曲线的性质

椭圆双曲线的性质--（必背的经典结论）

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若P0(x0,y0)在椭圆6. 若P0(x0,y0)在椭圆

是x0xa2轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 5. 若P0(x0,y0)在双曲线6. 若P0(x0,y0)在双曲线

xaxa22222222yby1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

x0xa2y0yb21.

xaxa2222ybyb22221上，则过P0的椭圆的切线方程是

x0xa2y0yb2切点弦P1P2的直线方程是

1.

bx0x1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则

a2y0yb21.

7. 双曲线

xa22yb221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点F1PF2，

21外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程

22y0yb2则双曲线的焦点角形的面积为SFPFbcot122.

1.

7. 椭圆

xayb228. 双曲线

1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点

x22ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

y221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

角形的面积为SFPFb2tan122.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别

交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于

点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是双曲线

xa22228. 椭圆

x22ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

y221（a＞b＞0）的焦半径公式：

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦

点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P

和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是椭圆

即KABxa22yb221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

KOMKABba22bx0ay0，即KABxa22bx0ay02222。

2yb221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOMkAB，

12. 若P0(x0,y0)在双曲线

x0xa2yb1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

bx0ay02。 xaxa22y0yb2x0a22y0b22. xa2212. 若P0(x0,y0)在椭圆13. 若P0(x0,y0)在椭圆

ybyb221内，则被Po所平分的中点弦的方程是

xa22x0xa222y0yb2x0a22y0b22.

13. 若P0(x0,y0)在双曲线

x22yb221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

22221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是ybx0xa2y0yb2.

ayb22x0xa2y0yb2.

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

第 1 页 总策划：小柏---武汉中学高三数学组

祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！

1. 椭圆

xa22yb221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时

xa2210. 已知椭圆

xa22yb2221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2. 过椭圆

xa22yb221.

P(x0,0), 则abaxa22x022aba22.

yb221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，

11. 设P点是椭圆yb1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则

则直线BC有定向且kBCxa22bx0ay022（常数）.

(1)|PF1||PF2|2

2b23. 若P为椭圆yb221cosxa22.(2) SPFFb2tan122.

1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F

是焦点, PF1F2,

12. 设A、B是椭圆

yb221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

2ab|cos|accos2222PF2F1，则

xa22acactan2cot2.

PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|tantan1e.(3) SPABxa22.(2)

4. 设椭圆yb221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2

22ab2222bacot.

中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

sinsinsincae.

13. 已知椭圆yb221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交

5. 若椭圆

xa22yb221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在

于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线

垂直.

椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为椭圆

xa22yb221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

22a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

7. 椭圆

22(xx0)a222(yy0)b221与直线AxByC02有公共点的充要条件是

AaBb(Ax0By0C).

28. 已知椭圆

1|OP|2xa22yb222，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）1（a＞b＞0）1a2x1|OQ|221b2;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为

4ab2222ab;（3）SOPQ的最小值是

ab222ab.

9. 过椭圆

1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x2b|PF|e轴于P，则.

|MN|2ay2

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

第 2 页 总策划：小柏---武汉中学高三数学组

祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！

1. 双曲线

xa22yb221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于

xa2210. 已知双曲线

xa22yb221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相

aba22P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2. 过双曲线

xa22yb221.

交于点P(x0,0), 则x011. 设P点是双曲线

xa22或x0aba22.

yb221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

yb222（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，1.(2) SPFFb2cot12B,C两点，则直线BC有定向且kBCxa22bx0ay022（常数）.

则(1)|PF1||PF2|2bxa2221cosyb22.

3. 若P为双曲线yb22（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, 1tan12. 设A、B是双曲线1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,

2ab|cos||accos|2222PF2F1，则

xa22caca2cot2（或

cacatan2cot2PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|.

）.

(2) tantan1e.(3) SPAB13. 已知双曲线

sin(sinsin)cae.

xa2222ab22224. 设双曲线yb221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

bacot.

yb221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与

在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线

5. 若双曲线

xa22yb221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21必与切线垂直.

15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6. P为双曲线

xa22yb22直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线

22xa2222yb221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是

2AaBbC.

8. 已知双曲线（1）

1|OP|2xa22yb22，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ. 1（b＞a ＞0）1a21|OQ|xa222221b2;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为

4ab2222ba;（3）SOPQ的最小值是

ab2222ba.

9. 过双曲线yb1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂

|PF||MN|e2直平分线交x轴于P，则.

第 3 页 总策划：小柏---武汉中学高三数学组