宁波镇海中学2012学年高一创新班入学数学试卷

宁波镇海中学2012学年高一创新班入学数学试卷

注意：(1) 试卷共有三大题35小题，满分200分，考试时间150分钟.

(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.

一、 选择题（本题有11小题，每小题3分，共33分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.

1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( )

(A) 直线y = –x上 (B) 抛物线 y =x2上 (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是 ( )

(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a＜0，则a,a,3a, (C)

3113一定是 ( ) (A) 最小，a最大 , (B)

aa33a最小，a最大

11最小，a最大 , (D) 最小， aaa最大

4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）

(A) AE⊥AF （B）EF：AF =2：1

(C) AF2 = FH·FE （D）FB ：FC = HB ：EC

5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44

6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）

（A）30 （B）35 （C）56 （D） 448

317、下列图中阴影部分面积与算式21的结果相同的是【 】

42

8、下列命题中正确的个数有…【 】

① 实数不是有理数就是无理数；② a＜a＋a；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内， 非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4

9、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按

半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么…【 】

文案大全

2实用标准文档

A、甲比乙更优惠 B、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同 D、与原标价有关 10、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右

滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为【 】

A、2π B、π C、23 D、4

11、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，

则mn 等于…【 】

A、36 B、37 C、38 D、39

二、填空题（本题有14个小题，每小题4分，共56分）

12．若4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则tanA = ___ ___ . 13．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.

14. 如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别 为

4、2，则通过

A,B,C

三点的拋物线对应的函数关系式

是 .

15．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小球半径5cm, 则

这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.

16.物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐是 .

17．设C1,C2,C3,… … 为一群圆, 其作法如下：C1是半径为a的圆, 在C1的圆内作四个相等的圆C2(如图), 每个圆C2和圆C1都内切, 且相邻的两个圆C2均外切, 再在每一个圆C2中, 用同样的方法作四个相等的圆C3, 依此类推作出

单 位

C4,C5,C6,…… , 则

(1) 圆C2的半径长等于 (2) 圆Ck的半径为 (用a表示)；

( k为正整数，用a表示，不必证明)

18、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。

19、若化简1xx28x16的结果为2x5，则x的取值范围是 。 20、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。

文案大全

甲 乙 丙 笔试 90 88 90 实践能力 83 90 88 成长记录 95 95 90 实用标准文档

21、已知点A是一次函数yx的图像与反比例函数y2的图像在第一象限内的交点，点B在x 轴的x负半轴上，且OAOB（O为坐标原点），则AOB的面积为 。

22、如果多项式xpx12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值是 。

23、如右图所示，P是边长为1的正三角形ABC的BC边上一点，从P向AB作垂线PQ，Q为垂足。延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0x1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是 。

224、已知x1，x2为方程x4x20的两实根，

3则x114x255 。

225、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。

三、解答题（本题有10个小题，共111分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

26.（本小题满分10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的

直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB. (1) 求证AD = AE；

(2) 若OC=AB = 4，求△BCE的面积.

27.（本题满分10分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M， (1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；

(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.

28 （本小题满分12分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：

胜一场 积分 奖励（元/每人） 3 1500 平一场 1 700 负一场 0 0 当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分。 (1) 试判断A队胜、平、负各几场?

文案大全

实用标准文档

(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.

29.（本小题满分16分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =这两个顶点中的一个.

（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2＋bx＋c的顶点是P点. ① 若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；

② 过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直 线y =

30、（10分）在ABC中，ABAC，A45。AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E两点，连结CD，如果AD1，求：tanBCD的值。

31、（11分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。

甲 乙 ⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？

7 5 价格（万元／台） ⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于

每台日产量（个） 100 60 380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

32、（10分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF2，BF1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。

文案大全

3x－1经过23x－1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由. 2实用标准文档

33、（10分）如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，ADCB,对角线AC与BD交于O,ACD60, 点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。 求证：△PQS是等边三角形。

34、（10分）如右图，直线OB是一次函数y2x的图像，点A的坐标是（0，2），点C在直线OB 上且△ACO为等腰三角形，求C点坐标。

35、（12分）已知关于x的方程(m1)x3(3m1)x180有两个正整数根（m 是整数）。

2222△ABC的三边a、b、c满足c23，mam8a0，mbm8b0。

22求：⑴ m的值；⑵ △ABC的面积。

文案大全

实用标准文档

2012年高一实验班选拔考试数学卷评分标准

一、 选择题（本题有11小题，每小题3分，共33分）

1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7、B， 8、B， 9、B， 10、C， 11、B 二、填空题（本题有14个小题，每小题4分，共56分） 12．

451201. 13．2. 14． y = –x2 –x +. 15．20. 16．( –,–2).

12232317．(1) 圆C2的半径 (21)a； (2)圆Ck的半径 (2 –1 )n – 1 a . 18、2 19、1x4 20、甲、乙 21、2 22、7,8,13 23、三、解答题

26.（本小题满分10分）

（1）证1.∵AD是圆O的直径，点C在圆O上， ∴∠ACD = 90，即AC⊥DE. 又∵OC∥AE，O为AD中点，

∴AD = AE. 4分

3(3x24x2) 24、7 25、20 8证2 ∵O为AD中点，OC∥AE，

∴2OC = AE，

又∵AD是圆O的直径，

∴ 2OC = AD，

∴AD = AE. 4分 （2）由条件得ABCO是平行四边形，

∴BC∥AD，

又C为中点，∴AB =BE = 4， ∵AD = AE，

∴BC = BE = 4， 4分 连接BD，∵点B在圆O上， ∴∠DBE= 90， ∴CE = BC= 4， 即BE = BC = CE= 4，

∴ 所求面积为43. 4分

文案大全

实用标准文档

27.（本题满分10分）

解：(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,

∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设A (x1, 0 ), B( x2, 0),

则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2, ∴|AB| = 2(p1)21. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .

当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM =

28 （本小题满分12分）

解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场， 得xyz12y193x，可得： 4分

3xy19z2x71|AB||b|取最小值1 . 5分 2依题意，知x≥0,y≥0,z≥0,且x、y、z均为整数，

193x0197∴2x70 解得：≤x≤ ，∴ x可取4、5、6 4分

32x0∴ A队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1； 当x=5时，y= 4,z = 3 ；

当x=6时，y=1,z= 5. 4分 （2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300

当x = 4时，W最大，W最大值= – 60×4+19300=16900（元） 答略. 4分

29（本小题满分16分）

解：(1)如图，建立平面直有坐标系， ∵矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，

设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m＋3 0)；C(m＋3 2), D(m 2); 若C点过y =

33x－1；则2=(m＋3)－1, 223x－1； 2

m = －1与m＞0不合； ∴C点不过y=

文案大全

实用标准文档

33若点D过y=x－1，则2=m－1, m=2,

22∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)； 5分 （2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)， 由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，

04a2bcb7a∴ ∴ 2分

025a5bcc10a∴y = ax2－7ax＋10a

( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a ) ∴y = a(x－

729)－a； 2479, －a) 2分 24∴抛物线顶点P(

∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部, ∴

3982＜－a ＜ 2,∴－＜a＜–. 3分 2493② 设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；

∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在RtDCF中， ∵DF2＋DC2=CF2； ∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=

99, ∴F(2, ) 889991；∴－a =，∴a = －; 8482∴当PF∥AB时，P点纵坐标为

∴抛物线的解析式为：y= －

127x＋x－5 3分 22抛物线与y轴的交点为Q（0，－5）， 又直线y =

3x－1与y轴交点（ 0，－1）； 2∴Q在直线y=

3x－1下方. 3分 230、有已知可得ADE和CDE均为等腰直角三角形，计算得BD21，在直角三角形BCD中，

tanBCDBD21。 CD 31、（1）设购买x台甲机器，则7x5(6x)34，所以x2。即x取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。

（2）按方案①，所需资金6530（万元），日产量为660360（个）；按方案②，所需资金

，日产量为1100560400（个）；按方案③，所需资金为275434175532（万元）

（万元），日产量为2100460440（个）。所以，选择方案②。

文案大全

实用标准文档

32、如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝x，PN＝y，则面积 S＝xy， ①

因为点P在AB上，由△APQ∽△ABF得

4y1，即x102y．

2(4x)22 代入①，得S(102y)y2y10y，

5225 即S2(y)．

2255 因为3≤y≤4，而y＝不在自变量的取值范围内，所以y＝不是最值点，

22

当y＝3时，S＝12；当 y＝4时，S＝8．故面积的最大值是S＝12．

此时，钢板的最大利用率是80％。 33、连CS。

∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，

∴AO=BO,CO=DO.

∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形. ∵S是OD的中点，∴CS⊥DO.

1在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ=BC.

2同理BP⊥AC.

1在Rt△BPC中，PQ=BC.

211又SP是△OAD的中位线，∴SP=AD=BC.

22∴SP=PQ=SQ.

故△SPQ为等边三角形.

34、若此等腰三角形以OA为一腰，且以A为顶点，则AO=AC1=2.

8816 设C1（x,2x），则得x2(2x2)222，解得x，得C1（,）

555 若此等腰三角形以OA为一腰，且以O为顶点，则OC2=OC3=OA=2.

EMAPQFBDNC424.得C2（5,5） 55524 又由点C3与点C2关于原点对称，得C3（5,5）

5511 若此等腰三角形以OA为底边，则C4的纵坐标为1，从而其横坐标为，得C4（,1）.

22 设C2（x',2x'），则得x'2(2x')222，解得x' 所以，满足题意的点C有4个，坐标分别为：

18162424（,），（，（5,5），C4（,1） 5,5）255555535、（1）方程有两个实数根，则m10，解方程得

2m0,1,2,5,m11,2,3,6,63，x2．由题意，得 即 m1m1m11,3,m2,4.故m2．

22（2）把m2代入两等式，化简得a4a20，b4b20， 当ab时，ab22．

2当ab时，a、b是方程x4x20的两根，而△＞0，由韦达定理得， ab4＞0，ab2＞0，则a＞0、b＞0．

2222①ab，c23时，由于ab(ab)2ab16412c

1故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝ab1．

2②ab22，c23时，因2(22)23，故不能构成三角形，不合题意，舍去．

x1文案大全

实用标准文档

③ab2122，c23时，因2(22)＞23，故能构成三角形． S△ABC＝23(22)2(3)29122 综上，△ABC的面积为1或9122．

文案大全