突发事件的出现,它一方面要求类似双跳-扩散过程来刻画资产价格的变动规律,而不是Maen2hout(2004)等文献中认为资产价格服从一个扩散过程,另一方面,突发事件的出现使得投资者要求投资组合更稳健,能较少受到这种突发事件风险的波及。

本文转变思路,假定股票价格服从双跳的随机跳-扩散过程。由于突发事件的出现,不仅股票价格而且价格的波动率都会发生大的跳跃。当稳健的投资者对无风险资产和服从双跳随机过程的风险资产投资时,由于模型具有的仿射结构,这样可以把HJB的偏微分方程处理为两个普通的微分方程,这样我们就获得一个最优组合权重的解析解;其次,由于股票市场的价格变动带有不确定性,一个稳健的投资者希望他的投资组合受这种不确定性的影响达到最小,因此投资者构造了一个二次罚函数项,利用最小化二次罚函数使他的损失达到最小。结果发现,存在突发事件风险时,稳健的投资者会持有较少的风险资产。直觉上,当市场上不存在对股票价格跳跃对冲的资产时,投资者规避这种风险的最好方法是减少持有这种风险资产。为了显现经济上的直觉,文章考虑一个最简单的例子,即稳健投资者最大化终期财富带来的效用。

・20・中国管理科学　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年

2　稳健的动态资产组合模型

211　双跳-扩散的股票价格模型

推广Chow&Zhang(2002)[11]的离散时间下,稳健投资组合研究方法,本文采用连续框架,利用二次罚函数项,通过极大极小原理来建立稳健的投资组

合,控制组合的偏差。其中,二次罚函数项作为稳健投资者在面对不确定性而必须支付的成本,而极大极小原理通过最小化这种成本寻找一个最优的动态组合。

考虑到最优控制理论中,标准的HJB方程为:

2

(x)(3)0=Jt+Jxμ(x)+015Jxxσ

其中价值函数J(t,x)中的x是一个随机扩散

过程,μ(x)为它的漂移项,σ(x)为它的扩散项或瞬间方差。如果决策者担心对μ(x)的设定可能存在偏差时,出现随机过程的漂移项是μ(x)+u(x)的情况时,决策者希望利用一个二次罚函数项

-2

θ)u2(x)σ(x)来使这种偏离达到最小,其中θ测f()表示度了决策者对模型不确定性的容忍程度,f(θ

假定经济中存在两种资产:股票与无风险债券。

投资无风险债券可获得无风险利率r,而风险资产价格St服从一个与事件风险有关的双跳过程。股票价格的动态是:

λQ)vt)Stdt+dSt=(r+(η+Xλ-μt

+XtSt-(dNt-λvtdt)

dvt=k(v-vt)dt+σvtdzt+YtdNt

(1)vtStdz1t

这儿z1t和z是标准的布朗运动过程,布朗过程

z1t与布朗过程zt可以相关,它们的互协方差函数为:E(dz1tdzt)=ρdt,ρ∈[-1,1],因此可以把它重

2写为:dzt=ρdz1t+1-ρdz2t,其中z1t与z2t是相互的标准布朗运动。v是扩散回报的瞬间方差,

服从一个均值回复的跳-扩散过程,v是瞬间方差的长期均值,k是均值回归强度满足k>0,波动率系数σ>0。这种设定吻合了股票数据中显示的扩散性价格冲击z通过相关系数ρ而进入波动率动态方程。跳跃事件的随机到达通过一个纯跳过程N来刻画,随机到达密度为{λvt:t≥0},其中λ≥0这说明在t时刻,对未来时间间隔Δt内发生一次跳跃事件的条件概率为λvtΔt,当一个跳跃性事件到达后,价格上下随机跳跃X倍,随机变量X的分布区间为(-),这保证了股票价格不会为负值。1,∞Y代表波动率跳跃幅度的随机变量。假定X,Y,z1t,z2t,N两两

Q

相互。最后η,λ是常系数,它们代表股权溢价的组成部分,补偿了扩散性冲击带来的风险与跳跃风险。这种风险溢价的形式起源于Merton[7],并在Liu[8],Pan[9]与其他文章得到了广泛的使用。

了投资者的容忍程度随状态变化的事实,2-2

u(x)σ(x)习惯用于作为罚函数项,处理u(x)偏离0的距离。在最优状态下,决策者会最小化这种偏离:

-2

θ)u2(x)σ(x)+Jxμ(x)inf{u(x)}f(

(4)

由于稳健的控制准则是在最小化模型设定误差的前提下,最大化投资者的效用,因此由式(4)得到决策者最优的决策u3(x),这样,稳健的HJB方程为:

2

(x)+0=Jt+Jx[μ(x)+u3(x)]+015Jxxσ-2

θ)u32(x)σ(x)f(

(5)

假定投资者的效用函数形式为指数效用函数:

1-γ

)　γ　x/(1-γ1

(6)U(x)=

γ=1ln(x)　当x小于或等于0时,投资者的效用值为负无

穷大。这里γ>0为投资者的风险厌恶系数,函数强加了一个非负的约束条件。DybvigandHuang证明了财富非负约束可以排除Harrison&Kreps所描述的套利现象的发生,这种设定在文献中广泛采用。

因为经济运行过程中存在不确定性,股票市场上不仅有事件相关的风险带来的价格及波动率跳跃而且还存在其他影响股票价格运动的因素,假定这种不确定性由表示,投资者对此没有任何的知识。因为漂移系数,扩散项以及状态变量等的瞬时过程都是线性的,这种仿射结构的双跳-扩散模型是Duffieetal,Liuetal[10]等双跳模型的扩展,因此更完善的股价动态为:

λQ)vt)Stdt+dSt=(r+(η+Xλ-μt

+XtSt-(dNt-λvtdt)+utStdt

dvt=k(v-vt)dt+σvρtdz1t++YtdNt

vtStdz1t

2

3　稳健的动态资产组合

假定投资者在期初持有正的财富量w0,市场存在无风险债券和股票两种证券。投资者在每个时间

t,(0≤t≤T)投资at比例的财富量于风险股票。假

定市场无摩擦,投资者的目标是最大化他的终期财

1-ρdz2t)

(2)

富wT带来的期望效用:

max{at,0≤t≤T}

wt)E(

1-γ

1-γ

212　稳健的投资组合规则与目标函数形式

(7)

第3期　　　　　　　　　　　　　　　　朱微亮等:稳健的动态资产组合模型研究・21・由于股票价格运动带有的不确定性,满足自融资条件的财富过程为:

λQvt+ut)wtdt+atdwt=rwtdt+at(ηvt-μ

vtwtdz1t+atXtwt-dNt

(8)

3222

)γ-015(1-γat-B(t)k+015B(t)σt+332

(1-γ)B(t)σ)2θ+015(1-γatσO1=tatt+λ

0(14)

除了跳跃项和不确定项的引入,这是一个标准的Merton(1971)问题,与他采用的方法类似,定义

一个价值函数:

J(t,w,v,u)=max{at,0≤t≤T}

wT)E(

1-γ

1-γ

其中参数满足:

131-γB(t)Y

O1=E[(1+atX)e-1],A(T)=

1-γ

B(T)=0

(15)

(9)

利用Ito法则,稳健控制的随机HJB是:0=max{at,0≤t≤T}min{ut,0≤t≤T}[Jt+Jwwt(r+

2

λQvt+ut))+015Jwσρσtatvtwt+at(ηvt-μtvt+Jww

证明:见附录

如果不对不确定性的罚函数项进行某种假定,HJB方程是没有解析解的,只能对其进行数值分析。为了得到解析解以及使罚函数项的设定能切合实际,以下事实非常重要:(1)股票市场上股票价格的波动性越大,投资者就越可能认为股票价格上的不确定性越大,这说明了不确定项应该是状态依赖的函数,是波动率的增函数,满足fv≥0,下标代表一阶偏导;(2)随着财富的增加,对不确定性规避的重要性相对下降,说明不确定性系数是财富的单调不增的函数,满足fw≤0。因此假定不确定性罚函

)=-J/2θ数系数为:f(θvt,满足fv≥0,fw≤0。

由于A(t),B(t)是时间依赖的函数,且于状态变量wt,vt,ut,为了显示不确定性罚函数系数θ)=-J/2θf(vt对波动率和财富变动的函数关系,不失一般性,假定A(t)、B(t)为常数,A(t)=0,B(t)=1,风险规避系数γ=3,不确定性规避系数θ=2。图1分别表示不确定性罚函数系数对t期波动率(其中令w=1)和财富(其中令v=3)的函数关系:

λΔJ+f(θ)u2σt-2]vtEt

满足边界条件是:

J(T,wT,vT,uT)=0

(10)(11)

其中ΔJ=J(t,wt(1+atXt),vt+Yt,ut)-J(t,wt,vt,ut),表明股票价格及股票价格波动率发生跳跃的情况下,价值函数发生的增量。Jv,Jt,Jw

分别代表了价值函数对时间,财富量及股价波动率的一阶导数,二阶导数也是类似表示。

注意到求解这个HJB方程的偏微分方程非常复杂,因此猜测一个解也不是那么直接,特别的是,

θ)=0时,这Anderson.et.al(1999)已经证明,当f(

个偏微分方程是没有解析解的。尽管数值解也是一

)的适当形个有用的方法,但我们希望通过发现f(θ

2σ式而求出方程的解,假定θt>1,即不确定性与资产波动率大于1,保证模型中投资者注重不确定性

对组合策略的影响。

命题:假定存在一个状态依赖的不确定性罚函

)=-J/2θ数系数f(θvt,则给定财富和资产价格波

动率,稳健的动态最优资产组合为:

32

λQ+ρσ)θσat=(η-μO2)/γ-(1-γtB(t)+λt)

(12)

价值函数形式为:

wtJ(t,wt,vt,ut)=exp(A(t)+B(t)vt)

1-γ

(13)

1-γ

其中O2=

1-γ

1E[(1+atX)

3

1-γ

图1　不确定性罚函数与波动率(财富)关系图

Xe

B(t)Y

-1],

　　这个命题说明最优组合at3可以通过设定X和

Y的联合分布而求出。对任意给定的X和Y的联合

A(t),B(t)是时间依赖的函数,且于状态变量wt,vt,ut,0≤t≤T对每一个时间t,都满足下面的

方程:

)γ+B(t)kv=0A’(t)+(1-γ

2

)at3(η-μλQ-θ)(1-γ)at3σB’(t)+(1-γt)

分布,式(12)是关于at3及B(t)的非线性函数。它由

三部分组成的:股票扩散风险溢价部分η,股票跳跃λQ,股票波动率波动而导致的溢性溢价部分λN-μ

σtB(t)。价部分ρ

・22・中国管理科学　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2007年

推论:当γ=1时,无论是否采用稳健控制,风

险中性的最优风险资产比例都不会改变,当γ<1时,采用稳健投资准则的投资者,会投资更多风险资产;当γ>1时,采用稳健投资准则的投资者投资更少的风险资产。

推论的证明是容易的。式(12)关于风险规避系

2σ数求导及考虑θt>1:

2σ1+θt33

γ=-at×(16)9at/922<0γ(1+θσt)-θσt可以得到上面的推论。在Liu,Longstaff,Pan

(2003)中,他们推导出一个风险资产价格服从双跳的随机过程时,投资者的最优投资组合为如下形式:

1(ημ3Q

σtB(t)+λ(17)at=-λ+ρO2)

γ很显然,稳健控制的投资者在风险规避时对风险资产的需求更少,而在风险偏好的时候反而需求更多。这个结论的经济直觉是,如果风险资产中还存在不为人知的不确定性时,风险偏好的投资者会尽力发掘这种投资机会的,而风险厌恶者恰恰相反。这个推论修正了人们心目中认为稳健投资者一定会投资更少的想法。

行稳健的控制准则的最优组合权重是一致的。隐藏在这个经济事实下的直觉是:由于资产价格的波动率为常数,现有的资产价格已经完全反映了经济活动中的不确定性因素了,除了扩散性的价格风险和跳跃性价格风险外,投资者认为经济中再也没有其他风险了。在这种情况下,稳健的投资者在优化资产组合时会考虑这一点,从而在最优处选择u3=0,这样,模型误差被稳健准则剔除了,得到结果与其他没有采用稳健准则的投资者的最优组合没有区别。412　资产价格服从随机的扩散过程,波动率服从确定性跳-扩散随机过程的动态资产组合现实市场上,股票价格经常变动不大,不会有很大的变化,但波动率并不是一个常数,常常是一个大的波动后面接着一个大的波动,一个小波动后面接着一个小波动,股票收益率也不服从对称的Gaussi2an分布,这说明资产价格波动率不为常数,而是存在GARCH效应、后尾分布等现象;而且偶尔波动率会发生跳跃,产生突然的变化。

假定股票价格服从随机的扩散过程,则不存在股票价格的突然变动,有关跳跃项的随机变量X=

Q

0,补偿跳跃风险的股权溢价部分λ、跳跃高度μ及

Q

跳跃到达率λ有;μ=λ=λ=0;波动率服从确定性的跳-扩散过程,波动率仍然是均值回复的,均值为v,均值回复强度为k,其跳跃项Y已不服从Poisson过程,而是等于常数c;同样假定,设定的股票收益率可能存在误差u。这样,股票价格的动态方程为:

dSt=(r+ηvt)Stdt+

vtStdz1t+utStdt

2

1-ρdz2t)

4　二个简单例子与数字解

411　资产价格波动率为常数的确定性跳跃过程的

稳健投资组合

如果资产价格波动率vt为常数,则波动率的瞬间变化为零,即dvt=0,它排除了资产价格中GARCH效应等波动率群集及资产收益率后尾分布等现象,这样波动率均值回归强度k=0,跳跃幅度y=0及波动率系数σ=0;资产价格跳跃高度X不再是一个随机变量,而是等于它的均值X=μ;模型设定的股票收益率可能存在误差u。在这种情况下,资产价格仍然服从一个随机的跳跃-扩散过程,资产价格动态方程式(1)简化为:

λQ)vt)Stdt+dSt=(r+(η-μ

vtStdz1t+

dvt=k(v-vt)dt+σvt(ρdz1t++cdNt

(20)

μSt-dNt+utStdt

(18)dvt=0

)=-根据命题,当不确定性罚函数系数f(θθJ/2vt,给定财富和资产价格波动率,稳健的投资者最优化终期财富,这时,Merton问题式(7)的动态最优组合权重就简化为:

1(ημ3Q

(19)at=-λ+λO2)

γ

(1+at3μ)1-γμ-1其中O2=,这个结果与不执

1-γ

)=-根据命题,当不确定性罚函数系数f(θθJ/2vt,这时,Merton问题式(7)的动态最优组合权重为:

13

η+ρσtB(t))(21)at=2(γ-(1-γ)θσt

式(21)显示最优权重函数at3由两个部分组

成:价格扩散的风险溢价η,以及价格波动的风险溢σtB(t),其中价格波动通过股票价格扩散与价格价ρ

波动的相关系数ρ来影响权重系数的,B(t)满足式(14)。

为了比较采用稳健投资准则和不采用稳健投资准则的最优组合权重的区别,考虑资产价格服从随机扩散过程,波动率服从确定性跳-扩散随机过程,不采用稳健投资准则的的最优投资组合为(Liu,

第3期　　　　　　　　　　　　　　　　朱微亮等:稳健的动态资产组合模型研究・23・Longstaff,Pan,2003):

at

3

(2)投资于风险资产的比例随着时间的推移慢

(22)

=

γ

1(ηρ

+σtB(t))

为了令参数取值符合实际,首先考虑风险规避

系数γ,许多文献说明现实中投资者的风险规避系数在[2,10]区间,因此本文假定风险规避系数γ=2;其次不确定性规避系数大于0为不确定性厌恶,

慢减少,但并不为零,说明越接近投资期限,投资者更厌恶风险及不确定性,担心风险资产价格波动对终期财富造成以相,从而降低效用。

5　结　语

本文在稳健控制的准则下,对资产价格服从双跳-扩散的随机过程的动态组合问题进行了研究,结论表明:

(1)资产价格以及价格波动率的跳跃会对投资者的最优投资组合造成影响,在此情况下,最优组合可以分为三个部分:股票扩散风险溢价部分,股票跳

λQ,股票波动率波动而导致的跃性溢价部分λO2-μσtB(t),推广了Merton的最优投资组合溢价部分ρ问题。(2)资产收益的不确定性影响最优组合,稳健投资准则在投资者厌恶风险及不确定性时,稳健投资准则降低投资者对风险资产的需求。由于现实中资产的真实收益率是未知的,考虑不确定性对组合的影响可以为投资者提供决策参考。

本文在处理稳健投资准则时,为了得到最优组合的解析解,假定投资者存在一个依赖状态的二次不确定性罚函数项,以及为了简化分析,采用最大化终期财富的效用函数形式,这些设定不会影响文章的主要结论,但设定其他函数形式,可能影响最优组合的风险投资比例,需要在实际中加以注意,因此设

令θ=1说明投资者为不确定性规避者,投资期T=5年。在Liu,Longstaff,Pan(2003)文章中,他们利用S&P指数,通过测算得到,年股权溢价为011065,波动率与扩散项的相关系数ρ=-0157,波动率系数σ=0122478,股票价格波动性方程中瞬间方差回归强度k=0122578,其瞬间长期均值v=0111512。为了得到股票价格扩散的风险溢价系数项η,考虑到没有价格跳跃情况下,式(20)说明股权溢价为ηv=011065,得到股票价格扩散的风险溢价系数项η=019251。

图2　最优投资组合比较图

　　稳健投资准则下,最优组合权重at3=014512

(15)化为:-010625B(t),则式(14)、

2

B’(t)-011734-0133B(t)+01043B(t)=0

定一个更一般的效用函数形式及罚函数项是文章未来的研究方向。

附录:

(23)

B(5)=0at

3

这样,稳健投资准则下最优组合权重函数为:

=012114-012707tanh(011862t-213342)

(24)

对HJB方程的不确定性项求导,一阶条件为:

3-2

θ)σJwwtat+2utf(=0代入式(10),则最优的不t

确定性系数为:

2

Jwwtaθtvσtt3

(A1)ut=

J

利用式(22)可以计算出不采用稳健投资准则的

最优组合权重at3=014626-0101B(t),最终得到:

at

3

=012171-012767tanh(011882t-213502)

(25)

代入HJB方程,最优的组合比例满足一阶条件,即:

13

η+ρσtB(t))(A2)at=2(γ-(1-γ)θσt

其中O2

(1+at3X)1-γXeB(t)Y-1=E[]。猜测

1-γ

wtexp(A(t)+B(t)vt)1-γ

1-γ

图2描述了稳健的最优组合与没有采用稳健控制的组合的区别:

(1)稳健投资者投资到风险资产的比例总是低于没有采用稳健投资准则的投资风险资产比例;

价值函数是一个仿射函数,形如:

J(t,wt,vt,ut)=

(A3)

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代入到HJB方程,就有:

)γ+B(t)kv+A’(t)+(1-γ

2

(B’(t)+(1-γ)at3(η-μλQ-θ(1-γ)at3σt)

3222

)γ-015(1-γat-B(t)k+015B(t)σt+

332

(1-γ)B(t)σ)2θ+015(1-γatσO1)vttatt+λ

=0(A4)

(1+atX)3

1-γ

1-γ界条件:A(T)=B(T)=0。证毕。

其中O1=E[

XeB(t)Y

-1]满足边

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RobustPortfolioofDynamicAssetAllocation

ZHUWei-liang,LIUHai-long

(AntaiSchoolofEconomicsandManagement,ShanghaiJiaotongUniversity,Shanghai200030,China)

Abstract:Botheventandparameteruncertaintyseemshighlyrelevantinmanyaspectsoffinancialdecision-making.Thispaperexplorestheeffectsofsuchuncertaintyandeventriskondynamicportfolio,inpar2ticular,theimplicationofjumpsinpricesandvolatilityoninvestmentstrategiesformajoreventsoftentriggerabruptchangesinstockpricesandvolatilitywhenarobustinvestorworriesuncertaintyinstockmarket.Withthemodelspecificationsandrobustinvestors,Theresultsshowthatinvestorsminimizethespecificationerrorsandthenselectanoptimaldynamicportfoliotomaximizetheirutilities,provethatro2bustnessdramaticallydecreasestheportfoliodemandofequitywhenagentsareriskaversionanduncertain2tyaversion.

Keywords:stochasticvolatility,dynamicportfolio,robustcontrol