单级倒立摆的PID控制

控制系统的分析与设计报告

姓名：

专业班级： 任课教师：

年 月 日

单级倒立摆的PID控制

一、 单级倒立摆的建模

倒立摆系统的控制问题一直是控制界研究的一个典型问题。控制的目标是通过给小车的底座施加一个力u(控制量)，是小车停留在一个预定的位置，并且能让杆不倒下，即不超过一个预先定义好的垂直偏离角度范围。图1为一级倒立摆系统示意图，小车质量为M，摆的质量为m，小车的位置为x，摆的角度为。

VmLθOuMG(xG,yG)Hx 图1 一阶倒立摆系统示意图

设摆杆偏离垂直线的角度为，同时规定摆杆重心的坐标为

G(xG,yG)，则有：xGxlsin, yGlcos。根据牛顿定律，建立水平

和垂直运动状态方程。摆杆围绕其重心的转动运动可以用力矩方程来描述：

IVlsinHcos

式中，l为摆杆围绕其重心的转动惯量。摆杆重心的水平运动由下式

描述：

d2m2(xlsin)H dt摆杆重心的垂直运动由下式描述：

d2m2lcosVmg dt小车的水平运动由下式描述：

d2 M2uH

dt假设很小，sin，cos1，则以上各式变为：

IVlHl (1)

m(xl)H (2)

OVmg (3) mxuH (4)

由式(2)和式(4)得：

(Mm)xmlu (5) 由式(1)和式(3)得：

(Iml2)mlxmgl (6)

由式(5)和式(6)得单级倒立摆方程：

m(m+M)glmu (7)

(M+m)I+Mml2(M+m)I+Mml2m2gl2Iml2 xu (8)

(M+m)I+Mml2(M+m)I+Mml2式中，I11mL2，lL。

212控制指标有4个，即单级倒立摆的摆角，摆速，小车位置x和小车

速度x，将倒立摆的运动方程转化为状态方程的形式。令

x(1),x(2)，x(3)x，x(4)x，则式(7)和式(8)可表示为状态方

程式(9)：

xAxBu (9)

0t1A0t21000000010000t3m(m+M)gl， B , t10(M+m)+Mml2t4式中，

，

mlm2gl2Iml2，t3,t4。 t2(M+m)lMml2(M+m)I+Mml2(M+m)I+Mml2二、 单级倒立摆控制

对每个控制目标都采取PD控制方式，控制器为：

(k)Kpieik() uidikeiK d (10)

式中，ei(k)和为控制指标dei(k)的误差和误差变化率：

u(k)ui(k) (11)

i14为了进行对比，采用最优控制中的LQR方法。该方法针对状态方程

xAxBu，通过确定最佳控制量u(t)Kx(t)的矩阵

K，使得控制性能

指标J(xTQxuTRu)dt达到极小，其中，Q为正定(或半正定)厄米特

0或实对称矩阵，R为正定厄米特或实对称矩阵，Q和R分别表示了误差和能量损耗的相对重要性，Q中对角矩阵的各个元素分别代表各项指标误差的相对重要性。LQR控制器的增益为：

KLQR(A,B,Q,R) (12) u(k)Kx (13)

三、仿真结果及分析

仿真中倒立摆的参数为：g9.8m/s(重力加速度)，M1.0kg(小车质量)，L0.5m(杆的半长)，c0.0005(小车相对于导轨的摩擦系数)，

p0.000002杆相对于小车的摩擦系数)。F为作用在小车上的力，即控制

器的输出，在10,10上连续取值。

采样周期T20ms，初始条件取(0)10，(0)0，x(0)0.20，

x(0)0，期望状态为：(0)0，(0)0，x(0)0，x(0)0，其中，摆

动角度值应转变为弧度值。

取S1，使用PID控制。用于电机控制方向与摆杆的摆动角度方向相反，故控制器参数选负数。使用PID时倒立摆的响应结果及控制器输出如图2和图3所示，可见，使用PID控制可实现单级倒立摆的控制，但PID控制器的参数较难选取。

图7-58 采用PID倒立摆相应结果(S=2)

图7-59 控制器的输出

10000001000,R0.10,则由式(7.51)取S2,采用LQR控制，取Q00100001可得LQR控制器增益K(.0799,14.2285,3.1623,6.6632)。

采用LQR时倒立摆响应结果及控制器输出如图7-60和图7-61所示。

图7-60 采用LQR倒立摆响应结果(s=2)

图7-61 LQR控制器的输出

四、结论

由仿真结果可以看出，采用LQR控制方式可以很好的实现对单级倒立摆的最优控制。