2020-2021学年山东省济南市天桥区九年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（4分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）

A． B． C． D．

2．（4分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（3，2），则下列各点在这个函数图象上的是（ ） A．（﹣3，﹣2）

B．（3，﹣2）

C．（2，﹣3）

D．（﹣2，3）

3．（4分）不透明布袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球是白球的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

4．（4分）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线相等 C．对角线互相垂直

B．对角线互相平分 D．对边相等且平行

5．（4分）如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，则∠ACB等于（ ）

A．25°

B．30°

C．45°

D．60°

6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝8，AC＝6，则sinC的值为（ ）

A．

B．

C．

D．

7．（4分）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，则下列是该抛物线对称轴的是（ ）

第1页（共24页）

A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2

8．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）

A．

B．4

C．4

D．20

9．（4分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）

A．3.5m

B．4m

C．4.5m

D．5m

10．（4分）原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为（ ）

A．（30+2x）（20+2x）＝1200 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600

B．（30+x）（20+x）＝1200 D．（30+x）（20+x）＝600

11．（4分）如图，点P为反比例函数y＝上的一个动点，作PD⊥x轴于点D，如果△POD的面积为m，则一次函数y＝﹣mx﹣1的图象为（ ）

第2页（共24页）

A． B．

C． D．

12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．（4分）一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 ． 14．（4分）圆内接正十边形中心角的度数为 度． 15．（4分）若点（﹣2，y1）和（“＜”或“＝”）．

16．（4分）某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为 米．（结果保留根号）

，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1 y2（填“＞”、

第3页（共24页）

17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．

18．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽BEF；④S△BEF＝（把所有正确结论的序号都填在横线上）

．在以上4个结论中，其中一定成立的是

三、解答题（本大题9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算：4sin30°+（）1﹣20210﹣

﹣

．

20．（6分）解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）

21．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，求证：DE＝BF．

22．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

第4页（共24页）

（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）

23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．

24．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． （1）求口罩日产量的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

25．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；

（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 ； （3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝为 ．

S△AOB时，请直接写出点P的坐标

第5页（共24页）

26．（12分）（1）如图1，△ABC和△DEC均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F． 填空：①请写出图1中的一对全等三角形： ； ②线段AD，BE之间的数量关系为 ； ③∠AFB的度数为 ．

（2）如图2，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，△ABC和△ADE均为直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，AB＝5，AE＝3，当点B在线段ED的延长线上时，求线段BD和CE的长度．

27．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点C（0，2），交x轴于点A（﹣6，0）和点B，抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC． （1）求抛物线的表达式：

（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，直接写出点M坐标；

（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处，求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

第6页（共24页）

第7页（共24页）

2020-2021学年山东省济南市天桥区九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（4分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形， 故选：D．

2．（4分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（3，2），则下列各点在这个函数图象上的是（ ） A．（﹣3，﹣2）

B．（3，﹣2）

C．（2，﹣3）

D．（﹣2，3）

【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点P（3，2）， ∴k＝3×2＝6． A、﹣3×（﹣2）＝6； B、3×（﹣2）＝﹣6； C、2×（﹣3）＝﹣6； D、﹣2×3＝﹣6． 故选：A．

3．（4分）不透明布袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球是白球的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：∵一个不透明的布袋中装有1个红球和2个白球， ∴共有1+2＝3个，

∴从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为； 故选：B．

第8页（共24页）

4．（4分）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直

D．对边相等且平行

【解答】解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意； B．因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意； C．因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意； D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意． 故选：C．

5．（4分）如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，则∠ACB等于（ ）

A．25° B．30° C．45°

D．60°

【解答】解：∵

＝

，

∴∠ACB＝∠AOB， ∵∠AOB＝60°， ∴∠ACB＝30°， 故选：B．

6．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，若AB＝8，AC＝6，则sinC的值为（

A．

B．

C．

D．

【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， BC＝＝＝10，

所以sinC＝＝

＝，

故选：D．

第9页（共24页）

）

7．（4分）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，则下列是该抛物线对称轴的是（ ） A．直线x＝﹣1

B．直线x＝1

C．直线x＝﹣2

D．直线x＝2

【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝1， 故选：B．

8．（4分）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）

A．

B．4

C．4

D．20

【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1）， ∴AB＝

，

∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形的周长为4故选：C．

9．（4分）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）

，

A．3.5m

B．4m

C．4.5m

D．5m

【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴

＝

，

∵BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝7m， ∴AC＝AB+BC＝10m，

第10页（共24页）

∴＝，

解得，DC＝5，

即建筑物CD的高是5m， 故选：D．

10．（4分）原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程为（ ）

A．（30+2x）（20+2x）＝1200 C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝600

B．（30+x）（20+x）＝1200 D．（30+x）（20+x）＝600

【解答】解：依题意，得（30+2x）（20+2x）﹣30×20＝30×20， 即（30+2x）（20+2x）＝1200． 故选：A．

11．（4分）如图，点P为反比例函数y＝上的一个动点，作PD⊥x轴于点D，如果△POD的面积为m，则一次函数y＝﹣mx﹣1的图象为（ ）

A． B．

第11页（共24页）

C． D．

【解答】解：∵PD⊥x轴于点D，S△POD＝m， ∴m＝

＝1，

∴一次函数为：y＝﹣x﹣1， ∵k＜0，b＝﹣1，

∴一次函数图象经过二、三、四象限，故D选项符合题意． 故选：D．

12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

【解答】解：∵函数开口方向向下，a＜0， ∵对称轴为x＝﹣1，则﹣∴b＝2a＜0，

∵与y轴交点在y轴正半轴， ∴c＞0，

∴abc＞0，故③正确；

当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确； 当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故①正确；

由抛物线的对称性可知，当x＝﹣2与x＝0时y值相同，此时y＝4a﹣2b+c＞0，故④错误．

综上，正确的个数有三个． 故选：C．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

第12页（共24页）

＝﹣1，

13．（4分）一元二次方程x2﹣4x＝0的解是 x1＝0，x2＝4 ． 【解答】解：由原方程，得 x（x﹣4）＝0， 解得x1＝0，x2＝4． 故答案是：x1＝0，x2＝4．

14．（4分）圆内接正十边形中心角的度数为 36 度． 【解答】解：正十边形中心角的度数＝故答案为：36．

15．（4分）若点（﹣2，y1）和（“＜”或“＝”）．

【解答】解：由函数y＝x2可知，图象开口向上，对称轴为y轴， ∵点（﹣2，y1）到y轴的距离比点（∴y1＞y2， 故答案为＞．

16．（4分）某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为 10

米．（结果保留根号）

，y2）到y轴的距离远，

，y2）在函数y＝x2的图象上，则y1 ＞ y2（填“＞”、

＝36°，

【解答】解：∵∠BDC＝60°，∠A＝30°， ∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ABD＝∠A， ∴BD＝AD＝20（米）， 在Rt△BDC中，sin∠BDC＝则BC＝BD•sin∠BDC＝10故答案为：10

．

第13页（共24页）

， （米），

17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为

π﹣4 （结果保留π）．

【解答】解：

设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，

∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，

∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 即阴影部分的面积＝π×4+π×1﹣4×2÷2＝π﹣4．

18．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽BEF；④S△BEF＝

．在以上4个结论中，其中一定成立的是 ①②

④ （把所有正确结论的序号都填在横线上）

【解答】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6，

设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，

第14页（共24页）

由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2， 即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2， 解得：x＝4

∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，②正确；

BE＝EF＝6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误； S△GBE＝×6×8＝24，S△BEF＝故答案为：①，②，④．

三、解答题（本大题9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）计算：4sin30°+（）1﹣20210﹣

﹣

•S△GBE＝×24＝，④正确；

．

【解答】解：原式＝4×+2﹣1﹣2 ＝2+2﹣1﹣2 ＝1．

20．（6分）解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法） 【解答】解：由原方程移项，得 x2﹣6x＝﹣5，

等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得 x2﹣6x+32＝﹣5+32，即（x﹣3）2＝4， ∴x＝3±2，

∴原方程的解是：x1＝5，x2＝1．

21．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，求证：DE＝BF．

【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴BO＝DO，AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△DOE和△BOF中，

第15页（共24页）

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴DE＝BF．

22．（8分）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是

；

（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）

【解答】解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片， ∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，

∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝

＝．

23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．

第16页（共24页）

【解答】（1）证明：连接OC． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠CAD＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∵AD⊥DE， ∴OC⊥DE，

∴直线CE是⊙O的切线； （2）解：连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB，

∴cos∠CAD＝cos∠CAB＝， 在Rt△ACD中，AD＝4， ∴

，

∴AC＝6， 在Rt△ABC中，，

∴AB＝9．

第17页（共24页）

24．（10分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． （1）求口罩日产量的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得 20000（1+x）2＝24200

解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%， 答：口罩日产量的月平均增长率为10%． （2）24200（1+0.1）＝26620（个）． 答：预计4月份平均日产量为26620个．

25．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式；

（2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 x＞8或0＜x＜2 ；

（3）点P是x轴上一点，当S△PAC＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标为 P（3，0）或P（﹣3，0） ．

第18页（共24页）

【解答】解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得解得

，

，

∴一次函数为y＝﹣x+10，

将A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16， ∴反比例函数的解析式为y＝

（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2， 故答案为x＞8或0＜x＜2；

（3）由题意可知OA＝OC， ∴S△APC＝2S△AOP，

把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10， ∴D（10，0），

∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24， ∴2S△AOP＝24， ∴2×

×yA＝24，即2×OP×8＝24，

﹣

＝30，

；

∴OP＝3，

∴P（3，0）或P（﹣3，0）， 故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）．

第19页（共24页）

26．（12分）（1）如图1，△ABC和△DEC均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F． 填空：①请写出图1中的一对全等三角形： △CAD≌△CBE ； ②线段AD，BE之间的数量关系为 AD＝BE ； ③∠AFB的度数为 60° ．

（2）如图2，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F，请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，△ABC和△ADE均为直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，AB＝5，AE＝3，当点B在线段ED的延长线上时，求线段BD和CE的长度．

【解答】（1）如图1，∵△ABC和△DEC均为等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE， ∴∠ACD+∠BCD＝∠BCD+∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

第20页（共24页）

∵∠CBE+∠F＝∠CAD+∠ACB， ∴∠F＝∠ACB＝60°，

故答案为：①△ABC≌△DEC；②AD＝BE；③60°； （2）∠AFB＝45°，AD＝

BE．理由如下：

如图2，∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC， ∴

＝

＝

，∠ACB＝∠DCE＝45°，

∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠DCE， 即：∠ACD＝∠BCE， ∵

＝

，

∴△ACD∽△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE，∴AD＝

BE，

＝

＝

，

∵∠CAD+∠ACB＝∠CBE+∠AFB， ∴∠AFB＝∠ACB＝45°；

（3）如图3，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，AB＝5，AE＝3， ∴BE＝∴DE＝

AE＝

＝×3＝

，

＝4，，

＝tan∠DAE＝tan30°＝

，

∴BD＝BE﹣DE＝4﹣

∵∠BAC＝∠DAE＝30°，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， ∵∴

＝＝

＝cos30°， ，

∴△BAD∽△CAE， ∴

＝

＝cos30°＝

，

第21页（共24页）

∴CE＝BD＝×（4﹣）＝2﹣．

27．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点C（0，2），交x轴于点A（﹣6，0）和点B，抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC． （1）求抛物线的表达式：

（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，直接写出点M坐标；

（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处，求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

【解答】解：（1）把点A、C代入解析式得：

第22页（共24页）

，

解得，

∴y＝（2）∵

；

，

∴抛物线的对称轴为x＝﹣2， 设M（﹣2，y）， 若ME＝MC， 则y2＝22+（y﹣2）2， 解得y＝2， ∴M（﹣2，2）， 若MC＝EC，

则22+22＝22+（y﹣2）2， 解得y＝0（舍）或y＝4， ∴M（﹣2，4）， 若ME＝CE， 则y2＝22+22， 解得y＝

或y＝2

，

），

）或M（﹣2，2

）；

∴M（﹣2，﹣2）或M（﹣2，2

综上，M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，﹣2

（3）作P'H∥x轴交ED的延长线与H，作PK⊥x轴于点K，

∵OE＝OC＝2，

∴∠OEC＝∠CED＝45°，

第23页（共24页）

又∵∠CEP'＝∠CEP， ∴∠P'EH＝∠PEK， 在△PKE和△P'HE中，

，

∴△PKE≌△P'HE（AAS）， ∴PK＝P'H，KE＝EH， 设P（x，

），则P'（

，x+2），

∵A（﹣6，0），D（﹣2，）， ∴直线AD的解析式为y＝∴解得x＝

∴点P的横坐标为

或x＝

或，

，

．

，

第24页（共24页）