信用风险结构化和简约化模型的比较研究

信用风险结构化和简约化模型的比较研究

【摘要】 本文基于信息的视角研究了信用风险的结构化和简约化模型的差异性。研究表明：简约化模型和结构化模型的差异性不在于公司债券的违约时间是否可测，而在于公司的财务信息能否完全被市场捕捉，进而有基于信用衍生品定价和对冲的目的，简约化模型是更好的选择。

【关键词】 信用风险 结构化模型 简约化模型 违约时间 信息集

一、引言

信用风险建模方法可分为结构化和简约化两大类型。结构化模型源于Black和Scholes（1973）和Merton（1974），简约化模型则源于Jarrow和Turnbull（1992）以及随后的Jarrow和Turnbull（1995）、Duffie和Singleton（1999）等。Bielecki和Rutkowski（2002）和Duffie（2003）等认为这两类模型是不相容的，它们在刻画违约时间的可测性方面备受争议。本文从信息的角度重新审视这两类模型，认为它们并不是不相容的，而是在不同信息集下的同一建模方法。结构化模型假定模型具有完全信息集，它对公司的财务信息具有连续可得性，从而得到公司债券的违约时间是可测的。而简约化模型假定模型只具有部分信息，与市场可获得的公司财务信息相同，由此引致了公司违约时间的完全未知。因此，在两类模型的差异性并不在于公司的违约时间是否可测，而在于模型信息结构的差异性，在一定条件下调整模型的信息结构，它们是可以相互转化的。

从这个角度审视这两类信用风险模型，公司财务信息能否完全被市场捕捉是理解其差异性的关键。基于信用风险对冲和定价的目的，模型应采用由市场观测给出的信息集，简约化建模方法更为可取，在这一信息集下，公司违约时间是完全未知的停时。Duan（1994）、Ericsson和Reneby（2002，2003）等也认为市场不可能完全捕捉到公司资产价值的信息，这种信息缺失意味着公司的违约时间是不可测的，因此采用强度模型来刻画是更好的选择。

二、信用风险模型

1、信用风险结构化模型

本文从Black和Scholes（1973）及Morton（1974）出发，假定 表示公司资产的价值，其滤子为Ft=？滓（As：s？燮t）？奂Gt，其中（Gt：t∈[0，T]）为模型可利用的信息集。公司资产价值服从如下非负的扩散过程：

dAt=At？琢（t，At）dt+At？滓（t，At）dWt （1）

其中，？琢t和？滓t是使（1）式具有良好定义，Wt是标准布朗运动。公司债务为到期日T的面值为1的简单零息票债券，违约时间只能发生在到期日T，违约条件为AT？燮1。公司在时刻T的违约概率是P（AT？燮1），时刻0公司

债务的价值为：

v（0，T）=EQ（[min（AT，1）]e■） （2）

在Black和Scholes（1973）及Morton（1974）的可违约债务定价模型中，假定利率rt和资产价值的波动率？滓t均为常数的条件下，得到（2）式的解析表达式：

v（0，T）=e-rTN（d2）+AtN（-d1） （3）

其中，N（·）表示标准正态分布函数，d1=[log（At）+（r+？滓2/2）T]/？滓■，d2=d1-？滓■。这个初始模型把公司股权的价值看成标的为公司资产价值，到期时刻为T，敲定价格为公司债务面值1的欧式看涨期权。

公司违约更为一般的情形是允许违约时间发生在到期日 T前的任何时刻，上述结构化模型需要进一步的扩展，扩展的关键在于违约阈值Lt的设定。在这个一般化的框架下，违约阈值Lt可能是常数也可能是随机过程，将模型可利用信息集扩展为包含该过程的新信息集Ft=？滓（As，Ls：s？燮t），并假定违约事件发生后，债务持有者在时刻T获得L？子。停时？子的可测性定义为，如果在（？子>0）上存在一个单调递增的停时序列{？子n}n？叟1且对所有的 n有？子n？燮？子，满足limn→∞？子n=？子a.s.，则停时是可测的。可测的违约时间可表示为：

子=inf{t>0：At？燮Lt} （4）

给定违约时间的表达式（4）式，公司债务的价值表示为：

v（0，T）=E（[l{？子？燮T}L？子+l{？子>T}l）]e■） （5）

如果假定利率rt、阈值Lt和资产价格波动率？滓t均是常数，则（5）式的封闭解可表示为：

v（0，T）=Le-rTQ（？子？燮T）+e-rT[1-Q（？子？燮T）] （6）

其中，Q（？子？燮T）=N（b1（T））+A0e■N（b2（T）），b1（T）=[-logA0-（r-？滓2/2）T]/？滓■，b2（T）=[-logA0+（r-？滓2/2）T]/？滓■。在前述的债务结构下，如果利率rt为一个随机变量，则（5）式包含了如Shimko等（1993），Nielsen等（1993），Longstaff和Schwartz（1995），Hui等（2003）模型。

从信息的角度看，信用风险的结构化建模方法主要假定模型的可利用信息包含了公司价值和违约阈值的连续时间信息，等价的表述是公司财务信息滤子是模型可用信息集的子集，模型具有完全信息集意味着公司违约时间的可测性。

2、信用风险简约化模型

信用风险简约化模型源于Jarrow和Turnbull（1992，1995）、Duffie、Singleton（1999）等。在简约化模型中，模型信息集由违约时间？子和状态向量Xt产生，违约时间？子是由强度为？姿t的Cox过程Nt=l{？子？燮t}产生的停时，而强度过程？姿t依赖于状态向量Xt，此时信息集Ft=？滓（？子，Xs：s？燮t）？奂Gt。Cox过程是一个点过程，它条件于状态变量在整个时间区间上的信息集？滓（Xs：s？燮T）。在简约化模型中，条件过程是满足强度为？姿（tXt）的Possion过程，并假定它为Q-鞅。如果对于每个可测的停时S，Q{？棕：？子（？棕）=S（？棕）T}l）]e■） （8）

结构化模型的债务表达式（5）和简约化模型的（8）式之间存在一个很小但是至关重要的差别是违约阈值和违约回收率的设定。违约阈值在结构化方法中是根据公司债务情况事先设定的，而在简约化模型中违约回收率是外生给定的。这种差别是由模型对公司财务信息的缺失产生的。这种研究框架包含了Jarrow和Turnbull（1995），Jarrow等（1997），Lando（1998），Duffie和Singleton（1999），Madan和Unal（1998）等。如果回收率和强度过程都是常数（？啄，？姿），则（8）式有显示解，债务0时刻的价值为：

v（0，T）=EQ（e■）（？啄+（1-？啄）e-？姿T） （9）

三、两类信用风险模型的比较分析

本文从模型可利用信息集的视角比较分析了两类信用风险模型。如果模型的信息滤子适当收缩，则信用风险模型可由违约停时可测的结构化模型转化为违约停时未知的风险率模型。相反，如果信息滤子适当的扩张，则可由简约化模型转化为结构化模型。给定全概率空间（？赘，G，P）和其上的滤子G=（Gt）t？叟0，信息集G为模型利用信息集，公司资产过程（At）t？叟0，是定义其上的马尔可夫过程。结构化模型假定模型观测到的信息滤子由公司资产价值F=（As：0？燮s？燮t）t？叟0生成，满足F？奂G，并假定资产A=（At）t？叟0下降到阈值L=（Lt）t？叟0时违约发生，并且不可回复；违约阈值或者是常数或者是随机过程，这里假定它是常数，记违约停时为？子=inf{t>0：Xt？燮L}，它是G可测的。而简约化模型假定模型不能连续地观测公司资产价值的过程，因此，两类信用风险模型的差异性是由不同信息结构引出的不同建模方法。

Duffie和Lando（2001）认为公司资产价值过程是在离散区间上观测到并且存在的观测噪音。假定观测的离散时间过程为Zti=Ati+Yti，i=1，2，3，…，∞，Yti为的噪音过程。实际观测数据是Z而非A，则存在另外一个信息滤子Ht=？滓（Zti：0？燮ti？燮t），并满足H=（Ht）t？叟0？奂G。这里违约时刻？子对于滤子H并不是一个停时，而Duffie和Lando假定了一个信息结构使得？子仍然是停时，同时完全未知的l{t？叟？子}-■？姿（S，？棕）ds是一个局部鞅，停时 ？子的强度过程为？姿=（？姿t）t？叟0，它的条件概率记为P（？子>u|Ht）。违约停时由可测到未知转变的原因是资产在两次观测值之间的演化未知，在下一个观测值之前，违约是否发生是不可预测的。在这个“粗糙”的信息集下，债券定价由回收率为L的（8）式给出，信息结构的模糊和减少使得结

构化模型转变为风险率强度模型。

Kusuoka（1999）给出了更为抽象的Duffie-Lando模型，认为资产价值过程是连续观测而非离散的。Kusuoka没有给出违约时间？子怎样产生，而是从模型观测的信息滤子H？奂G和正随机变量？子开始，然后扩展滤子使得？子在概率空间中是一个鞅。这种滤子扩展方法类似于Duffie和Lando在资产价值过程中增加观测噪音的方法。由于Kusuoka滤子扩展假定过于严格，要求所有H鞅在扩展的滤子中仍然保持鞅性，这了该模型的应用。

Giesecke和Goldberg（2003）同样将将噪音引入系统，假定违约阈值是一条于结构系统的随机曲线，建模者不能观测到这条随机曲线。由于违约时间？子依赖于这条不可观测的随机曲线，违约时间？子是完全未知的。然而，Giesecke和Goldberg仍然假定公司资产价值过程是可连续观测的，这就使得该模型是结构化模型和简约化模型的揉合，它既有简约化模型的元素也有结构化模型的元素。

Cetin等（2004）给出了另外一个不同于Duffie-Lando和Kusuoka的建模方法。Cetin等也是从结构化模型开始，认为公司管理层掌握模型的信息滤子G。Cetin等重新定义公司资产价值为公司现金流，而相关的违约阈值是对于所有的t有Lt=0，建模者仅仅能够观测公司现金流是正的、零或是负的，并假定首次违约时间是现金流在零以下。在这些假定条件下，违约时间？子是完全未知的，点过程的强度是一个基于风险率的强度。Cetin等的建模方法是一种滤子收缩的方法，理论上收缩后的滤子是能够再次扩展为初始的滤子，从这个角度看这与前述的建模方法相同。因此，关于滤子的处理本质上要求违约时间？子在两个滤子中都是一个停时。

可以看到这些信用风险模型的一般特征是违约时间？子在模型观测的信息滤子H中不是停时。考虑一个递增过程l{t？叟？子}，它可能是H的适应过程，任何情况过程l{t？叟？子}是H上的或者是投影到H的局部鞅。l{t？叟？子}在Doob-Meyer分解中的递增过程l{t？叟？子}被看成是滤子H上的补偿子。由于？子的完全未知和？撰的连续性，可以证明？撰具有形式？撰t=■？姿sdS，过程？姿是在滤子H上的到达强度。从信息的总体结构上看，分析的重点是停时在滤子扩张或收缩前后的表现，结构化模型信息滤子的作用是引出违约时间，而当模型可利用的信息减少或者模糊之后，就需要将其投影到更小的滤子中，此时的违约时间将变得完全未知，Cox过程l{t？叟？子}的补偿子？撰成为了研究的重点。在给定的信息集下，如果？撰具有？撰t=■？姿sdS的形式，则过程？姿可以理解成瞬时违约率。综上所述，结构化模型假定模型可利用信息集G是完全的并且可以连续观测公司的资产At和负债Lt的过程，而简约化模型假定模型信息集G仅由市场给出，滤子由停时？子和连续观测的状态变量Xt给出。当信息集从一个较大的信息集G转变到一个较小的信息集H时，信用风险模型由结构化转变为简约化模型。从这个角度看，Giesecke和Goldberg（2003）仍然是结构化模型，而Duffie和Lando（2001），Kusuoka（1999）和Cetin等（2004）是简约化模型。在模型的应用选择方面，如果是基于定价和对冲等风险管理的目的，简约化模型是一个更好的选择，原因在于均衡的价格是市场基于可获得的信息做出的

最优选择，而如果是基于信息完全的公司风险管理，结构化模型是一个更好的选择。

四、结论

本文从信息的视角研究结构化和简约化这两类信用风险模型差异性，研究的关键在于模型的可利用信息集。结构化模型假定可利用的信息由公司管理层掌握，拥有完全的公司财务信息，而简约模型假定可利用的信息集由市场给出，只拥有部分公司信息。基于这个视角，比较这两类信用风险模型差异性不是根据违约时间是否可测，而是根据模型本身的信息结构。由于不能连续观测公司资产价值的变化，关于公司风险债务和信用衍生品定价，简约化模型是一个更好的选择，它仅仅只需市场可获得的信息。

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