高中数学重要结论集锦

1.函数yf(x)的图象的对称性:

①函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)

ab对称f(ax)f(bx)f(abx)f(x). 2③函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称f(x)f(2ax)

②函数yf(x)的图象关于直x函数yf(x)的图象关于点(a,b)对称f(x)2bf(2ax)

2.两个函数图象的对称性:

①函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

ab对称. 2m特殊地: yf(xa)与函数yf(ax)的图象关于直线xa对称 ③函数yf(x)的图象关于直线xa对称的解析式为yf(2ax) ④函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称的解析式为yf(2ax)

②函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x 3. 分数指数幂 amnnam（a0,m,nN，且n1）.

amn1amn（a0,m,nN，且n1）

4. 对数的换底公式 logaN对数恒等式alogaNlogmNnn.推论 logamblogab.

logmamN（a0,a1）

S3kS2kkN*， 5. 若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，那么Sk，S2kSk，

成等差数列。如下图所示：

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k SkS2kSkS3kS2kn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)n 2222' 5. 若等差数列an的前2n1项的和为S2n1，等差数列bn的前2n1项的和为S2 n1，

a1naSn1n1*aaaqq(nN)； 则n2。等比数列的通项公式nn1'bnS2qn1等比数列an的变通项公式anamqnm

其前n项和公式 sna1(1qn)a1anq,q1,q1其前n项的和公式sn1q或sn1q

na,q1na,q111 6． 同角三角函数的基本关系式 sincos1，tan=

22sin，tancot1 cos. 1tan21

cos2nn(1)2sin,n为偶数sin() n12(1)2cos,n为奇数7. 正弦、余弦的诱导公式

nn(1)2cos,n为偶数) cos( n12(1)2sin,n为奇数cos()cos,sin()sin即:奇变偶不变,符号看象限,如 22sin()sin,cos()cos8. 和角与差角公式

sin()sincoscossin; cos()coscosmsinsin;

tantantan().

1mtantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式); cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan ).

a9. 二倍角公式 sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.（升幂公式）

1cos21cos2（降幂公式） cos2,sin2221tan22tan2tancos210.万能公式:sin2, . tan21tan21tan21tan2sin1cos11.半角公式:tan 21cossin12. 三函数的周期公式

函数yAsin(x)，x∈R及函数yAcos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T2；若ω未说明大于0,则T2 ||函数ytan(x)，xk213. ysinx的单调递增区间为2k,2kkZ单调递减区间为

2232k,2kkZxk(kZ),对称中心为k,0(kZ) ，对称轴为222,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T. 14. ycosx的单调递增区间为

2k,2kkZ单调递减区间为

k,02k,2kkZ，对称轴为xk(kZ),对称中心为(kZ)

215. ytanx的单调递增区间为k16. 正弦定理

2,kkkZ，对称中心为(,0)(kZ) 22abc2R sinAsinBsinC11117．面积定理（1）Sahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222uuuruuuruuuruuur2uuuruuur21uuuruuur1(3)SOAB(|OA||OB|)(OAOB)=OAgOBtan(为OA,OB的夹角)

22

18.三角形内角和定理 在△ABC中，有

ABCC(AB)19.平面两点间的距离公式

CAB2C22(AB). 222uuuruuuruuurdA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

20.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 a∥bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.

21．线段的定比分公式 设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,是实数，

uuuruuur且PP1PP2，则

uuuruuuruuur22．若OAxOByOB则A,B,C共线的充要条件是 x+y=1。

x1x2uuuruuurxuuuruuuruuuruuurOP111OP2OP（）. tOPtOP(1t)OP12yy112y1123．直线方程的五种形式:

（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式 （4）截距式

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

y2y1x2x1xy1(a,b分别为x轴y轴上的截距,且a0,b0) ab（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).

24．两条直线的平行和垂直 （1）若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1Pl2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21. (2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,

①l1Pl2A1B2A2B10且AC；②l1l2A1A2B1B20； 12A2C1025.夹角公式 tan|k2k1|.(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

1k2k1tanA1B2A2B1(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

A1A2B1B2直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是直线l1到l2的角是tan26．点到直线的距离 d. 2k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

1k2k1|Ax0By0C|AB22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

27．两条平行线的间距离

d|C2C1|AB22(直线l1：AxByC10,l2AxByC20,C1C2)).

28.圆中有关重要结论:

2222(1)若P(x0,y0)是圆xyr上的点,则过点P(x0,y0)的切线方程为xx0yy0r

(2)若P(x0,y0)是圆(xa)(yb)r上的点,则过点P(x0,y0)的切线方程为

222(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

(3) 若P(x0,y0)是圆xyr外一点,由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B

2则直线AB的方程为xx0yy0r

222(4) 若P(x0,y0)是圆(xa)(yb)r外一点, 由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点

2分别为A,B则直线AB的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

222xacosx2y229.椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsin

x2y2a2a2)，PF2e(x). 30．椭圆221(ab0)焦半径公式 PF1e(xabccx2y2a2x2y231．椭圆221(ab0)的准线方程为x,椭圆221(ab0)的准线

abcbaa2方程为y

cx2y22b232.椭圆221(ab0)的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为

abax2y2是椭圆221(ab0)上一点,F1,F2 是它的两个焦点,∠F1P F2=θ

ab则△P F1 F2的面积=btan22

x2y2a234.双曲线221(a0,b0)的准线方程为x

abcx2y2a2双曲线221(a0,b0)的准线方程为y

bacx2y2b35. 双曲线221(a0,b0)的渐近线方程为yx

abax2y2a双曲线221(a0,b0)的的渐近线方程为yx

babx2y2是双曲线221(a0,b0)上一点,F1,F2 是它的两个焦点,∠F1P F2=θ

ab则△P F1 F2的面积=bcot22

2y2237.抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt,2pt)或 P(xo,yo)，其中

2p2yo2pxo.

38. P(x0,y0)是抛物线y2px上的一点,F是它的焦点,则|PF|=x0+39. 抛物线y2px的焦点弦长l22p 22p,其中是焦点弦与x轴的夹角 2sin40.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB|x1x2|1k22ykxbV由方程 消1k2（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，

aF(x,y)0ykxb2 消去x得到aybyc0，0,kF(x,y)01V11 22kak

去y得到axbxc0，0,k为直线的斜率）. 若（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)由方程为直线的斜率）.则AB|y1y2|141.圆锥曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.

uuururrABmurur(m为平面的法向量). 42.直线AB与平面所成角arcsinuuu|AB||m|urrurrurrmnmnrr或arccosurr（m，n为平面， 43．二面角l的平面角arccosu|m||n||m||n|的法向量）.

uuuruurr|CDn|r44异面直线间的距离 d(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2|n|上任一点，d为l1,l2间的距离).

uuuruur|ABn|rr45.点B到平面的距离 d（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，|n|A）. 222222246. ll1l2l3cos1cos2cos31

（长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为

1、2、3）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.

S'47. 面积射影定理 S

cos

48。球的半径是R，则其体积是V49.V锥43R,其表面积是S4R2． 31Sh,V柱Sh, 3