甘肃省2020学年高一数学上学期期末考试试题 (3)

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.倾斜角为135,在y轴上的截距为1的直线方程是( ) A. xy10 2.函数f(x)B.xy10

C. xy10

D. xy10

1lg(1x)的定义域是( ) 1x

B. (1,)

C. (1,1)(1,) D. (,)

A. (,1)

3.已知某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则该几何体的体积是( ) A. 108cm3

B. 100cm3

C. 92cm3

D. 84cm3

4．已知直线l的倾斜角为45°，直线l1经过点A(3，2)，B(－a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝ ( ) A．－2 B．－4 C．0 5．实数a0.22,blog2D．2

0.2,c(2)0.2的大小关系正确的是( )

A．a6．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( ) A．2x＋3y－18＝0

C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0

B．2x－y－2＝0

D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0

7.在空间给出下面四个命题(其中m,n为不同的两条直线,α,β为不同的两个平面) ①m⊥α,n∥α⇒m⊥n

②m∥n,n∥α⇒m∥α

③m∥n,n⊥β,m∥α⇒α⊥β

④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( ) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

8．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是( ) A．(5,6) B．(－5,6) C．(2,3) D．(－2,3) 9．函数f(x)x(x1)的大致图象是( )

2 - 1 -

10．如图所示，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，M是PC上的任意一点，则下列选项能使得平面MBD⊥平面PCD的是( ) A．M为PC的中点 B．DM⊥BC C．DM⊥PC D．DM⊥PB

11.已知偶函数fx在 在区间0,单调递减,则满足

1f2x1f的x取值范围是( )

3A. 2,3

13

B. ,,1323

C.,

D. ,1233

12．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B—AC—D，则四面体ABCD的外接球的体积为( ) 125πA. 9 125πB. 12 C.125π 3 D.125π 6第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．过点(1,3)且在x轴的截距为2的直线方程是__________．

14．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，AA1＝2，则异面直线A1B1与BD1的夹角等于________．

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15. 如图,已知平面⊥平面,l,Al,Bl,AC,BD,ACl,BDl,且AB=4,AC=3,BD=12,则CD= .

16.已知fxlog1xaxa在区间,221上是增函数,则实数a的取值范围是2____.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)已知直线y＝且过点M(2，－1)，求l的方程．

(2)已知直线l过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．

18．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点． (1)求证：VB∥平面MOC； (2)求证：平面MOC⊥平面VAB；

- 3 -

3

x－1的倾斜角为，另一直线l的倾斜角2，3

19.(本小题满分12分)已知两直线l1:x2y40,l2:4x3y50. （1）若直线ax2y60与l1、l2可组成三角形，求实数a满足的条件；

（2）设A1,2，若直线l过l1与l2的交点P，且点A到直线l的距离等于1，求直线l的方程.

20．(本小题满分12分)设函数yf(x)是定义在R上的函数，对任意实数x，有

f(1x)x23x3

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)f(x)(12m)x1(mR)在,上的最小值为－2，求m的值．

21．(本小题满分12分)如图(1)，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝22，M，N分别为AD和

32BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使两个半平面所成二面角为

60°，如图(2)．

(1)求证：BO⊥DO；

(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值．

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22．(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.

(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；

(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1­CD­C1的大小为60°.

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高一数学参：

一．选择题

1-5 DCBAC 6-10 DCBAC 11-12 BD 二．填空题

13. 3x＋y－6＝0 14. 60° 15. 13 16.1a三．解答题

17.解 (1)∵已知直线的斜率为

33，即tan α＝. 33

1 2∴α＝30°.∴直线l的斜率k＝tan 2α＝tan 60°＝3.

又l过点M(2，－1)，∴l的方程为y－(－1)＝3(x－2)，即3x－y－23－1＝0. (2)由题意知，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y－3＝k(x＋2)．

令x＝0，得y＝2k＋3； 3

令y＝0，得x＝－－2.

k于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为 12

332k＋3－－2＝4，即(2k＋3)＋2＝±8，

kk

19

解得k＝－或k＝－. 22

19

∴l的方程为y－3＝－(x＋2)，或y－3＝－(x＋2)．

22即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0

18.(1)证明：因为O，M分别AB，VA的中点， 所以OM∥VB. 又因为VB⊄平面MOC. 所以VB∥平面MOC

(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点， 所以OC⊥AB.

又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC， 所以OC⊥平面VAB. 又OC⊂平面MOC.

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所以平面MOC⊥平面VAB x2y40x219.【解析】（1）由， 4x3y50y1l1,l2的交点为P2,1.

（i）当直线ax2y60过l1与l2的交点P时，不能构成三角形，

a22160a2；

（ii）当直线ax2y60分别与l1、l2平行时，不能构成三角形，

8a1,且a.

3综上，a2,且a1,且a8. 3

20.解：(1)令1－x＝t，则x＝1－t， 所以f(t)＝(1－t)－3(1－t)＋3， 即f(t)＝t＋t＋1， 所以f(x)＝x＋x＋1，x∈R.

3222(2)g(x)＝x－2mx＋2＝(x－m)＋2－mx≥， 232

若m≥，g(x)min＝g(m)＝2－m＝－2，

2所以m＝2；

3317

若m＜，g(x)min＝g＝－3m＝－2，

224253

所以m＝＞，舍去．

122综上可知m＝2.

22

2

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21.解：(1)证明：翻折前，由于M，N是矩形ABCD的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，

DM⊥MN，折叠后垂直关系不变，所以∠AMD是两个半平面所成二面角的平面角，所以∠AMD＝

60°.

连接AD，由AM＝DM，可知△MAD是正三角形，所以AD＝2.

在Rt△BAD中，AB＝2，AD＝2，所以BD＝6，由题可知BO＝OD＝3，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO.

(2)如图，设E，F分别是BD，CD的中点，连接EF，OE，OF，BC，又BD＝6，BC＝2，

CD＝2，所以DC⊥BC，则EF⊥CD.

又OF⊥CD，所以CD⊥平面OEF，OE⊥CD.

又BO＝OD，所以OE⊥BD，又BD∩CD＝D，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BOD，所以平面BOD⊥平面ABCD.

过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，则OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为AO与平面BOD所成的角．

23AH2

又AH是Rt△ABD斜边上的高，所以AH＝，又OA＝3，所以sin∠AOH＝＝.故AO3OA32

与平面BOD所成角的正弦值为. 3

22.解：(1)证明：因为∠A1C1B1＝∠ACB＝90°， 所以B1C1⊥A1C1，

又由直三棱柱的性质知B1C1⊥CC1， 所以B1C1⊥平面ACC1A1. 所以B1C1⊥CD，

由AA1＝BC＝2AC＝2，D为AA1中点，可知DC＝DC1＝2， 所以DC＋DC1＝CC1＝4，即CD⊥DC1， 又B1C1⊥CD，所以CD⊥平面B1C1D， 又CD⊂平面B1CD， 故平面B1CD⊥平面B1C1D. (2)当AD＝

2

AA1时二面角B1­CD­C1的大小为60°. 2

2

2

2

假设在AA1上存在一点D满足题意，

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由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥CD.

如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD ，交CD或延长线于点E，连接EB1，因为B1C1∩C1E＝C1，所以CD⊥平面B1C1E，

所以CD⊥EB1，

所以∠B1EC1为二面角B1­CD­C1的平面角， 所以∠B1EC1＝60°. 23

由B1C1＝2知，C1E＝.

3设AD＝x，则DC＝x＋1， 因为△DCC1的面积为1， 1223所以x＋1×＝1，

23

2

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