福建省福州市延安中学2018-2019学年度上期八年级期中考数学试题 含解析

2018-2019学年度上期八年级期中考数学试题

一、单选题（每题3分，共30分

1．下面有4个图案，其中有（ ）个是轴对称图形．

A．一个

B．二个

C．三个

D．四个

2．已知等腰三角形的两边长是4和9，则等腰三角形的周长为（ ） A．17

B．17或22

C．22

2

2

2

D．16

3．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a﹣2ab+b﹣c的值（ ） A．大于零

B．等于零

C．小于零

D．不能确定

4．下列因式分解正确的是（ ） A．m+n＝（m+n）（m﹣n） C．a﹣a＝a（a﹣1）

2

2

22

2

B．x+2x﹣1＝（x﹣1） D．a+2a+1＝a（a+2）+1

2

22

5．不论x，y取何实数，代数式x﹣4x+y﹣6y+13总是（ ） A．非负数

2

2

B．正数 C．负数 D．非正数

6．若x+mxy+4y是完全平方式，则常数m的值为（ ） A．4 C．±4

7．下列各式正确的是（ ） A．3x+4x＝7xC．a÷a＝a﹣22

2

4

B．﹣4

D．以上结果都不对

B．2x•3x＝6x2

22

3

2

62

3

D．（﹣ab）＝﹣ab

8．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（ ）个． A．1

B．2

C．3

D．4

9．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

10．如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是（ ）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

二、填空题（每空4分，共24分）

11．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．

12．如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是 （填上你认为适当的一个条件即可）．

13．AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则AD的取值范围是 ．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ADC：S△ABC＝1：3．其中正确的个数是 ．

15．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a+2b+c＝2ac+2bc，则△ABC是 ．

16．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（5+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得： 4×（5+1）×（5+1）＝（5﹣1）×（5+1）×（5+1） ＝（5﹣1）×（5+1）＝25﹣1＝624． 请借鉴小黄的方法计算： （1+）×

×

×

×

×

×

，结果是 ．

2

2

2

2

2

2

4

4

4

22

22

三、解答题（共98分）

17．计算：

（1）x°x+（x）﹣2（x）； （2）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）； （3）4（a﹣b）﹣（2a+b）（﹣b+2a） 18．分解因式： （1）4a﹣a

（2）﹣8ax+16axy﹣8ay （3）1﹣x+2xy﹣y

19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm．

（1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；

（2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长．

2

2

2

2

3

2

5

3

2

2

20．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG． （1）求证：OC是∠AOB的平分线．

（2）若PF∥OB，且PF＝4，∠AOB＝30°，求PE的长．

21．已知x﹣y＝6，xy＝﹣8， （1）求x+y的值； （2）求代数式

的值．

2

2

22．如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC． （1）判断△AOG的形状，并予以证明； （2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．

23．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a+6a+8，

解：原式＝a+6a+8+1﹣1＝a+6a+9﹣1＝（a+2）（a+4） ②M＝a﹣2ab+2b﹣2b+2，利用配方法求M的最小值，

解：a﹣2ab+2b﹣2b+2＝a﹣2ab+b+b﹣2b+1+1＝（a﹣b）+（b﹣1）+1 ∵（a﹣b）≥0，（b﹣1）≥0 ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题：

（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x﹣x+ ． （2）用配方法因式分解：x﹣4xy+3y． （3）若M＝x+2x﹣1，求M的最小值．

（4）已知x+2y+z﹣2xy﹣2y﹣4z+5＝0，则x+y+z的值为 ．

24．如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥

2

2

22

2

2

2

2

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2

2

2

2

2

2

2

2

22

BE．

（1）用两种不同的方法表示出长方形ACDF的面积S，并探求a，b，c之间的等量关系（需要化简） （2）请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①求当c＝5，a＝3时，求S的值； ②当c﹣b＝8，a＝12时，求S的值．

25．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）试求何时△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下面有4个图案，其中有（ ）个是轴对称图形．

A．一个

B．二个

C．三个

D．四个

【分析】根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称．

【解答】解：由轴对称图形的概念可知第1个、第3个图形是轴对称图形；第2个、第4个图形不是轴对称图形． 故轴对称图形有二个． 故选：B．

2．已知等腰三角形的两边长是4和9，则等腰三角形的周长为（ ） A．17

B．17或22

C．22

D．16

【分析】根据腰为4或9，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断． 【解答】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4＜9，三边关系不成立， 当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9＝22． 故选：C．

3．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a﹣2ab+b﹣c的值（ ） A．大于零

B．等于零

C．小于零

2

2

2

2

D．不能确定

2

2

【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式a﹣2ab+b﹣c分解因式就可以进行判断． 【解答】解：a﹣2ab+b﹣c＝（a﹣b）﹣c＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]． ∵a，b，c是三角形的三边． ∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0． ∴a﹣2ab+b﹣c＜0． 故选：C．

4．下列因式分解正确的是（ ） A．m+n＝（m+n）（m﹣n） C．a﹣a＝a（a﹣1）

22

2

2

2

22

2

2

2

2

B．x+2x﹣1＝（x﹣1） D．a+2a+1＝a（a+2）+1

2

22

【分析】各项分解得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；

B、原式不能分解，不符合题意； C、原式＝a（a﹣1），符合题意； D、原式＝（a+1），不符合题意；

故选：C．

5．不论x，y取何实数，代数式x﹣4x+y﹣6y+13总是（ ） A．非负数

B．正数

C．负数

2

2

2

2

2

D．非正数

2

2

【分析】先根据完全平方公式进行配方得到x+y﹣4x﹣6y+13＝（ x﹣2）+（y﹣3），然后根据非负数的性质进行证明．

【解答】解：x﹣4x+y﹣6y+13＝x﹣4x+4+y﹣6y+9 ＝（x﹣2）+（y﹣3）， ∵（x﹣2）≥0，（y﹣3）≥0， ∴（x﹣2）+（y﹣3）≥0，

∴不论x、y取何值，代数式x﹣4x+y﹣6y+13的值总是非负数， 故选：A．

6．若x+mxy+4y是完全平方式，则常数m的值为（ ） A．4 C．±4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B．﹣4

D．以上结果都不对

2

【分析】完全平方公式：（a±b）＝a±2ab+b，这里首末两项是x和2y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2y积的2倍，故m＝±4． 【解答】解：∵（x±2y）＝x±4xy+4y， ∴在x+mxy+4y中，±4xy＝mxy， ∴m＝±4． 故选：C．

7．下列各式正确的是（ ） A．3x+4x＝7xC．a÷a＝a﹣22

2

4

2

2

2

2

2

B．2x•3x＝6x2

22

3

2

62

3

D．（﹣ab）＝﹣ab

【分析】直接利用单项式乘以单项式以及积的乘方运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、3x+4x＝7x，故此选项不合题意；

2

2

2

B、2x•3x＝6x，故此选项不合题意；

2

2

4

C、a÷a＝a，故此选项符合题意；

D、（﹣ab）＝﹣ab，故此选项不合题意．

故选：C．

8．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（ ）个． A．1

B．2

C．3

D．4

2

3

63

﹣23

【分析】如图1中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图2中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意． 【解答】解：如图2中，

当BD是特异线时，如果AB＝BD＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝120°+15°＝135°， 如果AD＝AB，DB＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝75°+37.5°＝112.5°，

如果AD＝DB，DC＝CB，则ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+60°＝90°（不合题意舍弃）． 如图3中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，则∠ABC＝180°﹣20°﹣20°＝140°

当CD为特异线时，不合题意．

∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140° 符合条件的∠B有3个， 故选：C．

9．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）

A．6

B．8

C．10

D．12

【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10． 故选：C．

10．如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．

【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AF＝CF，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），

作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA＝CM，∠ACM＝60°， ∴△ACM是等边三角形， ∵AF＝CF， ∴FM⊥AC， ∴∠CFE′＝90°， 故选：D．

二．填空题（共6小题）

11．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为 120°或20° ． 【分析】设两个角分别是x，4x，根据三角形的内角和定理分情况进行分析，从而可求得顶角的度数． 【解答】解：设两个角分别是x，4x

①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x＝180°，解得，x＝30°，4x＝120°，即底角为30°，顶角为120°；

②当x是顶角时，则x+4x+4x＝180°，解得，x＝20°，从而得到顶角为20°，底角为80°； 所以该三角形的顶角为120°或20°． 故答案为：120°或20°．

12．如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是 ∠B＝∠C （填上你认为适当的一个条件即可）．

【分析】根据题意，易得∠AEB＝∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠AEC， 又 AE公共，

∴当∠B＝∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）； 或BE＝CE时，△ABE≌△ACE（SAS）； 或∠BAE＝∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．

13．AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则AD的取值范围是 2＜AD＜10 ．

【分析】对于中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解． 【解答】解：如图所示，

延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD， 又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE ∴△ACD≌△EBD，∴BE＝AC，

在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC， 12﹣8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20， ∴2＜AD＜10．

故此题的答案为：2＜AD＜10．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△ADC：S△ABC＝1：3．其中正确的个数是 4 ．

【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；

②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1＝∠2＝30°， 根据直角三角形的性质可知∠ADC＝60°； ③根据∠1＝∠B可知AD＝BD，故可得出结论；

④先根据直角三角形的性质得出∠2＝30°，CD＝AD，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】①证明：连接NP，MP， 在△ANP与△AMP中， ∵

，

∴△ANP≌△AMP（SSS）， 则∠CAD＝∠BAD，

故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；

②证明：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，

∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，∠ADC＝60°，故此选项正确；

③证明：∵∠1＝∠B＝30°， ∴AD＝BD，

∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；

④证明：∵在Rt△ACD中，∠2＝30°， ∴CD＝AD，

∴BC＝BD+CD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD， ∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD， ∴S△DAC：S△ABC＝1：3，故此选项正确； 故答案为：4．

15．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a+2b+c＝2ac+2bc，则△ABC是 等腰直角三角形 ． 【分析】根据2a+2b+c＝2ac+2bc，利用因式分解法和非负数的性质，可以得到a、b、c的关系，从而可以判断△ABC的形状．

【解答】解：∵2a+2b+c＝2ac+2bc， ∴2a+2b+c﹣2ac﹣2bc＝0，

∴[（a+b）﹣2c（a+b）+c]+a+b﹣2ab＝0， ∴[（a+b）﹣c]+（a﹣b）＝0 ∴

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

22

4

4

4

22

22

4

4

4

22

22

4

4

4

22

22

4

4

4

22

22

，

∴a+b＝c且a＝b， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形．

16．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（5+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：

2

4×（5+1）×（5+1）＝（5﹣1）×（5+1）×（5+1） ＝（5﹣1）×（5+1）＝25﹣1＝624． 请借鉴小黄的方法计算： （1+）×

×

×

×

×

×

，结果是 2﹣

．

2

2

2

22

【分析】在前面乘一个2×（1﹣），然后再连续利用平方差公式进行计算即可． 【解答】解：原式＝2×（1﹣）×（1+）×＝2×（1﹣＝2×（1﹣… ＝2×（1﹣＝2×（1﹣＝2﹣

． ）×（1+）

）

）×）×

××

××

×××

×××

×

×

×

×

故答案为：2﹣

三．解答题（共9小题） 17．计算：

（1）x°x+（x）﹣2（x）； （2）（m﹣2n+3）（m+2n﹣3）； （3）4（a﹣b）﹣（2a+b）（﹣b+2a） 【分析】（1）利用幂的乘方法则运算；

（2）先变形为原式＝[m﹣（2n﹣3）][m+（2n﹣3）]，然后利用平方差公式计算； （3）利用完全平方公式和平方差公式计算，然后去括号后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝x+x﹣2x； （2）原式＝[m﹣（2n﹣3）][m+（2n﹣3）] ＝m﹣（2n﹣3） ＝m﹣（4n﹣12n+9） ＝m﹣4n+12n﹣9；

（3）原式＝4a﹣8ab+4b﹣（4a﹣b）

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5

6

2

2

5

3

2

2

＝4a﹣8ab+4b﹣4a+b ＝﹣8ab+5b． 18．分解因式： （1）4a﹣a

（2）﹣8ax+16axy﹣8ay （3）1﹣x+2xy﹣y

【分析】（1）先提取公因式a，再用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式进行分解；

（3）先以1为一组，以后三项为一组，对后三项用完全平方公式进行分解，再用平方差公式进行分解． 【解答】解：（1）4a﹣a ＝a（4a﹣1） ＝a（2a+1）（2a﹣1） （2）﹣8ax+16axy﹣8ay ＝﹣8a（x+2xy+y） ＝﹣8a（x+y） （3）1﹣x+2xy﹣y ＝1﹣（x﹣2xy+y） ＝1﹣（x﹣y） ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）

19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm．

（1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N；

（2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

3

2

2222

【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；

（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AM＝BM，从而将△MBC的周长转化为：AM+CM+BC，即AC+BC＝14cm，依此可求BC．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）∵MN是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM，

∵△MBC的周长是14cm，

∴MB+MC+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC＝14cm， ∵AC＝8cm， ∴BC＝6cm．

20．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG． （1）求证：OC是∠AOB的平分线．

（2）若PF∥OB，且PF＝4，∠AOB＝30°，求PE的长．

【分析】（1）利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD＝PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可． （2）在Rt△PFD中，求出PD即可解决问题； 【解答】（1）证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，

，

∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）， ∴PD＝PE，

∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线．

（2）∵PF∥OB，∠AOB＝30°， ∴∠PFD＝∠AOB＝30°， 在Rt△PDF中，PD＝PF＝2，

∴PE＝PD＝2．

21．已知x﹣y＝6，xy＝﹣8， （1）求x+y的值； （2）求代数式

2

2

2

2

2

2

2

的值．

2

2

2

【分析】（1）由（x﹣y）＝x+y﹣2xy，即可得x+y＝（x﹣y）+2xy，将x﹣y＝6，xy＝﹣8代入即可求得x+y的值；

（2）首先化简（x+y+z）+（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣z（x+y），可得（x+y+z）+（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣z（x+y）＝x+y，由（1）即可求得答案． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝6，xy＝﹣8， ∴（x﹣y）＝x+y﹣2xy，

∴x+y＝（x﹣y）+2xy＝36﹣16＝20；

（2）∵（x+y+z）+（x﹣y﹣z）（x﹣y+z）﹣z（x+y）， ＝（x+y+z+2xy+2xz+2yz）+[（x﹣y）﹣z]﹣xz﹣yz， ＝x+y+z+xy+xz+yz+x+y﹣xy﹣z﹣xz﹣yz， ＝x+y， 又∵x+y＝20， ∴原式＝20．

22．如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC． （1）判断△AOG的形状，并予以证明； （2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．

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【分析】（1）易证∠CAO＝∠AOG和∠CAO＝∠GAO，即可判定△AOG是等腰三角形；

（2）连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，易证△ANG≌△BKG，即可证明∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，根据

三角形内角和为180°性质即可解题． 【解答】解：（1）等腰三角形； 证明：∵AC∥y轴， ∴∠CAO＝∠AOG， ∵AO平分∠BAC， ∴∠CAO＝∠GAO， ∴∠GAO＝∠AOG， ∴AG＝GO，

∴△AOG是等腰三角形；

（2）连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，

∵AC∥y轴，点B、C关于y轴对称， ∴AN＝CK＝BK， 在△ANG和△BKG中，

，

∴△ANG≌△BKG，（AAS） ∴AG＝BG，

∵AG＝OG，（1）中已证， ∴AG＝OG＝BG，

∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG， ∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°， ∴∠AOG+∠BOG＝90°， ∴AO⊥BO．

23．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a+6a+8，

2

解：原式＝a+6a+8+1﹣1＝a+6a+9﹣1＝（a+2）（a+4） ②M＝a﹣2ab+2b﹣2b+2，利用配方法求M的最小值，

解：a﹣2ab+2b﹣2b+2＝a﹣2ab+b+b﹣2b+1+1＝（a﹣b）+（b﹣1）+1 ∵（a﹣b）≥0，（b﹣1）≥0 ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题：

（1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x﹣x+ （2）用配方法因式分解：x﹣4xy+3y． （3）若M＝x+2x﹣1，求M的最小值．

（4）已知x+2y+z﹣2xy﹣2y﹣4z+5＝0，则x+y+z的值为 4 ． 【分析】（1）加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；

（2）将3y化成4y﹣y，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；

（3）提取系数后，再加一次项系数一半的平方16，并减去16，配成完全平方式，利用平方≥0可知M的最小值；

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．

（4）拆项后配成三个完全平方式，利用平方≥0可知：要想使已知式成立则存在即可．

【解答】解：（1）x﹣x+＝故答案为：；

2

，求出x、y、z的值并相加

，

（2）x﹣4xy+3y＝x﹣4xy+4y﹣y＝（x﹣2y）﹣y＝（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）＝（x﹣y）（x﹣3y）；

（3）M＝x+2x﹣1，

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M＝（x+8x+16﹣16）﹣1＝（x+4）﹣5，

∵（x+4）≥0，

∴当x＝﹣4时，M有最小值为﹣5；

（4）x+2y+z﹣2xy﹣2y﹣4z+5＝0，

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22

x﹣2xy+y+y﹣2y+1+z﹣4z+4＝0，

2222

（x﹣y）+（y﹣1）+（z﹣2）＝0， ∵x﹣y≥0，y﹣1≥0，z﹣2≥0， ∴

，

222

∴x＝1，y＝1，z＝2， ∴x+y+z＝1+1+2＝4， 故答案为：4．

24．如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥

BE．

（1）用两种不同的方法表示出长方形ACDF的面积S，并探求a，b，c之间的等量关系（需要化简） （2）请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①求当c＝5，a＝3时，求S的值； ②当c﹣b＝8，a＝12时，求S的值．

【分析】（1）方法一，根据矩形的面积公式就可以直接表示出S；方法二，根据矩形的面积等于四个三角形的面积之和求出结论即可，根据方法一与方法二的S相等建立等式就可以表示出a，b，c之间的等量关系；

（2）①先由（1）的结论求出b的值，然后代入S的解析式就可以求出结论；②由a＝c﹣b＝（c+b）（c﹣b）先求得c+b的值，然后可求得b的值，然后由S＝ab+b，求解即可． 【解答】解：（1）由题意，得 方法一：S1＝b（a+b）＝ab+b

方法二：S2＝ab+ab+（b﹣a）（b+a）+c， ＝ab+b﹣a+c．

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S1＝S2，

∴ab+b＝ab+b﹣a+c， ∴2ab+2b＝2ab+b﹣a+c， ∴a+b＝c．

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（2）∵a+b＝c．且c＝5，a＝3， ∴b＝4，

∴S＝3×4+16＝28． 答：S的值为28． ②∵a+b＝c，

∴a＝c﹣b＝（c+b）（c﹣b）． 又∵c﹣b＝8，a＝12， ∴c+b＝18， ∴b＝5，

∴S＝ab+b＝12×5+5＝85．

25．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）试求何时△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

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【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ＝60°；

（2）可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于

t的方程，则可求得t的值；

（3）同（1）可证得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ＝120°． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠PAC＝60°，

∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， ∴AP＝BQ，

在△APC和△BQA中

，

∴△APC≌△BQA（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP，

∴∠CMQ＝∠CAQ+∠ACP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°， ∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ＝60°；

（2）∵运动时间为ts，则AP＝BQ＝t， ∴PB＝4﹣t， 当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴PB＝2BQ，

∴4﹣t＝2t，解得t＝， 当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴BQ＝2PB，

∴t＝2（4﹣t），解得t＝，

∴当t为s或s 时，△PBQ为直角三角形；

（3）在等边三角形ABC中，AC＝BC，∠ABC＝∠BCA＝60°， ∴∠PBC＝∠QCA＝120°，且BP＝CQ， 在△PBC和△QCA中

，

∴△PBC≌△QCA（SAS）， ∴∠BPC＝∠MQC， 又∵∠PCB＝∠MCQ， ∴∠CMQ＝∠PBC＝120°，

∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小不变，∠CMQ＝120°．