小学六年级奥数-第21讲“不变量”解题后附答案

一、知识要点

一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 二、精讲精练

【例题1】将

743的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。

961解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是

18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－ ）＝81 分子：81× ＝63 81-61＝20或63-43＝20

解法二： 的分母比分子多18， 的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，

所以将 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

7

的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 9

79

4361

79

79

79

79

777×963

约分后所得的 在约分前是： ＝ ＝

99×9819

所加的数是81-61＝20

答：所加的数是20。

练习1： 1、分数是多少？

2、分数 的分子、分母同加上一个数后得 ，那么同加的这个数是多少？

1

972

的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数1815

11335

3、将 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？

【例题2】将一个分数的分母减去2得 ，如果将它的分母加上1，则得 ，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去

2得 ”可知，分母比分子的 倍还多2。由“分母加1得 ”可知，分母比分子的 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（ － ）=12 分母：12× -1＝17

解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。 ＝ ＝ ， ＝ ②原分数的分母是： 18-1＝17或15+2＝17 答：这个分数为 。 练习2：

1、将一个分数的分母加上2得 ，分母加上3得 。原来的分数是多少？

34

2、将一个分数的分母加上3得 ，分母加上2得 。原来的分数是多少？

45

3、将一个分数的分母加上5得 ，分母加上4得 。原来的分数是多少？

4、将一个分数的分母减去9得 ，分母减去6得 。原来的分数是多少？

2

587923

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【例题3】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。

解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ， = 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想 和 的分子和分母再乘以2。所以

510201714 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 71428214287141014

12

714

101457

12

57

故原来的最简分数是 。

解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以

（ + ）÷2＝ 答：原来的最简分数是 。 练习3：

1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

【例题4】将一个分数的分母加3得 ，分母加5得 。原分数是多少？

解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即 ＝

21321

， ＝ 。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以27428

7

9

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3

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分别将 和 的分子和分母再同乘以2。则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。所

927428562728以，原分数的分母是（－3＝）51。原分数是 。

解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的 ，分母加

5后是分子的 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ － ）＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是 。 练习4：

1、一个分数，将它的分母加5得 ，加8得 ，原来的分数是多少？（用两种方法）

2、将一个分数的分母减去3，约分后得 ；若将它的分母减去5，则得 。原来的分数

是多少？（用两种方法做）

3、把一个分数的分母减去2，约分后等于 。如果给原分数的分母加上9，约分后等于

5

。求原分数。 7

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4251

43

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97

97

4251

【例题5】有一个分数，如果分子加1，这个分数等于 ；如果分母加1，这个分数就等于 ，这个分数是多少？

根据“分子加1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于 ”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是 。

4

12

13

12

13

38

练习5：

1、一个分数，如果分子加3，这个分数等于 ，如果分母加上1，这个分数等于 ，这个分数是多少？

2、一个分数，如果分子加5，这个分数等于 ，如果分母减3，这个分数等于 ，这个分数是多少？

三、课后练习

1、

2、将一个分数的分母加上2得 ，分母加上2得 。原来的分数是多少？

3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

4、一个分数，如果分子减1，这个分数等于 ；如果分母加11，这个分数等于 ，

5

1213

1213

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的分子、分母加上同一个数并约分后得 ，那么加上的数是多少？ 197

3

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79

35

1213

这个分数是多少？

第21周抓“不变量”解题答案解析

一、知识要点

一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练

【例题1】将 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是

18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－ ）＝81 分子：81× ＝63 81-61＝20或63-43＝20

解法二： 的分母比分子多18， 的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，

所以将 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

7

的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 9

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777×963

约分后所得的 在约分前是： ＝ ＝

99×9819

所加的数是81-61＝20

答：所加的数是20。 练习1： 1、分数是多少？

2、分数 的分子、分母同加上一个数后得 ，那么同加的这个数是多少？

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972

的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数1815

3

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3、 的分子、分母加上同一个数并约分后得 ，那么加上的数是多少？ 4、将 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？

【例题2】将一个分数的分母减去2得 ，如果将它的分母加上1，则得 ，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去

2得 ”可知，分母比分子的 倍还多2。由“分母加1得 ”可知，分母比分子的 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（ － ）=12 分母：12× -1＝17

解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。 ＝ ＝ ， ＝ ②原分数的分母是： 18-1＝17或15+2＝17 答：这个分数为 。 练习2：

1、将一个分数的分母加上2得 ，分母加上3得 。原来的分数是多少？ 2、将一个分数的分母加上3得 ，分母加上2得 。原来的分数是多少？ 3、将一个分数的分母加上5得 ，分母加上4得 。原来的分数是多少？ 4、将一个分数的分母减去9得 ，分母减去6得 。原来的分数是多少？ 【例题3】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。

解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ， = 。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想 和 的分子和分母再乘以2。所以

510201714 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 71428214287141014

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故原来的最简分数是 。

解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以

（ + ）÷2＝ 答：原来的最简分数是 。 练习3：

1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。

【例题4】将一个分数的分母加3得 ，分母加5得 。原分数是多少？

解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即 ＝

21321

， ＝ 。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以27428

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分别将 和 的分子和分母再同乘以2。则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。所

927428562728以，原分数的分母是（－3＝）51。原分数是 。

解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的 ，分母加

5后是分子的 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ － ）＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是 。 练习4：

1、一个分数，将它的分母加5得 ，加8得 ，原来的分数是多少？（用两种方法） 2、将一个分数的分母减去3，约分后得 ；若将它的分母减去5，则得 。原来的分数

是多少？（用两种方法做）

3、把一个分数的分母减去2，约分后等于 。如果给原分数的分母加上9，约分后等于

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4251

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。求原分数。 7

【例题5】有一个分数，如果分子加1，这个分数等于 ；如果分母加1，这个分数就等于 ，这个分数是多少？

根据“分子加1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于 ”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是 。

练习5：

1、一个分数，如果分子加3，这个分数等于 ，如果分母加上1，这个分数等于 ，这个分数是多少？

2、一个分数，如果分子加5，这个分数等于 ，如果分母减3，这个分数等于 ，这个分数是多少？

3、一个分数，如果分子减1，这个分数等于 ；如果分母加11，这个分数等于 ，这个分数是多少？

答案： 练1

1、 41 2、17 3、 37 4、 16 练2

1、 2、 3、 4、 练3

1、 2、 3、 练4

1、 2、练5

1、 2、 3、

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