七年级数学下册培优新帮手专题17不等式组的应用试题(新版)新人教版

17 不等式(组)的应用

阅读与思考

许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在： 1．作差或作商比较有理数的大小． 2．求代数式的取值范围． 3．求代数式的最大值或最小值． 4．列不等式(组)解应用题．

列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”． 例题与求解

【例1】如果关于x的方程m2xx10只有负根，那么m的取值范围是_________．

(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)

解题思路：由x＜0建立关于m的不等式．

【例2】已知A＝199819991998200019982001，B＝，C＝，则有( )．

200020011999200119992000A．A＞B＞C B．C＞B＞A C．B＞A＞C D．B＞C＞A

(浙江省绍兴市竞赛试题)

解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较

【例3】已知a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数a1的最大值．

(北京市竞赛试题)

解题思路：设a1＜a2＜a3＜···＜a7，则a1+a2+a3+···+a7＝159，解题的关键是怎样

把多元等式转化为只含a1的不等式．

【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2 200元．

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：列不等式的关键是劳力在450个工时，原料为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．

【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．

(河北省竞赛试题)

解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．

【例6】已知n，k皆为自然数，且1＜k＜n．若值．

(中学数学竞赛试题)

解题思路：此题可理解为在n个连续自然数中去除其中一个数 k (且1＜k＜n，k是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求n和k之和。 能力训练

123nk10，nka．求a的

n1

A级

1.若方程249xax10的解小于零，则a的取值范围是___________． 82.若方程组3xyk1,的解为x，y，且2＜k＜4，则x－y的取值范围是___________．

x3y3（山东省聊城市中考试题）

3.a，b，c，d是正整数，且a＋b＝20，a＋c＝24，a＋d＝22，设a＋b＋c＋d的最大值为M，最小值为N，则M－N＝_________．

（重庆市竞赛试题）

4．一辆公共汽车上有5a4名乘客，到某一车站时有92a名乘客下车，则车上原有______________名乘客．

（吉林春市中考试题）

5．一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的与白球合起来不多于55个，则盒子中至多有红球__________个．

(河北省竞赛试题)

6．若ab2，且a≥2b，则( ) A．

11，且至少是红球的，黄球

32b1baa8有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 a2abb9 (浙江省杭州市中考题)

21912199017．设P1990，Q1991，则P，Q的大小关系是（ ）．

2121A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能确定

8．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于( )

A．49千克 B．50千克 C．24千克 D．25千克

(山东省烟台市中考试题)

9．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有2元到100元多种，某团体需购买票价6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍．问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?

(江苏省竞赛试题)

10．某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图所示：

一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5 m(吃水深度即船底与水面的距离)．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5 m时，才能进出该港． 根据题目中所给的条件，回答下列问题：

(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_______m，卸货最多只能用______小时；

(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？

（江苏省苏州市中考试题）

B级

1．设a，且a＜3b，那么a的最大可能值为_______． b，c，d都是整数，b＜5c，c＜7d，d＜30，

（“新世纪杯”数学竞赛试题）

2．某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人．又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有客房___________间．

3．已知a＜0，x满足不等式ax1fax1，那么x的取值范围是___________． 4．若a，b满足3a5b7，S＝2a3b，则S的取值范围是__________．

(广西竞赛试题)

5．已知a1，a2，a3，…，a2007是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，那么M与N的大小关系是( )

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A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定

(江苏省竞赛试题)

6．某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套增加成本20元．如果每套书定价100元，卖出后有3成收入给经销商，出版社要盈利10％，那么该书至少要发行( )套． A．2 000 B．3 000 C．4 000 D．5 000

(“希望杯”邀请赛试题)

7．今有浓度为5％，8％，9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?

(北京市竞赛试题)

8．为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表：

积分 奖金（元/人） 胜一场 3 1500 平一场 1 700 负一场 0 0 当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A队共积1 9分． (1)请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．

(2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元．设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元)，试求W的最大值。

(黑龙江省中考试题)

9．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 575万元，改造一所A类学校和两所．B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．

(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元? (2)若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所?

(3)我市计划今年对该县A，B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案．

(湖北省襄樊市中考试题)

10．设x1，x2，…，x2008是整数，且满足下列条件：

(1)－l≤xn≤2(n＝1，2，…，2 008)； (2)x1x2x2008200；

222(3)x1x2x20082008． 333求x1x2x2008的最大值和最小值．

(“宗沪杯”竞赛试题)

专题16 不等式（组）

例1 C 提示：解不等式组得32tx20，则5个整数解为x＝19，18，17，16，15.结合数轴

11. 213m5n10例2 x 提示：(2mn)xm5n，2mn0，，m0，13m45n.

452mn7分析，应满足14≤3－2t＜15，故－6＜t≤6t8xm1例3 m1或m3 提示：解方程组得，由

62mym1x0,得－1≤m≤0 y0a03a2b5ca7c3例4 提示：由已知条件得 ,解得,m=3c－2.由b0

2ab13cb711cc07c301375得711c0,解得c,故m的最大值为,最小值为

117117c0x3x1x2xxxx2x42312例5先用x1和x2表示x3,x 4，…，x7,得x5x3x42x13x2,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7= 2 010.

xxx3x5x45126x7x5x65x18x2于是得x2201013x1113113100(x1).因为x2是自然数,所以(x1)是整数，所以x1

22020220是10的奇数倍.又因为x1＜x2，故有三组解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68. 因此x1+x2的最大值为50+68=118,所以x1+x2 +x3的最大值为2(x1+x2)=2×118=236. 例6解法一 ：∵0≤a－b≤1①，1≤a+b≤4 ②，由②知－4≤－a－b≤－1③， ①+③得－4≤－2b≤0，即－2≤－b≤0④，①+④得－2≤a－2b≤1

要使a—2b最大，只有a－b=1且－b=0. ∴a=1 且b=0，此时8a+2003b=8. 1mmn12解法二 ：设a－2b=m(a+b)+n(a－b)=(m+n)a+ (m－n)b,知,解得.

3mn2n2而2113313ab,0ab,∴a－2b=ab+ab 222222

∴－2≤a－2b≤1

当a—2b 最大时，a +b=1，a－b=1∴b=0，a=1，此时8a+2003b=8. A 级 1.9 102.11.

x42a4a0a21提示:原不等式组变形为由解集是0＜x＜2知,解得 b5b5b10x22故a+b=2+(－1)=1 3.a＜－b＜b＜－a 4.

5＜m＜7 25.B提示：由ax+3a＞3+x,得(a－1)(x+3)＞0,.由不等式的解集为x＜－3知x+3＜0, 所以a－1＜0,得a＜1. 6.C 7.B 8.C 9.k=2或3.

10. 提示：由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x＜－3.

ax311.原不等式组等价于,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，

bbx22bbabab所以其解不可能是x必有x，由整数解的情况可知21,23

223232得a=－5,－4,－3;b=5,6.故整数对(a,b)共有2×3=6对. B 级

33331.1a 提示:由题意可知:x.由正整数解为1,2,3知34,解得1a

4aa4xa2.a≥－1 提示:原不等式组变形为由不等式组有解知－a≤1,故a≥－1

x13. 9≤a＜12 4.

211 x1758715cabc3c,aabca,babcb. 623245. B 提示:原不等式组变形为

6. C示：若x≥2000，则(x－2000)+x≤9999，即2000≤x≤5999, 共有4 000个整数; 若0≤x＜2000,则(x－2000)+x≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合 若x＜0，则2000－x+(－x) ≤9999即－3999.5≤x＜0，共有3999个整数适合，故一共有 4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合. 7. D 8.C 提示:由原不等式得x＞(x+5)

2

2

9.提示：解不等式，得x7, 114x13原式=2x23x1,从而知最大值为4，最小值为3

114x310.提示：s=x+2，2≤s≤3 11.提示:由

8n715nk137k6,得，即 15nk138n78n7.又n与k是都是正整数，显然n＞8，当n取9,10,11,12,13,14时，k都取不到整数. 当n=15时,

9010561,即12k13 此时是k=13故满足条件的最小正整数n=15,k=13. k787812.由a＜b＜c得＞＞，故

1111331，故a=2，从而有＜，即＞1,a＜3，又因为a＞acabca1111121，又＜，则＞，即b＜4，又b＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即bc2cbb21a1b为所求.