§1.3.1函数的单调性与导数

§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）

一．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 2．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图，导数f'(x0)表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．

在xx0处，f'(x0)0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；

在xx1处，f'(x0)0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，

如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增； 如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减．

说明：（1）特别的，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常函数． 3．求解函数yf(x)单调区间的步骤： （1）确定函数yf(x)的定义域； （2）求导数y'f'(x)；

（3）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析

例1．已知导函数f'(x)的下列信息：

当1x4时，f'(x)0；

当x4，或x1时，f'(x)0； 当x4，或x1时，f'(x)0 试画出函数yf(x)图像的大致形状．

例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）f(x)x33x； （2）f(x)x22x3

（3）f(x)sinxxx(0,)； （4）f(x)2x33x224x1

例4．求证：函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数．

说明：证明可导函数fx在a,b内的单调性步骤：

（1）求导函数f'x；

（2）判断f'x在a,b内的符号；

（3）做出结论：f'x0为增函数，f'x0为减函数．

2例5．已知函数 f(x)4xax2x3(xR)在区间1,1上是增函数，

3求实数a的取值范围．

说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与

函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f'(x)0；若函数单调递减，则

f'(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

例6．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.

1x

四．课堂练习

1．求下列函数的单调区间

1.f(x)=2x3－6x2+7

3. f(x)=sinx , x[0,2]

2．课本 练习 五．回顾总结

（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数yf(x)单调区间

（3）证明可导函数fx在a,b内的单调性

2.f(x)=1x+2x 4. y=xlnx