2020高考数学逆袭：专题五解析几何

[全国卷3年考情分析] 年份 2019 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 圆与双曲线的综合问题·T11 全国卷Ⅲ 直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系·T21 直线方程、圆的方程、点到直线的2018 距离·T6 直线与圆的位置关系、点到直线的圆的性质、点到直线圆的弦长问题、双曲2017 的距离、双曲线的几何性质·T15 线的几何性质·T9 直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系·T20 (1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．

(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．

考点一 直线的方程

1．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )

A．1或3 C．3或5

2．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是( )

A．24

B.20 B.1或5 D.1或2

距离、椭圆的几何性质·T10 C．0

D.－4

3．坐标原点(0，0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是( ) 48－， A.5548，－ C.55

4．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_________________．

考点二 圆的方程

[例1] 在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.

(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．

1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－2) C．(－2，0)

―→―→

2．已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且OA·OB＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径为( )

A.5 C.7

B.6 D.22 2

－，0 B.32－2， D.3

48－，－ B.58D.5，5

3．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y45

＝0的距离为，则圆C的标准方程为________．

5

考点三 直线与圆的位置关系 题型一 圆的切线问题

[例2] (1)(2019·永州模拟)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )

A．8x－6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0

B.8x＋6y－21＝0 D.6x－8y－21＝0

(2)设点M(x0，y0)为直线3x＋4y＝25上一动点，过点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，切点为B，C，则四边形OBMC面积的最小值为________．

题型二 直线与圆相交问题

[例3] 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，3)，N(1，－3)．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．

xy

1．已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线＋＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，

42PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )

11A.2，4 C.

3

4，0

11B.4，2 D.0，



3 4

2．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝

3．已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为23.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.

(1)求圆C的方程；

―→―→

(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求BA1·BA2； (3)求证：|AN|·|BM|为定值．

4. 已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2，1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为( )

A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0 B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0 C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0 D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0

[解析] 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P(2，5)，Q(2，－5)，所以S

25，则直线l的方程为________________． 5

【课后专项练习】

A组

一、选择题

1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的( ) A．充要条件 C．必要不充分条件

2．已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为( )

A．(3，3) C．(1，3)

3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )

A．内切 C．外切

4．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )

A．[2，6] C．[2，32]

5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为( )

A．(－32，32)

B．(－∞，－32)∪(32，＋∞) C．(－22，22) D．[－32，32 ]

B．[4，8] D．[22，32] B.相交 D.相离 B．(2，3) D．1，

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件



3

2

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于―→―→―→

A，B两点，OM＝OA＋OB，若点M在圆C上，则实数k的值为( )

A．－2 C．0

二、填空题

7．过点C(3，4)作圆x2＋y2＝5的两条切线，切点分别为A，B，则点C到直线AB的距离为________．

8．已知直线l：ax－3y＋12＝0与圆M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B两点，且∠AMB＝π

，则实数a＝________． 3

9．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．

三、解答题

10．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．

(1)求圆A的方程；

(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．

B.－1 D.1

11．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

12．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

B组

1．已知点M(－1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的3倍．

(1)求曲线E的方程；

(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．

2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； (2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

3．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；

―→―→―→

(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求实数t的取值范围．

第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质

[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 双曲线的标准椭圆的定义及标准方程·T10 2019 圆、双曲线的标准方程与几何性双曲线的几何性质·T16 直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算·T8 2018 直线的方程及椭圆的几何性双曲线的几何性质·T11 的位置关质·T12 系·T16 双曲线的渐近双曲线的几何性质·T9 线及标准方程·T5 双曲线的几何性质·T5 质·T11 椭圆、抛物线的标准方程·T8 方程、几何性质·T10 椭圆的标准方程及定义·T15 双曲线的几何性质·T11 直线与抛物线直线与抛物线的位置关系、弦长2017 公式、基本不等式的应用·T10 双曲线的几何性质·T15 (1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．

(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．

考点一 圆锥曲线的定义与标准方程

[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )

x22

A.＋y＝1 2x2y2

C.＋＝1 43

(2)(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线

x2y2

B.＋＝1 32x2y2

D.＋＝1

y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆

x2y2

＋＝1的一个焦点，则p＝3pp

( )

A．2 C．4

B．3 D．8

x2y2

(3)(2019·郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P

ab是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )

A.2x±y＝0 C．x±2y＝0

x2y2

1．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长

最大时，△FMN的面积是( )

A.5 5

65B. 5D.

5B.x±2y＝0 D.2x±y＝0

85C. 5

x2y2

2．(2019·福州模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴

ab―→―→―→

的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA＝2AF，且|BF|＝4，则双曲线C的方程为( )

x2y2

A.－＝1 65x2y2

C.－＝1 84

3．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．

x2y2

B.－＝1 812x2y2

D.－＝1 46

考点二 圆锥曲线的性质

x2y2

[例2] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A

ab是C的左顶点，点P在过A且斜率为则C的离心率为( )

2

A. 31C. 31B. 21D. 43的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，6

x2y2

(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，

ab―→―→―→―→

过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A＝AB， F1B·F2B＝0，则C的离心率为________．

x2y2

(3)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别

ab交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB的面积为2，则p＝________．

x2y2

1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )

abA．y＝±2x C．y＝±

x2y2

2．(2019·济南市模拟考试)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，

ab―→―→―→―→

过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1·AF2＝0，AF2＝2F2B，则椭圆E的离心率为( )

2A. 3C. 5 3

3B. 4D.7 4

2x 2

B.y＝±3x D.y＝±

3x 2

x2y2

3．(2019·广州市调研测试)已知抛物线y＝2px(p>0)与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)有相

ab

2

同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )

A.2＋1 C.5＋1

y2x2

4．已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的

ab一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．

考点三 直线与圆锥曲线

题型一 直线与圆锥曲线的位置关系

[例3] 在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.

(1)求

|OH|

； |ON|

B.3＋1 D.2＋2

(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．

题型二 直线与圆锥曲线的弦长

3

[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的

2交点为A，B，与x轴的交点为P.

(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； ―→―→

(2)若AP＝3PB，求|AB|.

x22

1．已知椭圆C：2＋y＝1(a＞1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与

a椭圆C有且仅有两个交点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与1

－，0，求线段AB长度的取值范围． x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是4

x21

2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条

22切线，切点分别为A，B.

(1)证明：直线AB过定点；

5

0，为圆心的圆与直线AB相切，(2)若以E且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE2的面积．

x2y23

3.已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点－1，，点M是

ab2x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x 轴的上方)．

(1)求椭圆C的方程；

4―→―→

(2)若AM＝2MB，且直线l与圆O：x2＋y2＝相切于点N，求|MN|.

7

【课后专项练习】

A组

一、选择题

x2y2

1．(2019·济南模拟)已知双曲线－＝1的一个焦点F的坐标为(－5，0)，则该双曲线

9m的渐近线方程为( )

4

A．y＝±x

35

C．y＝±x

3

2．已知抛物线x2＝4y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：x＋y＋4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )

55A.＋2

252C.－2 2

x2y2

3．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O

42为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )

32A.

4C.22

x2y2

4．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，

ab以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )

A.2 C．2

x2y2

5．(2019·昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的

ab|AF1|

短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝( )

|AF2|

1A. 3

1B. 2B.3 D.5 32B. 2D.32 52B.＋1 252D.－1

23B.y＝±x

43D.y＝±x

5

2C. 3

D.3

x2y2

6．(2019·广州调研)已知椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点

ab―→―→

F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若AF＝3FB，则k＝( )

A.1 C.3

二、填空题

x2y2

7．已知P(1，3)是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心

ab率是________．

x2y2

8．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2

97的面积为________．

9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C―→―→

交于A，B两点，且AF＝3FB，抛物线C的准线l与x轴交于点E，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1EF的面积为63，则p＝________．

B.2 D.2

三、解答题

x2y2

10．(2019·天津高考)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短

ab轴长为4，离心率为

5. 5

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．

11．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m，9)到其焦点F的距离为10. (1)求抛物线C的方程；

(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围．

x2

12．(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2

ay2

＋2＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．过F2作x轴的垂线l，b

在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.5已知DF1＝.

2

(1)求椭圆C的标准方程； (2)求点E的坐标．

1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．

(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程； (2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.

x2y2

2．(2019·武汉市调研测试)已知椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)经过点M(－2，1)，且右焦点

abF(3，0)．

(1)求椭圆Γ的标准方程；

―→―→

(2)过N(1，0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝MA·MB，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值．

x2y2

3.如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分

ab别为点A，B，且|AB|＝

5

|BF|. 2

(1)求椭圆C的离心率；

162

－，在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为(2)若点M1717线段PQ的中点，且OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．

4．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，圆F：(x－1)2＋y2＝1外的点P在y轴的右侧运动，且P到圆F上的点的最小距离等于它到y轴的距离．记P的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍．

第3讲 圆锥曲线的综合问题

[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 直线与抛物线性质的综合2019 椭圆的位置关系、最应用·T19 值问题·T21 直线的方程、直线与直线的方程、直线与椭圆2018 的位置关系、证明问题·T19 椭圆的标准方程、直线与2017 椭圆的位置关系、定点问题·T20 抛物线的位置关系、圆的方程·T19 点的轨迹方程、椭圆直线与抛物线的位置关系、直线方程、向量的数量积等·T20 的方程、圆的方程·T20 列的证明·T20 直线与椭圆的位置关系、等差数弦长问题、点到直线的距离及四边形的面积·T21 全国卷Ⅱ 求曲线方程、直线与全国卷Ⅲ 直线过定点、直线与抛物线相交解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．

解答题的热点题型有：

(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断与证明．

第1课时 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 考点一 圆锥曲线中的最值问题

[例1] (2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM1

的斜率之积为－.记M的轨迹为曲线C.

2

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.

①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值．

(2019·河北省九校第二次联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.

(1)求抛物线C的方程；

―→―→

(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求PM·PN的最小值．

考点二 圆锥曲线中的范围问题

x2y2

[例2] (2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦点坐标分

ab3

别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝.

5(1)求椭圆C的标准方程；

1

(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q4，0，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．

1．(2019·洛阳模拟)已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a>0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于D，C两点．

(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；

S1

(2)若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围．

S2

x22

2．已知A，B分别为曲线C：2＋y＝1(y≥0，a＞0)与x轴的左、右两个交点，直线l

a过点B且与x轴垂直，M为l上位于x轴上方的一点，连接AM交曲线C于点T.

︵

(1)若曲线C为半圆，点T为AB的三等分点，试求出点M的坐标．

4

(2)若a＞1，S△MAB＝2，当△TAB的最大面积为时，求椭圆的离心率的取值范围．

3

考点三 圆锥曲线中的证明问题

x22

[例3] (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，

2B两点，点M的坐标为(2，0)．

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.

x2y23(2019·福州市第一学期抽测)已知点A1，－在椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)上，O为坐ab2x3y1

标原点，直线l：2－2＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－.

a2b4

(1)求椭圆C的方程； (2)不经过点A的直线y＝

3x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的2对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|＝|AN|.

【课后专项练习】

x2y22

1．(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点

ab2为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，过定点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB.

x2y22

2．(2019·广东六校第一次联考)已知椭圆D：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为e＝，点(－

ab22，1)在椭圆D上． (1)求椭圆D的方程；

(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1＋k2＝λk，求实数λ的取值范围．

3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l1与x轴交于点M，直线l2：4x－3y＋6＝0与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到l1，l2的距离之和的最小值等于2.

(1)求抛物线C的方程；

―→―→1求|AB|(2)过点M的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B，设MA＝λMB 3≤λ<1，的取值范围．

x2y21

4．(2019·重庆七校联考)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2，

ab21)的距离为10.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1)求椭圆C的方程；

(2)求△ABP的面积取最大值时，直线l的方程．

第2课时 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题

考点一 定点问题

[例1] (2019·郑州市第一次质量预测)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x―→―→

轴上的投影为N.动点P满足2PN＝3MN，动点P的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右―→―→―→―→

顶点)，且满足|DA＋DB|＝|DA－DB|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

1．(2019·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)． (1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

x2y2

2．(2019·安徽省考试试题)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的上顶点为P，右顶点为Q，

ab244

直线PQ与圆x2＋y2＝相切于点M5，5. 5

(1)求椭圆C的方程；

―→―→

(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且PA·PB＝0，求证：直线l过定点．

考点二 定值问题

x2y2

[例2] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，过A(2，0)，B(0，1)两点．

ab(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

如图所示，已知点M(a，3)是抛物线y2＝4x上一定点，直线AM，BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A，B两个不同的点．

(1)求点M到其准线的距离； (2)求证：直线AB的斜率为定值．

考点三 探索性问题

x2y2

[例3] (2019·重庆市学业质量调研)如图，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，其左、右

ab焦点分别为F1(－2，0)及F2(2，0)，过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|构成等差数列．

(1)求椭圆C的方程；

(2)记△GF1D的面积为S1，△OED(O为坐标原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1＝S2？请说明理由．

(2019·广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切． (1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；

(2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【课后专项练习】

x2y2

1．(2019·开封模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点

ab为M，△MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．

x2y2

2．(2019·南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为

ab1

F1，F2，离心率为，P是C上的一个动点，且△F1PF2面积的最大值为43.

2

(1)求C的方程；

(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x＝2于M，N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值．

3．(2019·福州市质量检测)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．

(1)求p的值；

(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设―→―→―→

MN＝MA＋MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．

x2y22

4．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A1，ab2在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直5―→―→线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM＝NQ？若存在，求出直线的方程；

3若不存在，说明理由．

x2y2

已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，M为C上的任意一点．

43(1)求|MF|的取值范围；

3

(2)P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为－，证明：M，N

4两点的横坐标之和为常数．