2020_2021学年高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换测评课后习题含解析新人教B版必修第三册

(时间:120分钟 满分:150分)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数y=sin 3x+cos 3x的最小正周期是( )

A.6π

B.2π

C.2π

3

D.π

3 解析由y=sin3x+cos3x,得y=√2

√22sin3x+√22cos3x=√2sin3x+π

4,

可知该函数的最小正周期T=2π

2π|𝜔|=3

,故选C.

答案C 2.cos215°+cos275°+cos 15°cos 75°的值是( )

A.3

2 B.√6√32 C.4 D.5

4

答案D 3.已知sin𝛼+2cos𝛼

1

sin𝛼-2cos𝛼=5,则cos2α+2sin 2α=( ) A.-2

5

B.3

C.-3 D.2

5

解析因为sin𝛼+2cos𝛼

tan𝛼+2

sin𝛼-2cos𝛼=5,所以tan𝛼-2=5, 解得tanα=3,cos2α+1

2sin2α=cos2𝛼+sin𝛼cos𝛼cos2𝛼+sin2𝛼

=

1+tan𝛼1+tan2𝛼

=

1+32

1+9

=5

,故选D.

答案D 4.若a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角θ是( A.π

2π

5π

6 B.π

3

C.3

D.6

解析因为a2-2a·b=0,b2-2a·b=0, 所以a2=b2=2a·b,|a|=|b|, 所以cosθ=𝑎·𝑏

12𝑎2

1

|𝑎||𝑏|=|𝑎|2=2. 又θ∈[0,π],所以θ=π

3. 答案B 5.若cos θ=-3

5,且180°<θ<270°,则tan𝜃

2的值为 A.2

B.-2

) ( )

C.±2

3

D.-

2

1

解析∵cosθ=-5,且180°<θ<270°, ∴90°<2<135°, ∴tan2=-√1+cos𝜃=-2. 答案B 6.在三角形ABC中,若C>90°,则tan A·tan B与1的大小关系为( ) A.tan A·tan B>1 C.tan A·tan B=1

B.tan A·tan B<1 D.不能确定

tan𝐴+tan𝐵

𝜃

1-cos𝜃𝜃

解析在三角形ABC中,因为C>90°,所以A,B都为锐角.则有tanA>0,tanB>0,tanC<0. 又因为C=π-(A+B),所以tanC=-tan(A+B)=-即tanA·tanB<1. 答案B 7.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(√3sin A,sin B),n=(cos B,√3cos A),若m·n=1+cos(A+B),则C=( ) A. 3π

1-tan𝐴·tan𝐵

<0,易知1-tanA·tanB>0,

C.

62π

B.

6

π

D. 35π

解析因为m·n=√3sinAcosB+sinB·√3cosA =√3sin(A+B)=√3sinC=1-cosC, 所以sinC+

π6

=.

2

π6

5π6

1

又因为013

,故C=.

3

2π

8.已知sin(α+2β)=,cos β=,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为( ) A.C.

3√7-2√2 12

B.

3-2√1412

3√7+2√2 12

D.

34

7

3+2√14 12

13

解析因为sin(α+2β)=,cosβ=,α,β为锐角, 又cos2β=2cosβ-1=-9<0,

所以α+2β大于90°.由同角三角函数关系, 可得cos(α+2β)=-,sinβ=

√74

2√2, 3

2

所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β] =sin(α+2β)cosβ-cos(α+2β)sinβ =4×3--4×3=

3

1

√7

2√2

3+2√14

,故选12

D.

答案D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.

9.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=cos x(cos x+√3sin x)-2,则下面的结论不正确的是( )

A.把C1上各点的横坐标变为原来的2,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标变为原来的2,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线

12ππ

1

π

1

π

1

C2

D.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移6个单位,得到曲线C2 解析∵y=cosx(cosx+√3sinx)-2=cos2x+√3sinxcosx-2 =

1+cos2𝑥

2

1

1

1√3sin2x-22

12

√32

+

π

=cos2x+sin2x

π

π

=cos2xcos3+sin2xsin3=cos2x-3,

∴将曲线C1上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位,得到曲线

2

6

1

π

C2.

∴A,C,D不合题意,故选ACD. 答案ACD ⃗ =2a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+b,则下列结论不正确的是10.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵( ) A.|b|=1 C.a·b=1

B.a⊥b

⃗⃗⃗⃗⃗ D.(4a+b)⊥𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+b-2a=b,得|b|=2. 解析在△ABC中,由𝐵𝐶

由题得,|a|=1,所以a·b=|a||b|cos120°=-1,

⃗⃗⃗⃗⃗ =(4a+b)·⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以(4a+b)·𝐵𝐶b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥𝐵𝐶答案ABC 11.函数f(x)=sin 2x+√3cos 2x的单调递增区间有 A.[-5π1212

( )

,] ] 12

π

B.[

5π13π3

,

6

] ]

π3

π2

π3

π2

C.[12,

7π13π

D.[12,

19π25π

12

解析f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin2x+得kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z),

5π

π

,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),

即函数的单调递增区间为kπ-12,kπ+12(k∈Z), 当k=0时,得-12,12,当k=1时,得

5ππ

7π13π

5ππ

,

12

12

,当k=2时,得

19π25π12

,

12

.故选ACD.

答案ACD 12.已知锐角α,β满足sin α-cos α=6,tan α+tan β+√3tan αtan β=√3,则( ) A.<α< C.<α<β

44π

2

π

π

1

B.β<<α D.<β<α

4

1

π2

π

4

π

解析因为α为锐角,sinα-cosα=6>0, 所以<α<.

4π又tanα+tanβ+√3tanαtanβ=√3, 所以tan(α+β)=所以α+β=3,

π4π

tan𝛼+tan𝛽1-tan𝛼tan𝛽

=√3,

又α>,所以β<<α.

4

π

答案AB 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知cos α=,α∈0,

5353

π2π2

,则cos,

π3

+α= .

解析因为cosα=,α∈0,则sinα=,

所以cos答案3-4√310π3

+α=coscosα-sinsinα=×−

3

3

2

5

ππ13

4√3×25

=

3-4√310

.

14.已知sin α=3cos α,则cos 2α= . 解析因为sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1, 解得cos2α=,sin2α=,

101

9

故

答案- 5

10

1

cos2α=cos2α-sin2α=

10

4

−

910

=-.

5

4

⏜15.给定两个长度为1的平面向量⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴和⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵,它们的夹角为120°.如图,点C在以O为圆心的圆弧𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ =x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中x,y∈R,则x+y的最大值是 . 上变动,若𝑂𝐶

解析建立如图所示的坐标系,

则A(1,0),B(cos120°,sin120°), 即B-2,

1√3

2

.

⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα). 设∠AOC=α,则𝑂𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ =x⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,0)+-𝑦,√3y=(cosα,sinα), ∵𝑂𝐶𝑂𝐴+y𝑂𝐵22𝑥-=cos𝛼,

2

∴{√3

𝑦=sin𝛼.2𝑥=+cos𝛼,√3∴{ 2sin𝛼𝑦=3,√sin𝛼𝑦

∴x+y=√3sinα+cosα=2sin(α+30°). ∵0°≤α≤120°, ∴30°≤α+30°≤150°. ∴当α=60°时,x+y有最大值2. 答案2 16.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 解析设a,b的夹角为θ, 因为|a|=1,|b|=2,

所以|a+b|+|a-b|=√(𝑎+𝑏)2+√(𝑎-𝑏)2=√5+4cos𝜃+√5-4cos𝜃. 令y=√5+4cos𝜃+√5-4cos𝜃, 则y2=10+2√25-16cos2𝜃. 因为θ∈[0,π], 所以cos2θ∈[0,1], 所以y2∈[16,20], 所以y∈[4,2√5], 即|a+b|+|a-b|∈[4,2√5], 故|a+b|+|a-b|最小值为4,最大值为2√5. 答案4 2√5 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(1)求值:sin25°-cos15°cos80°. (2)已知sin θ+2cos θ=0,求

cos2𝜃-sin2𝜃1+cos2𝜃

sin65°+sin15°sin10°

的值.

sin80°cos15°

cos15°sin15°

解(1)原式=sin(15°+10°)-cos15°cos80°=sin15°cos10°=

sin(80°-15°)+sin15°sin10°

=2+√3.

(2)由sinθ+2cosθ=0,得sinθ=-2cosθ, 又cosθ≠0,则tanθ=-2, 所以

cos2𝜃-sin2𝜃1+cos2𝜃

=

cos2𝜃-sin2𝜃-2sin𝜃cos𝜃

sin2𝜃+2cos2𝜃

=

1-tan2𝜃-2tan𝜃tan2𝜃+2

=

1-(-2)2-2×(-2)(-2)+2

2=.

6

√10, 5

1

18.(12分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a-b|=(1)求cos(α+β)的值; (2)若cos α=13,求cos β的值.

解(1)由题意可得a-b=(cosα-cosβ,sinα+sinβ), ∵|a-b|=

√10 5

12

=√(cos𝛼-cos𝛽)2+(sin𝛼+sin𝛽)2 =√2-2cos(𝛼+𝛽), ∴cos(α+β)=.

(2)∵cos(α+β)=,α,β均为锐角,

5

4

∴α+β仍为锐角,

sin(α+β)=√1-cos2(𝛼+𝛽)=. ∵cosα=, 1312

53

∴sinα=√1-cos2𝛼=

513

, 45

1213

∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间; (2)设α是第一象限角,且f

32

+×

5

3513

=

6365

.

3π2

19.(12分)已知函数f(x)=cos2ωx+√3sin ωxcos ωx(ω>0)的图像的相邻两条对称轴的距离为.

α+

π2

=,求

26

23

sin(𝛼+)

π4

cos(4π+2𝛼)

的值.

√3sin2ωx, 2

13

解(1)因为f(x)=cos2ωx+√3sinωxcosωx=

π612

12

1+cos2𝜔𝑥

22π

+

所以f(x)=sin2ωx+则f(x)=sin

π2

2323

+的最小正周期T==3π,解得ω=,

2𝜔

x+

π6

+.

π2

π2

令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z)可得3kπ-π≤x≤3kπ+(k∈Z),即f(x)的单调递增区间为[3𝑘π-π,3𝑘π+

6

π2

π

](k∈Z).

3

π

23

π

1

1

23

5

12

(2)因为f

π

4

α+2=26,即sinα+2+2=cosα+2=26,所以cosα=13,又α是第一象限角,所以sinα=13,所2

√22

以cos(4π+2𝛼)=

sin(𝛼+)

·

sin𝛼+cos𝛼cos2𝛼

=2(cos𝛼-sin𝛼)=-

√2

13√2

. 14

20.(12分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P(-3,4),β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为.

√210

(1)求tan(2α-β)的值. (2)若<α<π,0<β<,求α+β.

2

2

π

π

解(1)由三角函数的定义可知tanα=-, 3

4

所以tan2α=

2×(-)41-(-) 2

3

43

=

247

.

√2又由三角函数线知sinβ=10. 因为β为第一象限角,则

3

7√2cosβ=10,所以

tanβ=7,所以tan(2α-β)=

3π

1

241-772411+×

77

=

16173

.

(2)因为cosα=-5,sinβ=10,2<α<π,0<β<2,2<α+β<2. 所以sinα=5,cosβ=10, 因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=5×又<α+β<,

2π

3π23π4

4

7√210

4

7√2√2πππ

−5×10=

3√2√2, 2

所以α+β=.

21.(12分)已知函数f(x)=sin x-2√3sin22. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)求f(x)在区间[0,

2π3

𝑥

]上的最小值.

π3π

解(1)∵f(x)=sinx+√3cosx-√3=2sinx+

π

π

3π

-√3,∴f(x)的最小正周期为2π.

7π

由2kπ+2≤x+3≤2kπ+2(k∈Z),得2kπ+6≤x≤2kπ+6(k∈Z), ∴f(x)的单调递减区间是[2𝑘π+6,2𝑘π+(2)∵0≤x≤3, ∴3≤x+3≤π,-√3≤f(x)≤2-√3. 当x+3=π,即x=3时,f(x)取得最小值.

π

2π

π

π

2π

π

7π6

](k∈Z).

∴f(x)在区间[0,

2π3

]上的最小值为f

2π3

=-√3.

22.(12分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,√3sin 2x+m). (1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; (2)当x∈[0,6]时,-4π6π

+m+1,

∴函数f(x)的最小正周期T=π,

在[0,π]上的单调递增区间为[0,6],[3,π]. (2)∵当x∈0,6时,f(x)单调递增, ∴当x=时,f(x)的最大值等于m+3.

6π

π

π

2π

当x=0时,f(x)的最小值等于m+2. 𝑚+3<4,由题设知{解得-6𝑚+2>-4,故实数m的取值范围是(-6,1).