判别式在物理解题

二次方程判别式在物理解题中的妙用

摘要：本文列举几个中学物理解题中可以使用二次方程判别式进行简化运算的

例子，加强对判别式“△”在物理解题中的运用能力，使教学双方更好的体会物理和数学之间的关系。

关键字：物理中的数学方法、二次方程判别式、最值及边界问题 物理和数学是关系非常紧密的两门学科，在物理解题中适当运用数学技巧，

能让学生更深入了解题目的物理意义，2017年高考物理考纲明确要求“加强数学思维在物理解题中的应用”，由此可见在物理教学过程中普及数学思维的应用和数学技巧的应用达到了刻不容缓的地步。目前中学物理中常见很多最值及边界问题，要求学生掌握一定的数学计算能力和物理思考能力及建模能力方能解决。在此类问题中利用二次方程判别式“△”处理物理问题，就是一种很好的解题方法，同时也是很好的教学方法。

如何使用二次方程判别式“△”解题？关键就是要找到一个变量或者说是设置一个变量，然后运用物理关系结合数学关系得到一个关于此变量的二次方程，从而通过结合“△”对根的个数与物理实际过程的讨论达到解决问题的效果。 例1 一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为

O’。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的

夹角为θ（0＜θ＜)。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率。重力加速度为g。

分析:这是2008年四川的高考题，结合了运动学与电磁学的综合性大题，在物理方面具有较高的难度，然而本题的最大特色却是求数学的极值，而且是两个量状态下共同确定的极值。解答本题的过程中，笔者的学生中物理思维较强的绝大部分同学都是能够较快的列出物理方程，但是却卡在两个量之间的关系上无法迅速地转化到数学情景中而失去了解决全题的机会。而如果观察到其中正好是满足变量B与v之间正好是满足构成v的二次函数时，联想到v如果存在则方程必有实数解，一切便一目了然了。

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2 解析：据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O。

P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛伦兹力

fqvB ①

式中v为小球运动的速率。洛伦兹力f的方向指向O。根据牛顿第二定律

Ncosmg0 ②

v2 fNsinm ③

sin由①②③得

qBRsingRsin2v0 ④ vmcos2qBRsin2gRsin2)40 ⑤ 由于v是实数，必须满足(mcos由此得 B2mg ⑥

qRcos可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为

Bmin2mg ⑦

qRcosqBminRsin ⑧

2m此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为v由⑦⑧式得 vgRsin 。 cos反思解题可见得到方程 ④并不难，但是对方程④进行分离变量采用“△”对方程的根是否存在进行讨论，是本题的精华所在。

例2 在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间的距离大于l(l比2r大得多)时，两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于l时，两球之间存在相互作用的恒定斥力F．设A球从远离B球处以速度v0沿球连心线向原来静止的B球运动，如图所示．欲使两球不发生接触，v0必须满足什么条件1？

解析：设A球向B球接近至两球之间距离等于l后再经时间t，A、B两球接

1触，则B球位移为xBa2t2，①此时A球的位移为

2

2

1xAxBl2rv0ta1t2。 ②

2F由牛顿第二定律得到a12a2， ③

m联立以上三个方程并整理得到如下方程

(a1a2)t22v0t2(l2r)0 ④

结合物理思维和数学关系我们容易分析得到若方程④无解，则易得此时A、B两球的接触时间不存在，也就是在该种情况下A、B两球不能接触，于是有：

2 4v04(a1a2)2(l2r)0

得到 v03F(l2r)。 m反思：在解题过程中，我们也可以用动量定理去解题，但是由此会带来繁琐的数学计算。从而看出在满足变量之间存在二次关系的物理过程的解题当中，使用判别式确实能做到事半功倍。但值得注意的是若在此题当中物理数据设计中存在更多一点的不确定关系的话，比如连④方程的解是否为正根都难以确定的话，我们要结合判别式与韦达定理进行更深层次的讨论分析。

例3 巧用“△”对斜抛运动过程中的运动的极值问题或者是边界问题进行处理。如：

(1)求抛体运动的包络线2。

(2)若已知物体斜抛运动的抛出点和必过点，求解最小初速度或者最小初动能问题。

解析：(1) 求解包络线不妨设构建如图的坐标系，图中的虚线即为物体运动的边界，也就是所需要求的包络线，引入抛射角，设运动时间为

t，写出运动学方程为：

xv0cost

①

1yv0sintgt2

2②

3

gx2联立以上两个方程消去t，得到yxtan2，考虑到此方程中的22v0cosx与y是不能够消去的，否则所求得的轨迹方程也不具有物理意义，由此要在此方程中找到另外一个量的二次关系，通过数学关系我们知道代入后整理变得到以下方程：

1tan21，2cosgx2gx22 2tanxtany20 ③

2v02v0可以看出方程③是一个关于tan的二次方程，巧用“△”对其根的存在性讨论便能消去，进而得到y与x要满足的一些物理关系。

2gx2gx2 x2(y2) ④

v02v02对方程④进行讨论：

1.若0，则tan有两解，满足关系的点(x,y)便应该在包络线以内； 2.若0，则tan无解，满足关系的点(x,y)便应该在包络线以内； 3.若0，则tan有两解，满足关系的点(x,y)便应该在包络线之上，即此时x与y满足的关系便是包络线方程。即包络线方程为满足

2v02gx2gx2gx2(y2)0化简后得到 y2x2。

v02v02g2v02 (2)对此问的分析，我们等于已知点(x0,y0)在抛物线上求v0的极值。直接类

222gx0gx0比方程④，得到x2(y02)需要满足其大于等于零，化简得到

v02v02024224x0v02gx0y0v0g2x00，

22解得v0g(y0x0y0)，从而看到物体运动的最初速度为22vming(y0x0y0)，逆推即得tan的值从而确定。

从以上几个例题中我们可以看出，在中学物理解题过程中处理涉及到的二次方程问题所引起的最值或者边界问题时，可以巧妙地借助“△”对问题中的二次方程进行根的有无进行讨论，同时结合实际物理过程处理讨论结果，可以达到

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事半功倍的效果。也再一次告诉我们，数学工具在物理解题中能起到积极的促进作用。

参考文献：

1.刘太生. 根的判别式法在物理解题中的应用[J]. 安阳工学院学报, 2002(1):94-94.

2.王虹. “判别式”在物理解题中的应用[J]. 试题与研究:高中文科综合, 2002(10).

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