华师大 05年 高等代数

华东师范大学

2005年功读硕士研究生入学考试试题

考试科目：高等代数

一填空，选择，是非题（共15小题，满分60分，每小题4分）

1. 设3阶方阵A的特征值为2，3，5，则2AE________ 2. 如果是fx的2重根，则一定是多项式fx的5重根。

3. 设向量组1,2,...,ss2线性相关，且其中任意s-1个向量线性无关，则存在全不为零的数k1,k2,...,ks，使得k11k22...kss0

4. 设W1与W2分别是数域K上8元齐次线性方程组AX=0与BX=0的解空间，如果

8WWK12rankA=3，rankB=2,那么dimW1W2__________

5. 实反对称矩阵的非零特征值必为：

（A）正实数（B）负实数（C）1或0（D）纯虚数

6. 若三次实系数多项式fx恰有一个实根，为fx的判别式，则

A。>0 B。=0 C。<0 D。R

7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有________个

8. 设A是行列式等于-1的正交变换，则________一定是A的特征值。

9. 排列j1j2...jn1jn与排列jnjn1...j2j1具有相同的奇偶性的充要条件是n=____(mod4) 10. 设r0是数域K上非齐次线性方程组AX=B的特解，1,2,...,s是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是：

A． r0,r01,r02,...,r0s是AX=B的一组线性无关解向量 B． AX=B的每个解均可表为r0,1,22,...,ss的线性组合。 C． 2r01...s是AX=B的解。

D． AX=B的每个解均可表为0,01,02,0s的线性组合。

11. 以下各向量组中线性无关的向量组为：

A. (2,3,4,1),(5,2,7,1),(1,3,5,5);

B. (1,2,0,2),(1,1,1),(3,2,1),(4,78,16);

C. (2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);

D. (1,2,3,1),(3,6,9,3),(3,0,7,7).

12. 由标准欧几里得空间R中的向量组1(1,0,1,1)，2(1,1,1,0),3(2,0,1,1)张

4成子空间W的一组规范正交基为_____

13.

(W) W 设V是n维欧几里得空间，W是V的子空间，则

A.  B.  C.  D. 

14.

11A002121110121011的逆矩阵A________

15. 设A是有限维线性空间V上的线性变换，如果VKerAImA，则 KerAImA{0}

二计算题

16. （12分）求实二次型

f(x1,x2,,xn)2xi22(x1x3x2x3i1nxn1xnxnx1)的正惯性

指数，负惯性指数，符号差以及秩

17. （18分）讨论b1,b2,,bn(n2)满足什么条件时下列方程有解，并求解

x1x2b1xxb232xxbn1n1nxnx1bn

987f(x)xxx（12分）试在有理数域，实数域以及复数域上将

18. x1分解

为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简述理由。

19.

22g()(22)(1)是六阶方阵A的极小多项式，且Tr(A)6，（18分）已知

试求（1）A的特征多项式f()及若尔当典范型。（2）A的伴随矩阵A的若尔当典范型。

*

三证明题

20. （10分）设

f()na1n1an1an是实对称矩阵A的特征多项式，证明：

A是负定矩阵的充要条件是a1,a2,,an1,an均大于0。

21. (10分)证明：如果n阶行列式Dn中多有元素都为1或-1，则当n3时，

Dn(n1)(n1)!。

22. （10分）证明：每个秩为r的n阶rn实对称矩阵均可表为n-r个秩为n-1的实对称矩阵的乘积。