一个常见三角不等式的推广

数学通讯　２００６年第２３期　个常见三角不等式的推广　宋　庆　（南昌大学附中，江西３３００４７）　中图分类号：Ｏ１２２．３　文献标识码：Ａ　文章编号：０４８８—７３９５（２００６）２３～００３０—０２　在／ＸＡＢＣ，有不等式　（　±　８　’　Ａ∞ｓＢｏ０ｓｃ≤吉　（１）　等号成立当且仅当Ａ　Ｂ且　等号成立当且仅当ｚＸＡＢＣ为正三角形．　ｃ０ｓｃ＝　（０≤　＜３），　将其推广，笔者获得如下结论．　定理在ＡＡＢＣ中，对　≥０有不等式　即Ａ＝Ｂ＝　１　ａｒｃ∞　丁２－１ｏｏｓＡ　Ｂ（ｃｏｓＣ　≤　（２）　综上，定理成立．　等号成立当且仅当　于不等式（２）中取　＝１。可得　Ａ＝Ｂ＝　１　ａｒｃ　丁２－１推论１在ＡＡＢＣ中，有不等式　∞ｓＡｃｏｓＢｃｏｓ２　Ｃ　１　（３）　证当ｃｃ￣ｓＡｃｏｓＢ≤Ｏ时，ｍｓＣ＞Ｏ，从而　ｃｏｓＡｃｏｓＢ（ｃｏｓｃ＋　）≤０＜　；　等号成立当且仅当Ａ＝Ｂ＝－ａ　－．　当ｏ０ｓＡ　ｅｏｓＢ＞０．ＣＯＳＣ＋．；Ｉ≤０时．　推论２在ＺＸＡＢＣ中，有不等式　ｏｏｓＡｏｏｓＢ（ｃｏｓＣ　≤０＜　；　ｃｏｓＡｃｏｓＢ　（ｃｏｓＣ＋２）≤詈　（４）　当ｃｏｓＡｃｏｓＢ＞０，ｃｏｓＣ＋　＞０时，　等号成立当且仅当Ａ＝Ｂ＝詈．　ｃｏｓＡｃｏｓＢ（ｃｏｓＣ＋　）　推论３在ＡＡＢＣ中，有不等式　ｌ［ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）十ｃ０ｓ（Ａ—Ｂ）］　ｃｏｓＡｃｏｓＢ（ｃｏｓＣ＋３）＜２　（５）　（ｃｏｓＣ＋　）　因Ａ＝Ｂ一０，Ｃ一＋丌时，（５）式左端一２，　敌系数２不可改进．　￣－［ｃｏｓ（Ａ—Ｂ）一ｃｏｓＣ］（ｃｏｓＣ＋　）　对不等式（２）作变换：Ａ一　，Ｂ一　≤　（１一ｅｏｓＣ）（ｃｏｓＣ＋　丁７ｒ－Ｂ≤丢　事　ｃ一　≠，可得　推论４在ＡＡＢＣ中．对　有不等式　收稿日期：２００６—０９一ｌ２　作者简介：宋庆（１９５５～），男，河南西平人，江西南昌大学附属中学高级教师，学士　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００６年第２３期　数学通讯　３１　三角形重心向量性质的进一步推广　李永利　（河南质量工程职业学院基础部，河南４６７０００）　中图分类号：Ｏ１２３．３　文献标识码：Ａ　文章编号：０４８８—７３９５（２００６）２３—００３１一Ｏ２　文［１］给出了三角形　十　：３．　重心的一个向量性质：　ｚ　Ｙ　命题１　已知Ｇ是　并把上述结论推广　ａＡＢＣ的重心，过Ｇ作　到三棱锥：　直线与ＡＢ，ＡＣ两边分别　命题２过三棱锥　图１命题１图　交于Ｍ，ｊＶ两点，且Ａ　Ｐ—ＡＢＣ的重心Ｇ的平　＝ｚＡ＝ｚ　—Ｂ，ＡＮ＝ｖ　＝　Ａ—Ｃ，则　面分别与三条侧棱相交　图２命题２图　于ＡｌＩ＇ＢＩ，Ｃｌ，且　．————＋ｌ＝ｚＰＡ，ＰＢｌ＝　ＰＢ，——＋————＋——＋　　。ｍ　ｓｍ　ｍ　十＾ｎ　ｃ　　≤　—　（６）ｏ　　ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓ　≤学　（９）　等号成立当且仅当　等号成立当且仅当Ａ：Ｂ：ａｒｃｓｉｎｄ￣３Ａ：Ｂ：ａｒｃｃｏｓ　．　（３），（９）两式相映成趣．　不等式（６）推广了常见的三角不等式　将（３），（９）两式推广，可得（证明留给读　ｓｉｍ　ｍｎ争ｉｎ罢ｓ　ｓｉｍ　ｎ　ｃ　１　（Ｌ７，　）　者）如下结论：　等号成立当且仅当ＡＡＢＣ为正三角形．　在△ＡＢＣ中，对正整数　有不等式　推论５在ＡＡＢＣ中。有不等式　Ｓｉｎ　ｓｉｍ　ｓｎ导（ｓｉｍ　十ｎ　Ｃ＋１　　）＜寻　（８）　ｃｏｓ…　≤暑　等号成立当且仅当　固Ａ＝Ｂ一号，ｃ—ｏ时，（８）式左端一　Ａ＝Ｂ＝　Ｉ　ａｒｃｃｏｓ　．　故系数丢不可改进．　１９９５年，笔者在文［１］中证得：　参考文献：　［１］宋庆．三个新发现的三角不等式．中学数学教　在ＡＡＢＣ中，有不等式　学参考，１９９５（儿）．　收稿日期：２００６一Ｏ８一Ｏ７