2016届高三数学理科一轮复习学案第8篇曲线与方程

课前预习案

考纲要求

1.理解坐标法研究解析几何问题的基本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程. 2.掌握常用的几种求轨迹方程的方法． 基础知识梳理

1． 曲线与方程

在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上点的坐标都是 ．

(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都 ．那么这个方程叫做 ，这条曲线叫做 ． 2． 求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)． (3)列式——列出动点P所满足的关系式．

(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．

(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 3． 两曲线的交点

(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．

(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题． 4.求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；

(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(4)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，

y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得

要求的轨迹方程；

(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．

预习自测

→→2

1． 已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x－6，则点P的轨迹方程是__________．

2． 已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图

形的面积为________．

3． 方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是

( )

A．两条直线 C．两条线段

B．两条射线

D．一条直线和一条射线

4． 已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一

点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是 A．2x＋y＋1＝0 C．2x－y－1＝0

B．2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0

( )

( )

5． 若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为

A．圆

B．椭圆 D．抛物线

C．双曲线

第五十六课时 曲线与方程（课堂探究案）

典型例题

考点1 直接法求轨迹方程

→→→

【典例1】已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足MN·MP＝6|NP|.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x＋2y－12＝0的距离的最小值．

【变式1】 如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x 轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．

考点2 定义法求轨迹方程

【典例2】已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，

又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

【变式2】如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点

M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线

段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C： (x＋1)＋y＝4a (a>1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E. (1)证明曲线E是椭圆，并写出当a＝2时该椭圆的标准方程； (2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对

31

称点为点Q，若椭圆E的离心率e∈，，求点Q的纵坐标的取值范围．

22

考点3 相关点法求轨迹方程

→→→→

【典例3】设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．

【变式3】已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB2→→

上一点，且AP＝PB，求点P的轨迹C的方程．

2

当堂检测

2

2

2

1． 方程(x＋y－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是

22

( )

2． △ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹

方程是

B.D.

( )

A.－＝1 916

x2x2

y2y2

－＝1 169

－＝1 (x>4) 169

x2x2

y2y2

C.－＝1 (x>3) 916

→→→

3． 平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原

点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是

( )

B．椭圆

C．圆

D．双曲线

A．直线

x2y2

4． 动点P为椭圆2＋2＝1 (a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦

ab点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为 A．椭圆 C．抛物线

第五十六课时 曲线与方程

课后拓展案 A组全员必做题

1． 已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的

两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为 A．x－＝1 (x>1)

8C．x＋＝1 (x>0)

8

22

( )

B．双曲线 D．直线

( )

y2y2

B．x－＝1 (x<－1)

8D．x－＝1 (x>1)

10

2

2

y2

y2

2． 有一动圆P恒过定点F(a,0) (a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点

P的轨迹为

A．椭圆 C．抛物线

( )

B．双曲线 D．圆

3． 点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，

则点M的轨迹是 A．圆

( )

B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

x2y2→→

4． P是椭圆2＋2＝1ab0上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ＝PF1

ab→

＋PF2，则动点Q的轨迹方程是______________．

5． 已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是

______________．

B组提高选做题

x2y2

1． 过椭圆2＋2＝1 (a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹

ab方程是____________．

2． 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M在

AB上，且

AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的

距离的平

方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系

13

xAy中，动点

P的轨迹方程是____________．

→→

3．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，求点P的轨迹方

程．

4．如图，设P是圆x＋y＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|4

＝|PD|. 5

2

2

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

4

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

5

参考答案

预习自测

1．【答案】y＝x

→→

【解析】PB＝(3－x，－y)，PA＝(－2－x，－y)，

→→22222

∴PA·PB＝(3－x)(－2－x)＋y＝x－x－6＋y＝x－6，∴y＝x. 2．【答案】 4π

【解析】设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得∴3x＋3y－12x＝0，即x＋y－4x＝0.

∴P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆．即轨迹所包围的面积等于4π. 3．【答案】D

2x＋3y－1＝0，【解析】原方程可化为

x－3≥0

2

2

2

2

2

x＋

2

＋y＝22

x－

2

＋y，

2

或x－3－1＝0，

即2x＋3y－1＝0 (x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线． 4．【答案】D

【解析】由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 5．【答案】D

【解析】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线.

典型例题

【典例1】 (1)设动点P(x，y)，

→→→

则MP＝(x－4，y)，MN＝(－3,0)，PN＝(1－x，－y)， 由已知得－3(x－4)＝6

2

2

－x2＋－y2，

化简得3x＋4y＝12，即＋＝1.

43∴点P的轨迹是椭圆C：＋＝1.

43

(2)由几何性质意义知，l与平行于l的椭圆C的切线l′的距离等于Q与l的距离的最小值．设l′：x＋2y＋D＝0.将其代入椭圆方程消去x，化简得：16y＋12Dy＋3(D－4)＝0.

∴Δ＝144D－192(D－4)＝0⇒D＝±4，

2

2

2

2

x2y2

x2y2

l′和l的距离的最小值为1245. 85

∴点Q与l的距离的最小值为.

5【变式1】 设点M的坐标为(x，y)， ∵M是线段AB的中点，

∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)． →→

∴PA＝(2x－2，－4)，PB＝(－2,2y－4)． →→

由已知PA·PB＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0， 即x＋2y－5＝0.

∴线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.

【典例2】如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．

由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则 由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1； 由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.

∴|MO2|－|MO1|＝3.∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．

37222

∴a＝，c＝2，∴b＝c－a＝.

24

4x4y3

∴点M的轨迹方程为－＝1 (x≤－)．

972

【变式2】(1)证明 依题意，直线m为线段AM的垂直平分线， ∴|NA|＝|NM|.

∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2，

∴N的轨迹是以C、A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆． 当a＝2时，长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2， ∴b＝a－c＝3.

∴椭圆的标准方程为＋＝1. 43

2

2

2

2

2

x2y2

x2y2

(2)解 设椭圆的标准方程为2＋2＝1 (a>b>0)．

ab由(1)知：a－b＝1.又C(－1,0)，B(0，b)， ∴直线l的方程为＋＝1.即bx－y＋b＝0.

－1b2

2

xy设Q(x，y)，因为点Q与点A(1,0)关于直线l对称，

yx－1·b＝－1，∴x＋1yb·2－2＋b＝0.

消去x得y＝4b. b＋1

2

1231134231

∵离心率e∈，，∴≤e≤，即≤2≤.∴≤a≤4.

444a4322432

∴≤b＋1≤4，即≤b≤3， 33∵y＝

4b4

＝≤2，当且仅当b＝1时取等号． b＋11

b＋

2b又当b＝3时，y＝3；当b＝

3

时，y＝3，∴3≤y≤2. 3

∴点Q的纵坐标的取值范围是[3，2]． 【典例3】设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，

→→→→

∵PM⊥PF，PM＝(x0，－y0)，PF＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y0＝0.

x－x0＝－2x0→→

由MN＝2MP得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴

y＝2y0

2

x0＝－x

，即1

y0＝y2

.

∴－x＋＝0，即y＝4x.

4

故所求的点N的轨迹方程是y＝4x.

2→→→→

【变式3】设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，AP＝PB，又AP＝(x－x0，y)，PB＝(－x，

2

2

y2

2

y0－y)，

所以x－x0＝－

222

x，y＝(y0－y)，得x0＝1＋x，y0＝(1＋2)y. 222

2

2

2

因为|AB|＝1＋2，即x0＋y0＝(1＋2)，所以1＋化简得＋y＝1.∴点P的轨迹方程为＋y＝1.

22当堂检测

1． 【答案】 C



2222

x＋[(1＋2)y]＝(1＋2)， 2

x2

2

x2

2

x＋y－4＝0，

【解析】 由题意可得x＋y＋1＝0或

x＋y＋1≥0，

22

它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2

＋y－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分． 2．【答案】 C

【解析】如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲 线的右支，方程为－＝1 (x>3)．

9163． 【答案】 A

→→→

【解析】 设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，

x＝3λ1－λ→→→

∵OC＝λ1OA＋λ2OB，∴

y＝λ1＋3λ

2

2

x2y2

2

，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直

线．

4． 【答案】 D

【解析】 如图所示，设三个切点分别为M、N、Q.

∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝

2a，

∴|F2N|＝a－c，∴N点是椭圆的右顶点， ∴CN⊥x轴，∴圆心C的轨迹为直线．

A组全员必做题

1．【答案】 A

【解析】 设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，

|NF|＝|NB|.

从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以P的 轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a＝1，c＝3， ∴b＝8.故方程为x－＝1 (x>1)． 82．【答案】 B

【解析】 设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形， ∴P到y轴的距离d＝

33

R，即|x|＝R. 22

2

2

y2

而R＝|PF|＝x－a2

2

2

＋y，∴|x|＝2

2

3·2

2

x－a2

＋y.

2

x＋3a整理得：(x＋3a)－3y＝12a，即2

12a∴点P的轨迹为双曲线． 3．【答案】 A

【解析】 如图，延长F2M交F1P延长线于N.

∵|PF2|＝|PN|，∴|F1N|＝2a.

连接OM，则在△NF1F2中，OM为中位线， 1

则|OM|＝|F1N|＝a.∴M的轨迹是圆．

2

y2

－2＝1. 4ax2y2

4． 【答案】 2＋2＝1

4a4b→→→→→→→→

【解析】 由OQ＝PF1＋PF2，又PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP，

y1→1→x设Q(x，y)，则OP＝－OQ＝－(x，y)＝－，－，

2222

即P点坐标为－，－，又P在椭圆上，

22

－x2－y2

22

a2

＋xy则有

b2

2

x2y2

＝1，即2＋2＝1.

4a4b5．【答案】 x＋y＝4 (x≠±2)

【解析】 设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，

∴|MP|＋|NP|＝|MN|，

∴(x＋2)＋y＋(x－2)＋y＝16，整理得，x＋y＝4. ∵M，N，P不共线，∴x≠±2， ∴轨迹方程为x＋y＝4 (x≠±2)． B组提高选做题

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x24y2

1． 【答案】 2＋2＝1

ab【解析】 设MN的中点P(x，y)，则点M(x,2y)在椭圆上，

x2∴2＋ayb2

2

x24y2

＝1，即2＋2＝1.

ab212

2．【答案】 y＝x－

39

【解析】 过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH、

PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，

2112222

得x＋1－x－＋y＝1，化简得y＝x－.

393→→

3．解 ∵RA＝AP，∴R，A，P三点共线，且A为RP的中点，

1－x1＝x－1→→

设P(x，y)，R(x1，y1)，则由RA＝AP，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，则

－y1＝y

，

即x1＝2－x，y1＝－y，将其代入直线y＝2x－4中，得y＝2x， ∴点P的轨迹方程为y＝2x.

4．解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，

xP＝x，

由已知得5

yP＝y，4

2

∵P在圆上，

52xy∴x＋(y)＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.

4251644

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

55设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 4

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得

5

22

x2

25

＋x－

25

2

＝1，即x－3x－8＝0.

2

3－413＋41∴x1＝，x2＝.

22∴线段AB的长度为|AB|＝＝ ＋k2x1－x2

2

＋y1－y2

2

x1－x2

2＝4141×41＝. 255