第18章 平行四边形 专项训练 2020—2021学年人教版数学八年级下册

人教版数学八年级下册第18章 平行四边形 专项训练

1．(2020·黄石)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为( )

A．3 C．5

B．4 D．6

2．(2020·毕节)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( )

A．2.2 cm C．2.4 cm

B．2.3 cm D．2.5 cm

3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证： (1)四边形ADEF是平行四边形； (2)∠DHF＝∠DEF.

1

4．(中考·菏泽)如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG. (1)求证：四边形DEFG是平行四边形；

(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

5．(2020·重庆B)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.

(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数； (2)求证BE＝DF.

6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°.求∠CEF的度数．

2

7．(2020·自贡)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证AE＝BF.

8．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H，G.求证： (1)四边形AECF是平行四边形； (2)EF与GH互相平分．

9．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D. (1)求证：BD＝PE＋PF.

(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．

3

10．(2020·青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF. (1)求证△ADE≌△CBF.

(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．

11．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40 cm. (1)求证：四边形BFEG是矩形； (2)求四边形BFEG的周长；

(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

4

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处．求阴影部分的周长．

13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．

14．在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F. (1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．

(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由． (3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．

5

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，

∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点． (1)求证：四边形DEFG是矩形； (2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．

16．如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B落在点D处，点C落在点C′处，折痕EF与BD交于点O.已知AB＝16，AD＝12，求折痕EF的长．

17．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证PA＝EF.

6

18．阅读下面的内容：

在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为根据上面的内容解决下列问题：

(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为__________；

x1＋x2y1＋y2，2. 2

(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

19．(中考·鄂州)如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N. (1)求证：四边形CMAN是平行四边形； (2)已知DE=4，FN=3，求BN的长；

7

20．(中考·哈尔滨)如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．

8

参

1．(2020·黄石)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为( B )

A．3 C．5

B．4 D．6

2．(2020·毕节)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( D )

A．2.2 cm C．2.4 cm

B．2.3 cm D．2.5 cm

3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证： (1)四边形ADEF是平行四边形；

证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC. 同理可得EF∥AB.

∴四边形ADEF是平行四边形． (2)∠DHF＝∠DEF.

证明：由(1)知四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF＝∠DEF. 在Rt△AHB中，∵D是斜边AB的中点， 1

∴DH＝2AB＝AD. ∴∠DAH＝∠DHA. 1

同理可得HF＝2AC＝AF，∴∠FAH＝∠FHA.

∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA，即∠DAF＝∠DHF.

9

∴∠DHF＝∠DEF.

4．(中考·菏泽)如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG. (1)求证：四边形DEFG是平行四边形；

证明：∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DG∵E，F分别是OB，OC的中点，∴EF∴DG

EF.

1

2BC.

1BC. 2

∴四边形DEFG是平行四边形．

(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 解：∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC＋∠OCB＝90°. ∴∠BOC＝90°.

∵M为EF的中点，OM＝3，∴EF＝2OM＝6. ∴DG＝EF＝6.

5．(2020·重庆B)如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.

(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF. ∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°. ∴∠ABC＝180°－120°＝60°. (2)求证BE＝DF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB. ∴∠ABE＝∠CDF. ∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，

10

11

∴∠BAE＝2∠BAD，∠DCF＝2∠BCD. ∴∠BAE＝∠DCF. ∴△ABE≌△CDF(ASA)． ∴BE＝DF.

6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°.求∠CEF的度数．

解：连接AC.

∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD. ∴△ABC与△CDA都是等边三角形． ∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°. ∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC＝∠CAF. ∴△ABE≌△ACF. ∴AE＝AF.

又∵∠EAF＝60°，∴△EAF是等边三角形．∴∠AEF＝60°. ∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AEF＋∠CEF， ∴60°＋18°＝60°＋∠CEF. ∴∠CEF＝18°.

7．(2020·自贡)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证AE＝BF.

证明：在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD. ∵CE＝DF，∴BC＋CE＝CD＋DF，即BE＝CF. 在△ABE和△BCF中，

AB＝BC，

∠ABE＝∠BCF， BE＝CF，

∴△ABE≌△BCF(SAS)．∴AE＝BF.

8．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF，连接AF，BF，DE，

11

CE，分别交于H，G.求证： (1)四边形AECF是平行四边形；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD.

∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形． (2)EF与GH互相平分．

证明：由(1)得四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE. ∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，∴BE∥DF，BE＝DF. ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴BF∥DE.

∴四边形EGFH是平行四边形． ∴EF与GH互相平分．

9．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D. (1)求证：BD＝PE＋PF.

证明：如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H. ∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF， ∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.

∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.

12

∴∠EPB＝∠FPC.

又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB. ∵PE⊥AB，PH⊥BH， ∴∠PEB＝∠PHB＝90°.

又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB. ∴PE＝PH. ∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE，即BD＝PE＋PF.

(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．

解：不成立，PE＝BD＋PF.

理由如下：作BM⊥PF交PF的延长线于点M. 与(1)同理可得PE＝PM，BD＝MF. ∴PE＝PM＝FM＋PF＝BD＋PF. ∴BD，PE，PF之间的上述关系不成立．

10．(2020·青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF. (1)求证△ADE≌△CBF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC.

∴∠ADB＝∠DBC. ∴∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中，

AD＝CB，

∠ADE＝∠CBF， DE＝BF，

∴△ADE≌△CBF(SAS)．

13

(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由． 解：如图，当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形． 理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD. ∴平行四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD.即AC⊥EF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵DE＝BF，∴OE＝OF. ∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形．

11．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40 cm. (1)求证：四边形BFEG是矩形；

证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC. ∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴四边形BFEG是矩形． (2)求四边形BFEG的周长；

解：∵正方形ABCD的周长是40 cm， ∴AB＝40÷4＝10(cm)．

易知△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF. ∵四边形BFEG为矩形，∴BF＝EG，EF＝BG.

∴四边形BFEG的周长为2(EF＋BF)＝2(AF＋BF)＝2×10＝20(cm)． (3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？ 解：若要使四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF. ∵AF＝EF，AB＝10 cm，

14

1

∴当AF＝2AB＝5 cm时，四边形BFEG是正方形．

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处．求阴影部分的周长．

【点拨】要求阴影部分的周长，我们可以把 两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和 与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案． 解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5， ∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.

根据轴对称的性质可得：A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.

设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.

13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．

1解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是4. 理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°. ∵四边形A′B′C′O是正方形， ∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC.

∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，即∠BOE＝∠COF. ∴△BOE≌△COF(ASA)． ∴S△BOE＝S△COF.

15

∴两个正方形重叠部分的面积等于S△BOC. 11

∵S正方形ABCD＝1×1＝1，∴S△BOC＝4S正方形ABCD＝4. 1∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是4. 14．在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F. (1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．

11

解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝2BD＝2×16＝8. 由勾股定理得AG＝AB2－BG2＝102－82＝6， ∴AC＝2AG＝2×6＝12.

11∴菱形ABCD的面积＝2AC·BD＝2×12×16＝96.

(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由． 解：OE＋OF的值不发生变化．

理由：如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD， 111∴2BD·AG＝2AB·OE＋2AD·OF， 111即2×16×6＝2×10·OE＋2×10·OF， 解得OE＋OF＝9.6，是定值，不变．

(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．

16

解：OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.理由：如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD， ∴1AG＝112BD·2AB·OE－2AD·OF， 即1112×16×6＝2×10·OE－2×10·OF， 解得OE－OF＝9.6，是定值，不变． ∴OE＋OF的值发生变化，

OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，

∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点． (1)求证：四边形DEFG是矩形；

证明：如图，连接AO并延长，交BC于H. ∵AB＝AC，OB＝OC，

∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC于H，BH＝HC. ∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，

17

∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF. ∴四边形DEFG是平行四边形． ∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF. ∵DE∥AH，∴DE⊥EF. ∴四边形DEFG是矩形．

(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．

解：∵D，E，F分别是AB，OB，OC的中点，△BOC是直角三角形， ∴BC＝2EF＝2OH＝2×3＝6， AH＝OA＋OH＝2DE＋EF＝2×2＋3＝7. 11∴S△ABC＝2BC·AH＝2×6×7＝21.

16．如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B落在点D处，点C落在点C′处，折痕EF与BD交于点O.已知AB＝16，AD＝12，求折痕EF的长．

解：根据已知条件，得∠C′DF＝∠CDA＝90°， ∴∠C′DE＝∠ADF.

∵∠A＝∠C＝∠C′＝90°，AD＝BC＝DC′， ∴△DAF≌△DC′E(ASA)．∴DF＝DE＝BF. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB ∴OE＝OF，BD⊥EF. 设AF＝x，则DF＝BF＝16－x.

在Rt△DAF中，AD2＋AF2＝DF2，∴122＋x2＝(16－x)2.

DC.

连接BE，则四边形DFBE是菱形．

18

725

解得x＝2. ∴DF＝2.

∵在Rt△ABD中，DB2＝AD2＋AB2＝122＋162＝400， 1

∴DB＝20. ∴DO＝2DB＝10.

25225

∴在Rt△DOF中，OF＝DF－DO＝2－102＝4，



2

2

2

2

1515

∴OF＝2. ∴EF＝2OF＝2×2＝15.

17．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证PA＝EF.

证明：如图，连接PC.

∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°. ∴四边形PECF是矩形．∴PC＝EF.

AB＝CB，

在△ABP和△CBP中，∠ABP＝∠CBP，

BP＝BP，

∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC. ∴PA＝EF.

18．阅读下面的内容：

在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为根据上面的内容解决下列问题：

(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为__(2，1.5) ________；

x1＋x2y1＋y2.

，22

19

(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． 解：设点D的坐标为(x，y)．

以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形， ①当AB为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)， ∴

－1＋31＋x2＋14＋y2＝2，2＝2. ∴x＝1，y＝－1.

∴点D的坐标为(1，－1)． ②当BC为对角线时，

∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)， ∴

3＋1－1＋x1＋42＋y

＝，＝. ∴x＝5，y＝3. 2222

∴点D的坐标为(5，3)． ③当AC为对角线时，

∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)， ∴

－1＋13＋x2＋41＋y2＝2，2＝2. ∴x＝－3，y＝5. ∴点D的坐标为(－3，5)．

综上所述，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．

19．(中考·鄂州)如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N. (1)求证：四边形CMAN是平行四边形；

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB. ∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN. ∴四边形CMAN是平行四边形． (2)已知DE=4，FN=3，求BN的长；

20

解：∵四边形CMAN是平行四边形，∴CM＝AN. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB. ∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF. 在△MDE和△NBF中，

∠MDE＝∠NBF，∠DEM＝∠BFN， DM＝BN，

∴△MDE≌△NBF(AAS)． ∴BF＝DE＝4.

在Rt△NBF中，∵∠BFN＝90°，BF＝4，FN＝3， ∴BN＝FN2＋BF2＝32＋42＝5.

20．(中考·哈尔滨)如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH. (1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

证明：∴四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO 在△OAE与△OCF中，

∠EAO＝∠FCO，

OA＝OC，

∠AOE＝∠COF，

∴△OAE≌△OCF(ASA)． ∴OE＝OF.

同理得OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形．

(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．

解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.

21