习题几个典型的代数系统

第五章习题几个典型的代数系统

.设A={0,1},试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。

.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。

.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：

x,y∈Z,xy=x+y-2

问Z关于运算能否构成群为什么

.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：

f1(x)=x, f2(x)=x-1, f3(x)=1-x,

f4(x)=(1-x)-1, f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1

令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。

(1) 给出运算的运算表。

(2) 验证是一个群。

.设G为群,且存在a∈G,使得 G={ak|k∈Z}, 证明G是交换群。

.证明群中运算满足消去律.

.设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。

.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。

.证明4阶群必含2阶元。

设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。

.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。

(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。

. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。

(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。

(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。

(3) A=M2(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。

(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。

.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba.

.设H是群G的子群,x∈G,令

xHx-1={xhx-1|h∈H},

证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。

.设

(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表

(2) 试找出G的所有子群

(3) 证明G的所有子群都是正规子群。

.设G是有限群，K是G的子群，H是K的子群,证明[G:H]=[G:K][K:H].

.令G={Z,+}是整数加群。求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z.

.对以下各小题给定的群G1和G2以及f:G1→G2,说明f是否为群G1到G2的同态。如果是,说明G是否为单同态,满同态和同构,并求同态像f(G1)和同态核kerf.

(1) G1=,G2=,其中R*为非零实数的集合,+和·分别表示数的加法和乘

法。

f:Z→R*,f(x)=

(2) G1=,G2=,其中+和·分别表示数的加法和乘法

A={x|x∈C∧|x|=1},其中C为复数集合。

f:Z→A,f(x)=cosx+i sinx

(3) G1=,G2=,+和·以及A的定义同(2).

f:R→A,f(x)=cosx+i sinx

.设f是群G1到G2的同构,证明f-1是G2到G1的同构。

.图中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。

.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。

(1) L={1,2,3,4,5}

(2) L={1,2,3,6,12}

(3) L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}

(4) L={1,2,22,...,2n},n∈Z+

.(1)画出Klein四元群的子群格。

(2)画出模12的整数群Z12的子群格。

(3)画出3元对称群S3的子群格。

.设L是格,求以下公式的对偶式:

(1) a∧(a∨b)a

(2) a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)

(3) b∨(c∧a)(b∨c)∧a

.设L是格,a,b,c∈L,且abc,证明

a∨b=b∧c

.针对图中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。

图

.针对图中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。

.说明图中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。

.对以下各小题给定的集合和运算判断它们是哪一类代数系统(半群,独异点,群,环,域,格,布尔代数),并说明理由。

(1) S1={0，1,-1}，运算为普通加法和乘法。

(2) S2={a1,a2,...,an},ai,aj∈S2,ai*aj=ai.这里的n是给定的正整数,且n≥2.

(3) S3={0,1},*为普通乘法。

(4) S4={1,2,5,7,10,14,35,70},和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算。

(5) S5={0,1,2},*为模3加法,为模3乘法。

.设B是布尔代数,B中的表达式f是

(1)化简f.

(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)

(2)求f的对偶式f* 。

.设是布尔代数，在B中化简以下表达式：上定义二元运算*，a,b∈B,

（1）(a∧b)∨(a∧b＇)∨(a＇∨b)

（2）(a∧b)∨(a∧（b∧c)＇)∨c

.对于n=1,...,5,给出所有不同构的n元格,并说明哪些是分配格、有补格和布尔格。

.设是布尔代数,在B上定义二元运算,x,y∈B有

xy=(x∧y＇)∨(x＇∧y)

问能否构成代数系统如果能,指出是哪一种代数系统。为什么

.设G1为循环群,f是群G1到G2的同态,证明f(G1)也是循环群。

.设G=是15阶循环群。

(1) 求出G的所有的生成元。

(2) 求出G的所有子群。

.设σ,τ是5元置换,且

(1) 计算στ,τσ,σ-1,τ-1,σ-1τσ

(2) 将στ,τ-1,σ-1τσ表成不交的轮换之积。

(3) 将(2)中的置换表示成对换之积,并说明哪些为奇置换,哪些为偶置换。

设A=﹛1,2,5,10,11,22,55,110﹜是110的正因子集，〈A,≤ 〉 构成的偏序集，其中≤ 为整除关系。

（1）画出偏序集〈A, ≤〉 的哈斯图。

（2）说明该偏序集是不是构成布尔代数，为什么