2015数学建模A题

摘要

本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。

针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度

、纬度、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳赤纬、时角及太阳高度角h0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数

sinh0sinsin1)t300arccos(15coscos间关系的模型：；其次以实例对模

ll0tanh0型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。影子长度的变化曲线（图5），9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分之15时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。 针对问题二，

关键词 一、问题重述：

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

二、问题分析：

针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度

、纬度、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳赤纬、时角及太阳高度角h0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数 间关系的模型；其次以实例对模型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而根据所建模型分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后做出影子长度的变化曲线；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。

针对问题二，

三、模型假设：

1、求解此问题时忽略地球的自转

2、不考虑太阳光线在穿过大气层时的折射、太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素。

3、认为照射到地球上的太阳光可以看成是平行光线，地球上某地的水平地面是地球球面上过该地的切面。

四、符号说明：

：太阳赤纬 ：太阳时角

：表示某地的地理纬度

：表示某地的地理经度

h0：太阳高度角

五、问题一的模型建立与求解

5.1影响影子长度参数的确定 1、太阳赤纬

太阳赤纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角且以年为周期，在周年运动中任何时刻的赤纬值都是严格已知的，可用下式计算：

0.372323.2567sin0.1149sin20.1712sin30.758cos0.3656cos20.0201cos3

（1）式中称为日角，即2t/365.2422，这里tNN0,式中N为积日，就

是日期在年内的顺序号（例如1月1日其积日为1，平年1212月31日的积日为365，闰年则为366等）。

N079.670.2422（年份-1985）-INT((年份-1985）/4)

（式中INT表示取整数部分）

故如果已知某日期的年、月、日，代入式（1），即可求得此日期的太阳赤纬值。

2、时角

时角表示一天体是否通过了当地的子午圈，其数值表示该天体与当地子午圈的角距离，并借用时间的单位以小时来计量，其中当地时间12点时的时角为零，令上午的时角为正，下午为负。

某地t0的时角计算式如下：

（t012）36024（2） 故若给定某地时刻t0的值，代入式（2），即可求出此时的时角值

3、太阳高度角

太阳高度角,是指太阳光线与地平面的夹角。应用球面三角形余弦公式

cosacosbcoscsinbsinccosA，结合图形,可以推出任意时刻太阳高度角h0的

计算公式为：

cos(90h0)cos(90)cos(90)sin(90)sin(90)cos

（3）

进一步可以得到：

sinh0sinsincoscoscos （4）式中，表示当地的地理纬度,表示太阳赤纬，表示太阳时角、h0表示太阳高度角。、的取值为北正南负。

故若已知某地的地理纬度、太阳赤纬、太阳时角，代入式（4），即可求得太阳高度角。

4、直杆的长度

直杆的影子始终在物体背着光源的一面，光从物体顶端照射到地面形成影子，直杆的长度l0直接影响着影子长度的变化。

5.2模型一的建立

首先分析影子长度变化直接受直杆长度l0和太阳高度角h0的影响，其关系式为：

ltanh0l0 （5） 其中l表示影子的长度。

然后以太阳高度角与太阳赤纬、时角、地理纬度的关系为基础，即式（4），

引进参数当地的经度，构建影子长度变化模型如下：

sinh0sinsin1)t300arccos(15coscosll0tanh0(6)

式中、、、h0、t分别代表当地的经度、纬度、太阳赤纬、太阳高度角和时刻（北京时间）。编写程序计算时注意到，当

sinh0sinsincoscos1时，

反余弦函数值才存在，应采用判断，当其大于t时则进行下一个t的计算。

5.3模型一的检验

以实际某地情况为例，已知当地的经度为，纬度为，

5.4影子长度关于各个参数的变化规律 根据影子长度变化模型，以影子长度l为因变量，依次选择各个参数为自变量，其余参数看为固定值，进而描述出影子长度关于各个参数变化规律。 1、影子长度关于直杆长度的变化规律

以直杆长度l0为自变量，以影子长度为因变量，太阳高度角h0为固定值，取直杆长度为0~5米，间隔为0.5米，根据公式（5），得到h0与l0之间的关系，画出关系图像如图1：

图1：影子长度与直杆长度的关系

由图1我们可以很直观的的看出，在其他参数不变时，直杆长度越长，影子长度越长，且两者的比值是不变的。

2、影子长度的日变化规律

以每日的时间t作为自变量，影子长度为因变量，其它参数为固定值，取为2015年10月22日北京时间8:00-16:00之间天安门广场（北纬39度分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的日变化规律。

图2：影子长度和日的关系 由于地球是个固体球,且自西向东自转,因此太阳高度也呈现出与之对应的日变化规律:地球上观察太阳为东升西落,早晨太阳从东方地平线上升起,晨昏线

上太阳高度为0，随着太阳的逐渐升高,太阳高度是逐渐增大的，影子的长度逐渐减小。当某地经线正对太阳光时,地方时为正午12点，即为北京时间12时15分,此时太阳高度角达到一天中的最大，影子长度最小。之后太阳逐渐西落,太阳高度也慢慢变小，影子逐渐变长,到西方地平线落下时,没有影子。

3、影子长度随纬度变化规律

以纬度作为自变量，影子长度为因变量。其它参数为固定值，由于正午太阳高度角最能反映太阳辐射的强弱变化,故取2015年10月22日北京时间12时东经116度23分29秒3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随纬度的变化规律。

 图3：影子长度和纬度的关系 正午太阳高度由直射点向南北两侧递减，故影子长度由直射点向南北两侧递增。夏至:2326，影子长度从北回归线向南北两侧递增;同样冬

至:-2326，影子长度从南回归线向南北两侧递增;春秋分:0，影子

长度从赤道向南北两侧递增,且离直射点距离越近,与直射点纬度差越小,影子长度就越小。

4、影子长度随季节的变化规律 以季节作为自变量，影子长度为因变量。由于正午太阳高度角最能反映太阳辐射的强弱变化,故取2015年北京时间12时天安门广场（北纬39度分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随季节的变化规律。

北回归线及以北地区,6月22日正午太阳高度达一年中最大值，此时影子长度最小,12月22日达一年中最大值;南回归线以南地区,12月22日达一年中最小值,6月22日达一年中最大值;南北回归线之间,一年中因有两次太阳直射机会,赤道至北回归线之间12月22日的正午影子长度达一年中最大值,而赤道至南回归线之间6月22日达一年中最大值。

5.5问题一的求解

求解步骤：

1）将2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度

图4：影子长度和季节的关系 分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆符号化为39.907，

116.491，l03；

2）计算太阳赤纬：

已知年份为2015年，积日为295，代入公式得：

N079.670.2422（年份-1985）-INT((年份-1985）/4)79.9424

tNN0215.067

2t/365.24223.6996

0.372323.2567sin0.1149sin20.1712sin30.758cos0.3656cos20.0201cos3

-10.8627得到太阳的赤纬角为-10.8627 3）计算太阳时角：

360t300，24得到2015年10月22日北京时间天安门广场时角值（如表1），其中 需将当地时间转化为北京时间，对应北京时间t，将t代39.907。

表1：2015年10月22日北京时间天安门广场时角统计表 时刻 9:00 9:30 时角/度 -48.61 -41.11 时刻 11:36 11:48 时角/度 -9.61 -6.61 时刻 12:48 13:00 时角/度 8.39 11.39 4）计算太阳高度角：

10:00 -33.61 12:00 -3.61 13:30 18. 10:30 -26.11 12:12 -0.61 14:00 26.39 11:00 -18.61 12:15 0.14 14:30 33. 11:12 -15.61 12:24 2.39 15:00 41.39 11:24 -12.61 12:36 5.39 将所得到的、、分别代入公式（4），得到2015年10月22日北京时间天安门广场太阳高度角值（如表2）

表2：2015年10月22日北京时间天安门广场太阳高度角统计表

时刻 9:00 太阳高度角/度 22.16 时刻 11:36 9:30 26.53 11:48 10:00 30.43 12:00 39.12 13:30 36.29 10:30 33.75 12:12 39.22 14:00 33.63 11:00 36.37 12:15 39.23 14:30 33. 11:12 37.20 12:24 39.18 15:00 26.37 11:24 37. 12:36 38.98 太阳高度角/度 38.45 38.86 时刻 12:48 13:00 太阳高度角/度 38.63 38.14 5）求解影子长度变化： 应用建立的模型

sinh0sinsin1t300arccos()coscos15 ll0tanh0 将就得各个参数值代入模型，可以得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00天安门广场3米高直杆的影子长度（见表3），通过Matlab软件画出直杆的太阳影子长度的变化曲线（如图5）

表3：2015年10月22日北京时间天安门广场3米高直杆的影子长度统计表

时刻 影长/米 时刻 影长/米 9:00 7.367 11:36 3.778 9:30 6.009 11:48 3.724 10:00 5.107 12:00 3.6 10:30 4.490 12:12 3.675 11:00 4.073 12:15 3.674 11:12 3.952 12:24 3.8 11:24 3.8 12:36 3.778 时刻 影长/米

12:48 3.7 13:00 3.821 13:30 4.086 14:00 4.509 14:30 5.135 15:00 6.050 图5：2015年10月22日北京时间天安门3米高直杆的影子长度变化曲线

结合图5和表3，可以看出2015年10月22日北京时间12点15分天安门3

米高直杆的影子长度是最短的，大约3.674米。9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分至15时影子长度呈现上升趋势。

六、问题二的模型建立与求解 6.1直杆影长的计算

已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标x,y，根据勾股定理表示出影长l：

lx2y2（7）

6.3问题二的求解：

根据附件1中北京时间14：42-15:42之间影长的横、纵坐标，通过勾股定理导出：lx2y2计算出21个时刻对应的影长（见表4） 表4：中北京时间当地该直杆影子长度统计表 时刻 影长/米 时刻 影长/米 14:42 1.150 15:03 1.3 14:45 1.182 15:06 1.426 14:48 1.215 15:09 1.463 14:51 1.249 15:12 1.501 14: 1.283 15:15 1.0 14:57 1.318 15:18 1.580 15:00 1.353 15:21 1.620 时刻 15:24 15:27 15:30 影长/米 1.661 1.703 1.746 6.2经度确定模型

6.2.1确定地区经度与时差的关系

15:33 1.790 15:36 1.835 15:39 1.881 15:42 1.928 地球从0o经线划分，向东为：0o~180oE,向西为：0o~180oW，地球一周就是：360o。地球自转一周的时间为24h，所以可得地球每小时转过的角度为：

360o2415o。

6.2.2建立二次拟合模型

根据附件一算出的影长，画出时刻-影长的变化曲线，如图6：

图6：附件一所求影长与时刻关系图 以影长为因变量，时刻为自变量，用poltfit函数进行二次拟合，得到的二次函数为：

l0.14t23.7519t24.1275。

式中l为影长，t为时刻，去自变量t[12,16]画图，得到影长与时刻的二次拟合曲线，

图7：影长与时刻的二次拟合曲线

6.2.3确定当地经度

因为二次拟合的曲线为抛物线，根据抛物线函数的对称轴公式：

bt,其中a0.14,b3.1579

2a求解得到t12.5984,即北京时间：12:36，可以判定该地在北京的西边，因为北京所在经度为120o，所以确定该地所在经度为

120（-12.5984-12）15111.024o，即111o1'26''E。 6.3纬度确定模型

6.3.1影长比例不变原理 表示1时刻的太阳光线 表示2时刻的太阳光线 P Q A 1A杆 B1B杆 A M N B 图8：同一地区不同杆在不同时间下的影子示意图 意图 因为太阳光是平行的，所以A1PAB1MB,A1QAB1NB,又因为A1PA,A1QA,B1MB,B1NB均为直角三角形，所以PAA1AAA，QA1，tantan得到

MBtanPAtanPAMB，同理得到，进而得到。 NBtanQAtanQANB6.3.2遍历模型

根据附件中的得到的21个影长li,i1,2,，用后一时刻的影长比上前一21，时刻的影长

标号 标号 标号 li1li,i1,2,20得到20个比值b01,b02,,b020。

附件1中各相邻时刻影长比例统计表 2 9 16 3 10 17 4 11 18 5 12 19 6 13 20 7 14 1 8 15 比值 1.02833 1.02800 1.02777 1.02734 1.02712 1.02684 1.02662 比值 1.026 1.02612 1.02602 1.02581 1.02572 1.02550 1.02538 比值 1.02529 1.02520 1.02511 1.02512 1.02499 1.02501 对于问题二给定杆长l0为定值，在任意给定一个纬度值，根据公式（6）求得21个影长li,i1,2,,21，并求得20个影长比值bz11,bz12,,bz120。根据之前的比例不变原理，如果bz0ibz1i,i1,2,,20，认为两个杆处在同一位置，但由于附件一的影子顶点坐标的测量出来的，所以影长比值不可能完全相等，可能会存在一定误差，所以做修正S,定义如下：

S(bz0ibz1i)2

i120对所有纬度进行求解，每一个纬度值都对应一个S,求所有S中的最小值，得到纬度值，即该地所处纬度。

13o30'。求解结果，S的最小值为：7.250210-6，所处纬度为：13.5oN，即 6.3其余可能点的确定

已知2015年春分日是3月21日，此时太阳直射赤道，即0纬线，夏至日

o是6月22日，太阳直射北回归线，即23.4N，这两个节气的天数差为93天，o大致算出每天太阳直射纬度的变化为：23.4930.2516。附件一中所给时间为

o2015年4月18日，与春分日日差28天，估计此时太阳直射

280.25167.0448oN，令之前求出的纬度线13.5oN以7.0448oN纬度线为对称

oo'''0.56N，即03523N。如果时刻定在2015年4轴，求出对称的纬度线为：

月18日的15时，根据之前的地区经度与时差的关系，可以得到此时刻太阳直射

-15-12）1575oE,令之前求出的某地的经度线111.024oE以的经度线为：120（oo'''o36.024E，即36126E。 75E经度线为对称轴，求出对称的纬度线为：

根据附件一的数据可得：

情况一：以2015年4月18日14:42-15:42这个时段为基准，直杆可能在的

o'''o''o'''o'''位置有两个：（111126E,1330N）和（111126E,03523N）。

情况二：以2015年4月18日15:00这个时刻为基准，直杆可能在的位置有

o'''o''o'''o'''111126E,1330N111126E,03523N）、四个，分别是：（）、（o'''o''o'''o'''36126E,1330N36126E,03523N）。 （）和（

以上我们得到了考虑大气折射率影响的太阳高度角，从一定程度上减小了误差，使得结果更具合理性。

参考文献：

[1]但尚铭，太阳高度角计算程序介绍，环境科学，10卷4期：76-78,1988年 [2]赖月喜，太阳高度变化的一般规律及图示分析，中学政史地(高三)，04期，48-52,2007年

[3]百度百科，太阳高度角，

http://baike.baidu.com/link?url=c6pown3qPkE7Bht77

RfuvtRmar03oJRxL15Fw24a7OrMySjPIDp1W7vYNFY8M7R0On8a1BsiI9qAfLcr79sPi_#ref_[1]_86609，2015/9/11

[4]百度百科，时角，http://baike.baidu.com/view/823827.htm，2015/9/11 [5]百度百科，太阳赤纬,http://baike.baidu.com/view/86281，2015/9/11 [6]