量子模型下的金融投资最优组合选择 ◆李雪坤 蒲成毅 （西南民族大学经济学院 四川成都６１００４１） 【摘要】量子力学是研究微观粒子运动的基本理论，它与相对论构 ｋ＝ｌ，２，…，ｄ，Ｅ 是 取值 的投影算子。 成了物理学的两大支柱。金融市场中的风险资产的演化过程是否 下面我们就来运用马科维茨资产组合理论来研究量子金融市 也遵从量子统计规律？本文将利用量子力学原理研究金融市场的 场的最优组合选择问题。 最优资产组合选择，从量子力学的角度建立一个金融市场模型，运 假设投资者投资于风险证券的比例为 （ｊ＝ｌ，２，…，ｄ），根据 用马科维茨资产组合理论，推导出单期金融市场在量子理论下的 马科维茨模型中的假设条件，我们可以写出约束条件：∞ｏ＝１—６３ １， 最优资产投资策略。 其中ｌ＝（１，１，…，１） 。若给定收益ｂ，其期望收益为：∞ （ｕ—Ｒ１） 【关键词】量子模型最优组合选择金融投资 ：ｂ—Ｒ 风险资产组合的方差为：０ ２（∞ＴＡ）＝∞ Ｅ∞ 金融市场中的投资者所要求的最优投资资产组合必须要满足下面 一、引言 条件之一： 金融市场是一个庞大而复杂的系统，对金融市场的研究的历 （１）在预期收益水平确定的条件下即∞ （ｕ—Ｒ１）＝ｂ—Ｒ，求使得 史已经很长，过去的金融学家认为金融市场是一个随机市场过程， 风险最小的∞。 在这种随机环境下，如何进行最优的资源配置，以实现最有效的目 （２）在风险水平确定的情况下ｏ。（ ＴＡ）＝∞ ∑ ：ｏ，求使得 标，获得高效、方便实用的投资组合，不管对于个人投资者还是大 收益最大的∞。 。 型的金融投资机构都是必不可少的。随着经济全球一体化步伐的 这两个线性规划问题是等价的，都能得到最优的投资组合选 加快，可以投资的资产种类日益繁多，交易方式也日趋多样化，这 些都会对最后预期的总财富产生一定的影响。因此，当金融市场的 择。下面对条件（１）用数学语言表示出来：ｍｉｎ １（１） Ｅ 这种不确定环境变得越来越复杂的时候，人们对投资组合选择的 Ｓ．ｔ． （Ｉ） （ｕ—Ｒ１）＝ｂ—Ｒ 深入研究，才具有更加重要的理论意义和现实意义。 １９世纪初，Ｂａｃｈｅｌｉｅｒ就开始研究金融市场的理论体系。但是 对∞求偏导数得：∞ ＿ｉＩ Ｉ ≤ Ｕ—Ｋｌ Ｊ ） 【Ｕ—Ｋｌ Ｊ （１） 金融市场系统的理论研究是从２Ｏ世纪５０年代初期开始的，１９５２ 年Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ发表了资产组合选择理论，１９６４年Ｓｈａｒｐｅ建立了 此时，资产组合的方差为：。。（∞ｌｆＡ） 商 资产定价模型，之后１９７３年Ｂｌａｃｋ和Ｓｃｈｏｌｅｓ与Ｍｅｒｔｏｎ期权定 （１）式可以表示为在（ｂ，０）平面上的两条直线，但是向下倾斜 价理论以及１９７６年Ｒｏｓｓ的套利定价理论等，他们所应有的工具 的直线是没有研究价值的，因为金融市场中理性的投资者根本不 基本上是经典理论中的一些方法，之后现代投资组合的研究大部 可能选择在同等风险下收益较小的证券投资组合。因此（１）式可以 分都是围绕Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ投资组合理论而展开的。随后量子理论从 变形为下述直线：ｂ：Ｒ＋ｏ Ｚ￣－２ＹＲ＋Ｒ２Ｘ一 （２） 不同角度被引进到金融问题的研究中来。１９９８年Ｉ１ｉｎｋｓｉ采用量 （２）式表明，如果量子金融市场存在无风险的资产，且在证券 子场理论来描述了金融市场的动态变化，他运用场理论推导了资 组合投资收益为ｂ的条件下，风险最小的投资组合的风险为ｏ， 产价格和资金流动的速度随时间演化的方程。之后，Ｓｃｈａｄｅｎ做了 则（ｂ，０）满足（２）式，即（ｂ，０）在一条直线上。换句话说，在这种条 进一步的研究，他他运用市场投资者持有的总资产数和总现金作 件下，满足最小方差的证券组合是存在的，与之相对应的证券组合 为基矢来构造金融市场的状态空间，金融市场的不确定性由态矢 就是最小方差证券组合。 迭加原理来刻画。然后，陈泽乾教授从量子力学的角度用 综上所述，如果在量子金融市场中存在无风险资产时，那么在 Ｍａｘｗｅｌ卜Ｂｏｌｔｚｍ统计重新推导了著名Ｃｏｘ—Ｒｏｓｓ—Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉ期权 给定证券组合收益的情况下，我们所求得的最小方差证券组合，其 定价公式，还用量子力学中的Ｂｏｓｅ—Ｅｉｎｓｔｅｉｎ统计得到了一个全 标准方差与收益满足同一直线方程。这一直线的经济意义很明显， 新的期权定价公式。这些都表明在理论上存在着关于金融市场的 单个资产或组合资产的期望收益率由风险测度指标标准差来决 和谐的“量子理论 一量子金融。 ． 定；风险越大收益率越高，风险越小收益率越低。因此，我们不能轻 二、单期资本市场中量子模型下的最优组合问题 易下结论说随即模型完全可以反映金融市场的不确定性，在一个 在数学上，量子是用复Ｈｉｌｂｅｒｔ空间来描述的，假设单期金融 量子金融概率空间中，我们用自算符来描述金融资产的价格变化， 市场遵循某种量子统计规律，可由量子概率空间（ｃ“，Ｐ，Ｂ＋ｓ）来描 也许更符合金融市场资产价格的演化规律，从而让我们的金融投 述，其中Ｐ代表一个定态，Ｂ代表无风险资产，ｓ代表风险资产。假 资组合选择更加精确，更加合理有效。 设该金融市场有ｄ＋１种长期证券，其中第０种证券为无风险证券， 另外ｄ种证券为风险证券，一般情况下，我们把这个金融市场经济 参考文献： 记为（Ｂ，Ｓ）市场，其中Ｓ：（ｓ ，Ｓ。，…，Ｓ ）。 ［１］Ｆｅｙｎｍａｎ １Ｋ Ｐ等著，张邦固等译．量子力学与路径积分『Ｍ】． 假定单期资本市场（Ｂ，８）是由一种无风险的证券价格Ｂ＝（Ｂ。， 科学出版社，１９８６． Ｂ ）和ｄ种风险证券价格ｓ＝（ｓ。，Ｓ ）构成的，其中Ｂ。＞０，Ｓｏ＞Ｏ，并且 【２】李树德．量子金融（英文版）【Ｍ］．世界图书出版社，２０００． ｎ ［３ｊ孙杨，潘浩，唐森淼．我国权证市场风险研究与实证分析田．南 ＢＩ＝ＢｏＲ，ｓ１＝ｓ ，Ｒ＞Ｏ，Ａ是一个自伴算符列，且Ａｊ满足Ａ ＝ 入ｊ Ｅ ， 京财经大学学报，２００７，（４）． 【４】陈泽乾，量子金融的意Ｙ－［Ｊ］．数学物理学报，２００３，（ｏ１）． 项目基金：本项目得到西南民族大学研究生创新型科研项目资助。项目编 号：ｏ∞１４￣６１。 ６５ 谰