六年级奥数 第21讲“不变量”解题

一、知识要点

一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 二、精讲精练

【例题1】将

743的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。

961解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，

所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－ ）＝81 分子：81× ＝63 81-61＝20或63-43＝20

437

解法二： 的分母比分子多18， 的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将

6197

的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。 97

的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 9797979777×963

约分后所得的 在约分前是： ＝ ＝

99×9819所加的数是81-61＝20

答：所加的数是20。 练习1： 1、分数

1

972

的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？ 1815

2、分数 的分子、分母同加上一个数后得 ，那么同加的这个数是多少？

3、将 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？

【例题2】将一个分数的分母减去2得 ，如果将它的分母加上1，则得 ，求这个分数。

4解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得 ”

52358792311335可知，分母比分子的 倍还多2。由“分母加1得 ”可知，分母比分子的 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（ － ）=12 分母：12× -1＝17

解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。 ＝ ＝ ， ＝ ②原分数的分母是：

2

5

4233232322346121845121518-1＝17或15+2＝17 答：这个分数为 。 练习2：

1、将一个分数的分母加上2得 ，分母加上3得 。原来的分数是多少？

34

2、将一个分数的分母加上3得 ，分母加上2得 。原来的分数是多少？

45

3、将一个分数的分母加上5得 ，分母加上4得 。原来的分数是多少？

4、将一个分数的分母减去9得 ，分母减去6得 。原来的分数是多少？

【例题3】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。

解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ，

5

7101412575874374979341217 3

17107

= 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想 和 的分2141414子和分母再乘以2。所以

510201714 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 7142821428故原来的最简分数是 。

解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以

5117（ + ）÷2＝ 722817

28答：原来的最简分数是 。 练习3：

1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

【例题4】将一个分数的分母加3得 ，分母加5得 。原分数是多少？

解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即 ＝ ，

21321

＝ 。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将 428277

921277934136712581728 4

和

217214232142

的分子和分母再同乘以2。则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。所以，原分数的

92742856284251分母是（－3＝）51。原分数是 。

解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的 ，分母加5后

是分子的 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ － ）＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是 。 练习4：

1、一个分数，将它的分母加5得 ，加8得 ，原来的分数是多少？（用两种方法）

2、将一个分数的分母减去3，约分后得 ；若将它的分母减去5，则得 。原来的分数是多

少？（用两种方法做）

3、把一个分数的分母减去2，约分后等于 。如果给原分数的分母加上9，约分后等于 。

求原分数。

3

4576778525143439797 5

【例题5】有一个分数，如果分子加1，这个分数等于 ；如果分母加1，这个分数就等

1

于 ，这个分数是多少？ 312根据“分子加1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于 ”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是 。

练习5：

1、一个分数，如果分子加3，这个分数等于 ，如果分母加上1，这个分数等于 ，这个分数是多少？

11

2、一个分数，如果分子加5，这个分数等于 ，如果分母减3，这个分数等于 ，这个

23

6

1

213381213分数是多少？

三、课后练习

35

1、 的分子、分母加上同一个数并约分后得 ，那么加上的数是多少？

197

2、将一个分数的分母加上2得 ，分母加上2得 。原来的分数是多少？

3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同

3

一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

5793445

7

4、一个分数，如果分子减1，这个分数等于 ；如果分母加11，这个分数等于 ，这个分数是多少？

1213 8