一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（ ） A．{0，1} B．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数
C．[﹣1，1]
D．{1}
（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则
实数a的取值范围是（ ） A．
B．
C．（﹣∞，﹣2） D．
3．（5分）设x，y满足约束条件A．﹣5 B．3 4．（5分）已知
C．﹣5或3 D．5或﹣3
且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）
的最大值为A，若存在实数x1，x2使得
对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
5．（5分）设f（x）=A．
+ B．
+3
C．
+ D．
，则+3
f（x）dx的值为（ ）
6．（5分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则A．
B．
C．
D．4
的最小值为（ ）
7．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（ ）
1页
A．（4，10] B．（2，+∞） C．（2，4] D．（4，+∞） 8．（5分）若项是（ ）
A．﹣270 B．270 C．﹣90
D．90
，则
的值为（ ）
的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，则该展开式中的常数
9．（5分）若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足A．2
B．
C．
D．﹣2
10．（5分）已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P为C上一动点，A（4，0），B（p，A．4
p），且|PA|的最小值为B． C．5
D．
，则|BF|等于（ ）
11．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．4 12．（5分）已知函数
满足条件：对于∀x1∈R，且x1≠0，∃唯一的x2∈R
2页
且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（ ） A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数14．（5分）设
15．（5分）已知平面向量
，则
= ．
的夹角为 120°，且
的最大值为 ．
，则a1+a2+a3+a4+a5= ．
．若平面向量
满足
B．
C．
+3
D．
+3
16．（5分）设数列{an}（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且an+2﹣2an+1+an=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
（Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）若f（x）=
sin•cos+cos2，求f（B）的取值范围．
= ．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．
．
19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价
3页
体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次．
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全为好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X的数学期望和方程． P（K2≥k） k （K2=
20．（12分）已知椭圆C1：（1）求椭圆C1的方程；
（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求a的取值范围；
（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系] 22．（10分）在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程；
（φ为参数），以O为极
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ，其中n=a+b+c+d） +
=1（a＞b＞0）的离心率为
，P（﹣2，1）是C1上一点．
（2）若直线（t为参数）与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
4页
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；
（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．
5页
2017年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5分）（2017•天心区校级一模）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．[﹣1，1]
D．{1}
【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B．
【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={0，1}． 故选A．
【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
2．（5分）（2017•武昌区模拟）已知复数
（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应
的点在第三象限，则实数a的取值范围是（ ） A．
B．
C．（﹣∞，﹣2） D．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【解答】解：复数
=
=
+
i的共轭复数
﹣
i的共在复平
面内对应的点在第三象限， ∴解得a
＜0，﹣
＜0，
，且a＞﹣2，
．
则实数a的取值范围是故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6页
3．（5分）（2014•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件（ ） A．﹣5 B．3
C．﹣5或3 D．5或﹣3
，解得
且z=x+ay的最小值为7，则a=
【分析】如图所示，当a≥1时，由时取得最小值为7，同理对a＜1得出． 【解答】解：如图所示， 当a≥1时，由解得∴
，y=
． ．
，
．当直线z=x+ay经过A点
当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7， ∴
，化为a2+2a﹣15=0，
解得a=3，a=﹣5舍去． 当a＜1时，不符合条件． 故选：B．
【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．
4．（5分）（2017•江西二模）已知
的最大值为A，若存
在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性
7页
和最值，即可求出 A|x1﹣x2|的最小值． 【解答】解：=sin2017xcos==
+cos2017xsin
+cos2017xcos
+sin2017xsin
sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x+cos2017x
），
sin2017x
=2sin（2017x+
∴f（x） 的最大值为A=2； 由题意得，|x1﹣x2|的最小值为=∴A|x1﹣x2|的最小值为故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题，是基础题目．
5．（5分）（2017•江西二模）设f（x）=A．
+ B．
+3
C．
+ D．
+3
+
，然后根据定积
，则
f（x）dx的值为（ ）
．
，
【分析】根据定积分性质可得分可得．
【解答】解：根据定积分性质可得根据定积分的几何意义，
=
∴=
f（x）dx=+，
， +（
）
f（x）dx=
f（x）dx=+，
是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，
，
故答案选：A．
【点评】本题求一个分段函数的定积分之值，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．
8页
6．（5分）（2017•福建模拟）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则小值为（ ） A．
B．
C．
D．4
的最
【分析】由题意可得：3a+2b+0•c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈（0，1）），再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得：3a+2b+0•c=2，即3a+2b=2．a，b，c∈（0，1））， ∴
=
=
=
，当且仅当a=2b=时
取等号． 故选：C．
【点评】本题考查了数学期望计算公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）（2016•株洲一模）在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（ ）
A．（4，10] B．（2，+∞） C．（2，4] D．（4，+∞）
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：设输入x=a，
9页
第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件； 故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82， 解得：a∈（4，10]， 故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
8．（5分）（2017•武昌区模拟）若则该展开式中的常数项是（ ） A．﹣270 B．270 C．﹣90 【分析】
D．90
为展开式中所有项的通项公式即可得出．
为展开式中所
的展开式中所有项系数的绝对值之和为1024，
的展开式中所有项系数的绝对值之和等于
系数的绝对值之和，令x=1可得：4n=1024，解得n=5．利用【解答】解：
的展开式中所有项系数的绝对值之和等于
有项系数的绝对值之和，
令x=1可得：4n=1024，解得n=5． ∴令
的通项公式为：Tr+1==0，解得r=3．
=﹣90．
=（﹣1）r
35﹣r
，
∴该展开式中的常数项是故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5分）（2017•天心区校级一模）若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足则A．2
的值为（ ） B．
C．
D．﹣2
，
【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．
10页
【解答】解：如图所示， A（，0），B（0，∴∴∴∴∴
==
+﹣=（，
），
），C（﹣，0）， =（3，0），
）+（3，0）=（2，
），
=（，=（，=（﹣1，
）， ），
=﹣=2，
=（﹣，），
=﹣1×（﹣）+×
故选：A．
【点评】本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算、等边三角形的性质，属于中档题．
10．（5分）（2017•天心区校级一模）已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P为C上一动点，A（4，0），B（p，A．4
B． C．5
D．
p），且|PA|的最小值为，则|BF|等于（ ）
【分析】利用|PA|的最小值为论．
，求出p，可得B的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结
【解答】解：设P（x，y），则|PA|=∴x=4﹣p时，|PA|的最小值为∵0＜p＜4，∴p=3， ∴B（3，3
），
=
，
=，
∴|BF|=3+=， 故选B．
11页
【点评】本题考查抛物线的定义与方程，考查配方法的运用，正确求出p是解题的关键．
11．（5分）（2017•河北二模）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD． 【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD． 连接BD．
其体积V=VB﹣PAD+VB﹣PCD ==． 故选：B．
【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）（2017•福建模拟）已知函数
满足条件：对于∀x1∈R，且x1≠0，
∃唯一的x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（ ） A．
B． C．+3 D．+3
12页
【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．
【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）． ∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调， 则b=3，且a＜0，
由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9）， 即2a2+3=即a=﹣则a+b=﹣故选：D
【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据条件得到a，b的关系是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）（2017•武昌区模拟）函数
【分析】先化简函数，再配方，即可得出结论． 【解答】解：∵﹣1≤sinx≤1， ∴sinx=﹣1时，函数故答案为4．
【点评】本题考查函数用，属于中档题．
14．（5分）（2017•天心区校级一模）设则a1+a2+a3+a4+a5= ﹣1 ．
【分析】令x=0，可得：1=a0．令x=，则【解答】解：令x=0，可得：1=a0． 令x=，则
=
+
+…+
=a0+a1+a2+a3+a4+a5，
=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即可得出．
，
的最大值，考查诱导公式，考查配方法的运的最大值为4，
=cos2x﹣5sinx=1﹣2sin2x﹣5sinx=﹣2（sinx+）2﹣
，
的最大值为 4 ．
+3=3+3， ， +3，
∴a1+a2+a3+a4+a5=﹣a0=﹣1．
13页
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）（2017•武昌区模拟）已知平面向量面向量 满足
，则
=
．
的夹角为 120°，且
．若平
【分析】由已知画出图形，然后利用坐标法求解． 【解答】解：如图，
设，
），
则A（1，0），B（﹣1，再设由
， ，得 ，解得
∴||=故答案为：
．
． ．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，建系起到事半功倍的效果，是中档题．
16．（5分）（2017•天心区校级一模）设数列{an}（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且an+2﹣2an+1+an=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则
= 2016 ．
【分析】构造bn=an+1﹣an，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2，利用等差数列的通项公式可得bn=an+1﹣an=2n+2，再利用“累加求和”方法可得an=n（n+1），可得
=，再利用取整数函数即可得出．
14页
【解答】解：构造bn=an+1﹣an，则b1=a2﹣a1=4， 由题意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2， 故数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列， 故bn=an+1﹣an=4+2（n﹣1）=2n+2，
故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，an﹣an﹣1=2n， 以上n﹣1个式子相加可得an﹣a1=4+6+…+2n=∴∴∴则
故答案为：2016．
【点评】本题考查了构造方法、等差数列的通项公式可、“累加求和”方法、“裂项求和”方法、取整数函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）（2016•焦作一模）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC （Ⅰ）求∠A的大小； （Ⅱ）若f（x）=
sin•cos+cos2，求f（B）的取值范围．
=
， +
=…+
=2017﹣
=
+…+（
，解得an=n（n+1），
）=1﹣，
=2016．
【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA． （II）f（x）=＜
sinx+
=
+，在锐角△ABC中，
＜B
，可得
＜B+
，即可得出．
【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc． 由余弦定理可得：cosA=∵A∈（0，π），∴A=
．
=
=，
15页
（II）f（x）=在锐角△ABC中，∴
∈
＜B
，
，∴
=sinx+＜B+
＜
=，
+，
∴f（B）的取值范围是．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2017•天心区校级一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=
．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）设PM=tMC，若二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°，试确定t的值．
【分析】（1）由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，可得四边形BCDQ为平行四边形，得到CD∥BQ．结合∠ADC=90°，得QB⊥AD．然后利用面面垂直的性质得BQ⊥平面PAD．再由线面垂直的判定得平面PQB⊥平面PAD；
（2）由PA=PD，Q为AD的中点，得PQ⊥AD．结合（1）可得PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系．然后求出平面BQC的一个法向量，再由PM=tMC把平面MBQ的一个法向量用含有t的代数式表示，结合二面角M﹣BQ﹣C的平面角的大小为30°求得t的值． 【解答】（1）求证：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点， ∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴BQ⊥平面PAD．
16页
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD； （2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则面BQC的法向量为Q（0，0，0），P（0，0，设M（x，y，z），则
； ），B（0，
，
，0），C（﹣1，
）． ，
∵PM=tMC，∴，则，
即
在平面MBQ中，设平面MBQ的一个法向量
，
，
，由
，
，
，取z=t，得x=
∴平面MBQ法向量为
∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴解得t=3．
．
．
，
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空
17页
间向量求解二面角的平面角，是中档题．
19．（12分）（2017•天心区校级一模）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次．
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视作概率，某人在该购物平台上进行5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全为好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X的数学期望和方程． P（K2≥k） k （K2=
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ，其中n=a+b+c+d）
【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出正确的结论； （2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．
【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：
对服务好评 对服务不满意 合计 80 70 150 40 10 50 120 80 200 ，
对商品好评 对商品不满意 合计 计算观测值K2=
对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分） （2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5； 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 18页
P C5（）（） C5（）（） C5（）（） （） 2233324415由于X～B（5，），
则EX=5×=2，DX=5××（1﹣）=（12分）
【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．
20．（12分）（2017•河北二模）已知椭圆C1：1）是C1上一点． （1）求椭圆C1的方程；
（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程； （2）设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．
【解答】解：（1）由题意可得e==将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得解得a=2
，b=
，c=+
， =1；
+
，且a2﹣b2=c2， =1，
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，P（﹣2，
即有椭圆方程为
（2）证明：A，B，Q是P（﹣2，1）分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点， 可设A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1）， 直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t， 代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0， 设C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1）， 即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，
19页
x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4， 设直线PD，PE的斜率为k1，k2， 则k1+k2=
+
=
，
要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形， 只需证k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0， 由y1=x1+t，y2=x2+t，
可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4 =x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4 =﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，
则直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017•天心区校级一模）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点 （1）求a的取值范围；
（2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1•x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值范围．
【分析】（1）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；
（2）原式等价于 ＞，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜
，t∈（0，1），
在
t∈（0，1）上恒成立．令h（t）=lnt﹣根据函数的单调性求出即可．
【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根； 转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，
20页
如图示：
，
可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k． 令切点A（x0，lnx0）， 故k=y′|x=x0=
，又k=
，
故 =
，解得，x0=e，
故k=，故0＜a＜；
（2）因为e1+λ＜x1•x2λ等价于1+λ＜lnx1+λlnx2． 由（1）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根， 即lnx1=ax1，lnx2=ax2
所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2， 所以原式等价于a＞
，
=a（x1﹣x2），
又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，ln
所以原式等价于 ＞，
因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即ln
＜恒成立．
令t=，t∈（0，1），
在t∈（0，1）上恒成立． ，t∈（0，1），
则不等式lnt＜令h（t）=lnt﹣
21页
又h′（t）=，
当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，
所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．
当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0， 所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0， 所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，是一道综合题．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系] 22．（10分）（2017•天心区校级一模）在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程；
（2）若直线（t为参数）与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
【分析】（1）求出圆C的普通方程，可得圆C的极坐标方程；
（2）求出直线l的普通方程，利用勾股定理，建立方程，即可求出m的值． 【解答】解：（1）圆C的参数方程为极坐标方程为ρ=4cosθ；
（φ为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，
（2）直线（t为参数），消去参数可得y﹣x+m=0，
圆心C到直线的距离d=|AB|=2
=
， ，∴m=0或4．
【点评】本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．
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[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•天心区校级一模）已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；
（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可； （Ⅱ）法一：求出f（x）的分段函数的形式，令y=x﹣a，通过讨论求出a的范围即可； 法二：设g（x）=f（x）﹣x，问题转化为﹣a≥g（x）max，求出g（x）的最大值，得到a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2， 当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，所以x∈∅；
当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，所以﹣≤x＜1； 当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，所以1≤x≤6； 综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为M={x|﹣≤x≤6}；
（Ⅱ）f（x）=，
令y=x﹣a，当直线经过点（1，3）时，﹣a=2， 所以当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；
当﹣a＜2即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+， 所以a≥2+，即a≥4， 综上，a≤﹣2或a≥4． 解法二：（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x=，
因为对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立， 所以﹣a≥g（x）max，
①当a＞1时，g（x）max=g（a）=﹣2a+4， 所以﹣a≥﹣2a+4，所以a≥4，符合a＞1．
23页
②当a≤1时，g（x）max=g（1）=2， 所以﹣a≥2，所以a≤﹣2，符合a≤1，
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
【点评】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．
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