传感器与传感器技术(第二版_何道清)_课后答案

第1章 传感器的一般特性

1—5 某传感器给定精度为2%F·S，满度值为50mV，零位值为10mV，求可能出现的最大误差(以mV计)。当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能得出什么结论?

解：满量程（F▪S）为50﹣10=40(mV) 可能出现的最大误差为：

m＝402%=0.8(mV) 当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：

0.8100%4%1402 0.82100%16%1408

11—6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个

微分方程描述，试求这两个系统的时间常数和静态灵敏度K。 （1）

式中, y——输出电压，V；T——输入温度，℃。

（2）

式中，y——输出电压，V；x——输入压力，Pa。

解：根据题给传感器微分方程，得 （1） τ=30/3=10(s)，

K=1.5105/3=0.5105(V/℃)；

(2) τ=1.4/4.2=1/3(s)，

K=9.6/4.2=2.29(V/Pa)。

1—7 已知一热电偶的时间常数=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在0℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s，静态灵敏度K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。

解：依题意，炉内温度变化规律可表示为

x(t) =520+20sin(t)℃

由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率 =2f=2/80=/40；

温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y(t)为

y(t)=520+Bsin(t+)℃

1.4dy4.2y9.6xdt 30dy3y1.5105Tdt

热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为

AB2011211104020.786因此，热电偶输出信号波动幅值为

B=20A()=200.786=15.7℃

由此可得输出温度的最大值和最小值分别为

y(t)|max=520+B=520+15.7=535.7℃

y(t)|min=520﹣B=520-15.7=504.3℃

输出信号的相位差为

(ω)= arctan(ω)= arctan(2/8010)= 38.2

相应的时间滞后为

8038.28.4s360t =

1—8 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方

程来描述，即

d2y3dy10103.0102.2510y11.010x2dtdt

式中，y——输出电荷量，pC；x——输入加速度，m/s2。试求其固有

振荡频率n和阻尼比。

解: 由题给微分方程可得

n2.2510/11.510rad/s

1053.010322.25101100.01

1—9 某压力传感器的校准数据如下表所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。

校准数据表 输 出 值 (mV) 压 力 第一次循环 第二次循环 第三次循环 (MPa) 正行程 反行程 正行程 反行程 正行程 反行程 0 -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.69 0.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0. 0.69 0.04 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 0.06 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 0.08 10.88 10.95 10. 10.93 10.94 10.99 0.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 解 校验数据处理（求校验平均值）： 压 力 (MPa) (设为x) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 输 出 值 (mV) 第一次循环 第二次循环 第三次循环 校验平均值 正行反行正行反行正行反行(设为程 程 程 程 程 程 y) -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.69 -2.70 0.56 0.66 0.61 0.68 0. 0.69 0. 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 4.04 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 7.47 10.88 10.95 10. 10.93 10.94 10.99 10.93 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 14.45 （1）端点连线法 设直线方程为

y=a0+kx，

取端点（x1，y1）=（0，-2.70）和(x6，y6)=（0.10，14.45）。则a0由x=0时的y0值确定，即

a0=y0kx=y1=-2.70 (mV)

k由直线的斜率确定，即

ky6y114.45(2.70)171.5x6x10.100（mV/MPa）

拟合直线方程为

y=2.70+171.5x

求非线性误差： 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 校验平均值 (mV) -2.70 0. 4.04 7.47 10.93 14.45 直线拟合值 (mV) -2.70 0.73 4.16 7.59 11.02 14.45 非线性误差 (mV) 0 -0.09 -0.12 -0.12 -0.09 0 最大非线性误差 (mV) -0.12 所以，压力传感器的非线性误差为

L 求重复性误差：

0.12100%0.7%14.45(2.70)

输 出 值 (mV) 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

正行程 反行程 不重不重1 2 3 复误1 2 3 复误差 差 -2.73 -2.71 -2.68 0.05 -2.71 -2.68 -2.69 0.03 0.56 0.61 0. 0.08 0.66 0.68 0.69 0.03 3.96 3.99 4.03 0.07 4.06 4.09 4.11 0.05 7.40 7.43 7.45 0.05 7.49 7.53 7.52 0.04 10.88 10. 10.94 0.06 10.95 10.93 10.99 0.04 14.42 14.47 14.46 0.05 14.42 14.47 14.46 0.05

最大不重复误差为0.08 mV，则重复性误差为

R0.08100%0.47%14.45(2.70)

求迟滞误差： 压 力 第一次循环 (MPa正行反行迟) 程 程 滞 -2.7-2.70.00 3 1 2 0.10.02 0.56 0.66 0 0.10.04 3.96 4.06 0 0.00.06 7.40 7.49 9 10.810.90.00.08 8 5 7 14.414.40.10 0 2 2 输 出 值 (mV) 第二次循环 第三次循环 正行反行迟反行迟正行程 程 程 滞 程 滞 -2.7-2.60.0-2.60.0-2.68 1 8 3 9 1 0.00.00.61 0.68 0. 0.69 7 5 0.10.03.99 4.09 4.03 4.11 0 8 0.10.07.43 7.53 7.45 7.52 0 7 10.810.90.010.90.010.94 9 3 4 9 5 14.414.414.414.40.0 0.0 7 7 6 6

最大迟滞为0.10mV，所以迟滞误差为

H0.10100%0.58%14.45(2.70)

（2）最小二乘法

设直线方程为

y=a0+kx

数据处理如下表所示。 序号 1 0 2 0.02 3 0.04 4.04 4 0.06 7.47 5 0.08 6 0.10 ∑ 0.3 x y x2 xy 2.70 0. 0 0 10.93 14.45 34.83 0.0004 0.0016 0.0036 0.00 0.01 0.022 0.0128 0.1616 0.4482 0.8744 1.445 2.942 根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：

a02xyxxynx2x20.02234.830.32.94260.0220.320.766260.88262.77(mV)0.0422knxyxynx2x

62.9420.334.83171.5(mV/MPa)260.0220.3所以，最小二乘法线性回归方程为

y=2.77+171.5x

求非线性误差： 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 校验平均值 (mV) -2.70 0. 4.04 7.47 10.93 直线拟合值 (mV) -2.77 0.66 4.09 7.52 10.95 非线性误差 (mV) 0.07 -0.02 -0.05 -0.05 -0.02 最大非线性误差 (mV) -0.07 0.10 14.45 14.38 0.07 所以，压力传感器的非线性误差为

L0.07100%0.41%14.38(2.77)

可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误

差小，所以最小二乘法拟合更合理。

重复性误差R和迟滞误差H是一致的。

1—10 用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差在5%以内，则其时间常数应取多少?若用该系统测试50Hz的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多？

解: 根据题意

11215% （取等号计算）

21111.052615%0.95

解出

ωτ =0.3287

所以

0.3287/0.32870.523103s2100=0.523ms

112500.52310 当用该系统测试50Hz的正弦信号时，其幅值误差为

11213211.32%相位差为

=﹣arctan()=﹣arctan(2π×50×0.523×103)=﹣9.3° 1—11一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f0=800Hz，阻尼比=0.14，现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时，其幅值比A()和相位角()各为多少；若该传感器的阻尼比=0.7时，其A()和()又将如何变化?

2ff4000.52ff80000解: n

所以，当ξ=0.14时

A11n242n2

12

10.5221.3140.1420.52

arctan2n1n2arctan 当ξ=0.7时

A20.140.50.1845rad10.610.52 110.5220.97540.720.52

arctan20.70.50.75rad4310.52

1—12 用一只时间常数=0.318s的一阶传感器去测量周期

分别为1s、2s和3s的正弦信号，问幅值相对误差为多少?

解：由一阶传感器的动态误差公式

11210.318s,=0.318s

1120.31821T1sf1Hz2rad1155.2%2T2s3T3sf0.5Hzrad229.3%12fHzrad316.8%33

1—13 已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz，阻尼比=0.1，若要求传感器的输出幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。

解：由f0=10kHz，根据二阶传感器误差公式，有

114n222n13%2

14n222n121.0321.069将=0.1代入，整理得

n41.96n20.050

n1.9271.388(舍去）0.03350.183n

2 f0.183fo0.183101.83kHz

1—14 设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz和1.2kHz，阻尼比均为0.4。今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力，应选用哪一只?并计算将产生多少幅

2ff0.183n2fofo度相对误差和相位差。 解：由题意知

400/8000.5n400/12001/3

112则其动态误差0.4

11422n2n

110.540.422120.52 17.6%21

40.42131211322 =7.76%

相位差

1tan12/n120.40.5tan210.52 1 /n0.49rad27.9 20.4132tan1211/3 = 0.29(rad)= 16.6°

第2章 电阻应变式传感器

2—5 一应变片的电阻R0=120Ω，K=2.05，用作应变为800µm/m的传感元件。(1)求△R与△R/R；(2)若电源电压Ui=3V，求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压U0。

R/R 解：由 K=，得

R800mK2.0561.103R10m则

ΔR=1.×103 ×R=1.×103 ×120Ω=0.197Ω

其输出电压为

U0UiR31.1031.23103V4R4=1.23(mV)

2—6 一试件的轴向应变εx=0.0015，表示多大的微应变

(µε)？该试件的轴向相对伸长率为百分之几?

解： εx =0.0015=1500×10-6 =1500(ε) 由于

εx =Δl/l

所以

Δl/l=εx =0.0015=0.15%

2—7 某120Ω电阻应变片的额定功耗为40mW，如接人等臂直流电桥中，试确定所用的激励电压。

解：由电阻应变片R=120，额定功率P=40mW，则其额定端电压为

U=PR12040102.19V

当其接入等臂电桥中时，电桥的激励电压为

Ui =2U=2×2.19=4.38V≈4V

2—8 如果将120Ω的应变片贴在柱形弹性试件上，该试件的截面积S=0.5×10-4m2，材料弹性模量E=2×101lN/m2。若由5×104N的拉力引起应变片电阻变化为1.2Ω，求该应变片的灵敏系数K。 解：应变片电阻的相对变化为 柱形弹性试件的应变为

F51040.005；ESE0.510421011

R1.210.01R120100

3 应变片的灵敏系数为

KR/R2—10 以阻值R=120Ω，灵敏系数K=2.0的电阻应变片与阻值

120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2µε和2000µε时，分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。

解：依题意 单臂：

Ui33106(V)2Uok2.0344310(V)2000

0.0120.005

差动：

Ui33106(V)2Uok2.0322310(V)2000

灵敏度：

KuUoKU/4(单臂）KUi/2(差动）i

可见，差动工作时，传感器及其测量的灵敏度加倍。 2—11 在材料为钢的实心圆柱试件上，沿轴线和圆周方向各贴一

片电阻为120Ω的金属应变片R1和R2，把这两应变片接人差动电桥(参看习题图2—11)。若钢的泊松比µ=0.285，应变片的灵敏系数K=2，电桥的电源电压Ui=2V，当试件受轴向拉伸时，测得应变片R1的电阻变化值△R=0.48Ω，试求电桥的输出电压U0；若柱体直径d=10mm，材料的弹性模量E=2×1011N/m2，求其所受拉力大小。

习题图2-11 差动电桥电路 解：由R1/R1=K1，则

1 2= 1= 0.2850.002= 0.00057

所以电桥输出电压为

U0UiK12422(0.0020.00057)40.00257(V)2.57mV

R/R10.48/1200.002K2

当柱体直径d=10mm时，由

41EFSE，得

F1ES0.002210113.1410(N)1010342

2—12 一台采用等强度梁的电子称，在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片，做成称重传感器，如习题图2—12所示。已知l=10mm，b0=llmm，h=3mm，E=2.1×104N/mm2，K=2，接入直流四臂差动电桥，供桥电压6V，求其电压灵敏度(Ku=Uo/F)。当称重0.5kg时，电桥的输出电压Uo为多大?

(a) (b)

习题图2-12 悬臂粱式力传感器

解：等强度梁受力F时的应变为

6Flh2b0E

当上下各贴两片应变片，并接入四臂差动电桥中时，其输出电压：

UOUi6FlK4KUi24hb0E

6lih2bE26100632112.1104则其电压灵敏度为

KuUoFK

=3.463×10 (V/N)=3.463(mV/N) 当称重 F=0.5kg=0.5×9.8N=4.9N时，输出电压为

U0 =Ku F=3.463×4.9=16.97(mV)

2—13 现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片，欲测钢构件频率为10kHz的动态应力，若要求应变波幅测量的相对误差小于0.5％，试问应选用哪一种?为什么?

解： =v/f=5000/（10103）=0.5(m) l0=10mm时

-3

1＝l0=20mm时

l50010sin01sin18010.066%l010500

250020sin18010.26%20500

由此可见，应选用基长l0=10mm的应变片.

2—14 有四个性能完全相同的应变片(K=2.0)，将其贴在习题图

2—14所示的压力传感器圆板形感压膜片上。已知膜片的半径R=20mm，厚度h=0.3mm，材料的泊松比µ=0.285，弹性模量E=2.0×1011N/m2。现将四个应变片组成全桥测量电路，供桥电压Ui=6V。求：

(1)确定应变片在感压膜片上的位置，并画出位置示意图；

(2)画出相应的全桥测量电路图； (3)当被测压力为0.1MPa时，求各应

变片的应变值及测量桥路输出电压U0；

(4)该压力传感器是否具有温度补偿

作用?为什么?

(5)桥路输出电压与被测压力之间是否存在线性关系?

习

题图2-14 膜片式压力传感器

解：（1）四个应变片中，R2、R3粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向；R1、R4粘贴在圆形感压膜片R/3之外沿径向，并使其粘贴处的应变εr与中心切向应变εtmax相等。如下图(a)所示。

（2）测量电桥电路如上图(b)所示。

(a) (b)

题解2-14图

(a)应变片粘贴示意图；(b)测量电桥电路

（3）根据（1）的粘贴方式，知

23tmax312R2p(tmax)28hE

23211310.2852201033 0.765610

3

ε1 =ε4 = εtmax = 0.7656×10

则测量桥路的输出电压为

U0UiK12344UiK4tmaxUiKtmax4620.76561039.19103(V)9.19mV

80.310210105（4）具有温度补偿作用；

（5）输出电压与被测力之间存在线性关系，因此，由（3）知

UOUiKtmax312R2UiKpp28hE

2—17 线绕电位器式传感器线圈电阻为10KΩ，电刷最大行程

4mm，若允许最大消耗功率为40mW，传感器所用激励电压为允许的最大激励电压。试求当输入位移量为1.2mm时，输出电压是多少?

解：最大激励电压

UiPR401031010320V

当线位移x=1.2mm时，其输出电压

Ui20x1.26(V)l4

2—18 一测量线位移的电位器式传感器，测量范围为0~10mm，分辨力为0.05mm，灵敏度为2.7V/mm，电位器绕线骨架外径d=5mm，电阻丝材料为铂铱合金，其电阻率为ρ=3.25×10-4Ω·mm。当负载电阻RL=10kΩ时，求传感器的最大负载误差。

解：由题知，电位器的导线匝数为

N=10/0.05=200

则导线长度为

l=Nd=200d， (d为骨架外径)

电阻丝直径与其分辨力相当，即d丝=0.05mm

UollS2d丝4故电阻丝的电阻值 20053.2510452020.0

R520m0.0523RL1010

R δLm ≈15m%=15×0.052%=0.78%

第3章 电感式传感器

3—15 某差动螺管式电感传感器(参见习题图3-15)的结构参数为单个线圈匝数W=800匝，l=10mm，lc=6mm，r=5mm，rc=1mm，设实际应用中铁芯的相对磁导率µr=3000，试求：

(1)在平衡状态下单个线圈的电感量L0=?及其电感灵敏度足KL=?

(2)若将其接人变压器电桥，电源频率为1000Hz，电压E=1.8V，设电感线圈有效电阻可忽略，求该传感器灵敏度K。 (3)若要控制理论线性度在1％以内，最大量程为多少?

解：（1）根椐螺管式电感传感器电感量计算公式，得

L00W2l2lr2rlcrc2 习题图3-15 差动螺管式电感

传感器



41078002101032105210930006121090.46(H)差动工作灵敏度：

KL2

0W222l 74108002rcr210103211063000 151.6/m151.6m/mm (2) 当f=1000Hz时，单线圈的感抗为

XL =ωL0 =2πf L0 =2π×1000×0.46=20(Ω) 显然XL >线圈电阻R0，则输出电压为

UOEL2L0

测量电路的电压灵敏度为

KuU0E1.8V1.96V/1.96mV/mL2L020.46

而线圈差动时的电感灵敏度为KL =151.6mH/mm，则该螺管式电感

传感器及其测量电路的总灵敏度为

=297.1mV/mm

3—16 有一只差动电感位移传感器，已知电源电Usr=4V，f=400Hz，传感器线圈铜电阻与电感量分别为R=40Ω，L= 30mH，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如习题图3—16所示，试求： (1)匹配电阻R3和R4的值；

(2)当△Z=10时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值；

KKLKu151.6m/mm1.96mV/m

(3)用相量图表明输出电压Usc与输入电压Usr之间的相位差。 习题图3-16 解：（1） 线圈感抗

XL=L=2fL=240030103=75.4（） 线圈的阻抗

2ZR2XL40275.4285.4

故其电桥的匹配电阻(见习题图3-16)

R3 = R4 =Z=85.4（）

（2）当ΔZ=10时，电桥的输出电压分别为

单臂工作：

UscUsrZ4100.117V4Z485.4

双臂差动工作：

UsrZ4100.234V2Z285.4

R40tan1tan127.9L75.4 （3）

Usc3—17 如习题图3—17所示气隙型电感传感器，衔铁截面积

S=4×4mm2，气隙总长度δ=0.8mm，衔铁最大位移△δ=±0.08mm，激励线圈匝数W=2500匝，导线直径d=0.06mm，电阻率ρ=1.75×10-6.cm，当激励电源频率f=4000Hz时，忽略漏磁及铁损，求：

(1)线圈电感值；

(2)电感的最大变化量； (3)线圈的直流电阻值； (4)线圈的品质因数；

(5)当线圈存在200pF分布电容与之并联后其等效电感值。

习题图3-17 气隙型电感式传感器（变隙式）

解：（1）线圈电感值

0W2S41072500244106L1.57101157m0.8103

（2）衔铁位移Δδ=+0.08mm时，其电感值

0W2S41072500244106L20.820.08103 =1.31×10(H)=131mH

衔铁位移Δδ=﹣0.08mm时，其电感值

0W2S41072500244106L20.820.08103

-1

=1.96×10-1(H)=196(mH) 故位移=±0.08mm时，电感的最大变化量为

ΔL=L﹣L=196﹣131=65(mH)

(3)线圈的直流电阻

0.06lCp44mm2设为每匝线圈的平均长度，则

WlCplR2sd4

(4)线圈的品质因数

L0.0612500441021.7510620.061014249.6

2fL240001.57101Q15.8RR249.6

(5)当存在分布电容200PF时，其等效电感值

LpL12LCL12fLC21.571011240001.5710120010122

3—18 如图3—4（b）所示差动螺管式电感传感器，其结构参数如下：l=160mm，r=4mm，rc=2.5mm，lc=96mm，导线直径d=0.25mm，电阻率ρ=1.75×10-6Ω·cm，线圈匝数W1=W2=3000匝，铁芯相对磁导率µr=30，激励电源频率f=3000Hz。要求：

(1)估算单个线圈的电感值L=?直流电阻R=?品质因数Q=? (2)当铁芯移动±5mm时，线圈的电感的变化量△L=?

(3)当采用交流电桥检测时，其桥路电源电压有效值E=6V，

要求设计电路具有最大输出电压值，画出相应桥路原理图，并求输出电压值。 解：（1）单位线圈电感值

0W2l2lc2Lrrcr22l/224107300021609610342106301032.5210622216031025.7010257.0m1.60101160m

WlCplSd2/4 （lcp=2r，每匝导线长度）

6R电阻值

则品质因数

1.751030002410126.9()220.2510/4

(2)铁芯位移Δlc=±5mm时，单个线圈电感的变化

L2fL230005.70102Q39.9RR26.9

LW241030002l/272rrc2lc32

(3)要使电桥输出最大，须使电桥为等臂电桥，则相邻桥臂阻抗比值a=1；且将电感线圈L和平衡电阻R放置在桥路输出的两侧，则 =±(π/2)，这时电桥的灵敏度|K|=0.5，差动工作时为其2倍，故其输出电压

Uo2KL5.2E20.56L57

35.2m5.210

160210302.510351023=0.4(V)=4mV

其电桥电路如下图所示，其中Z1、Z2为差动螺管式电感传感器、R1、R2为电桥平衡电阻。

题3-18题解图 第4章 电容式传感器

4—2 试计算习题图4-2所示各电容传感元件的总电容表达式。

(a) (b) (c)

习题图4-2

解：由习题图4-2可见

（1）图(a)等效为三个平板电容器串联 总电容量为

C11Sd1，

C22Sd2，

C33Sd3

故

C串ddd1111123C串C1C2C31S2S3Sdd213d312123123S

123SSd123d213d312d1/1d2/2d3/3

（2）图(ba)等效为两个平板电容器并联

C1C2CSd；C并C1C22C2Sd

（3）图(c)等效为两柱形电容器并联，总电容量为

C20(LH)20L2(0)2HHlnd2/d1ln(d2/d1)ln(d2/d1)ln(d2/d1)

4—3 在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥

测量电路，如习题4—3图所示。已知：δ0=0.25mm；D=38.2mm；R=5.1kΩ；Usr=60V(交流)，频率f=400Hz。试求： (1)该电容传感器的电压灵敏度Ku (V/µm)；

(2)当电容传感器的动极板位移△δ=10µm时，输出电压Usc值。

习题图4—3 解：由传感器结构及其测量电路可知

（1）初始电容

C1C2C004D28.85101238.210340.2510340.61012F40.6pF0

2由于 则

Xc111C02fC0240040.61012

6R(5.1k) 9.810

U0UiCUid2C020

从而得

KuU0U60i120V/mm0.12V/μmd2020.25

(2) U0 = Ku Δd=0.12V/m×10m=1.2V

4—4 有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r=4mm，假设与被测工件的初始间隙d0=0.3mm。试求： (1)如果传感器与工件的间隙变化量△d=±10µm，电容变化量为多少?

(2)如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF，则在△d=±1µm时的输出电压为多少? 解：由题意可求

（1）初始电容：

8.8510124103C0d0d00.31031.481012F1.48pF0S0r22

CdC由 0d0，则当Δd=±10um时

如果考虑d1=0.3mm+10µm与d2=0.3mm﹣10µm之间的电容变化量ΔC′，则应为

ΔC′=2|ΔC|=2×0.049=0.098pF

(2) 当Δd=±1µm时

Cd1mC01.48pF0.0049pF3d00.310m

d10103CC01.480.049pFd00.3

由 Ku=100mV/pF=U0/ΔC，则

U0=KuΔC=100mV/pF×(±0.0049pF)=±0.49mV

4—5有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4-5所示。选用变压器交流电桥作测量电路。差动电容器参数：r=12mm；d1=d2=d0=0.6mm；空气介质，即ε=ε0=8.85×10-12F/m。测量电路参数：usr=u=Usr= 3sinωt (V)。试求当动极板上输入位移(向上位移) △x=0.05mm时，电桥输出端电压Usc?

 习题图4-5

解：由习题图4-5可求

初始电容

C1=C2=C0=S/d=0r2/d0

8.851012121030.6103

26.671012F6.67pF

变压器输出电压

其中Z1 ,Z2 分别为差动电容传感器C1 ,C2 的阻抗.在ΔX<UscUscZ2Z2Z1C1C22UUUUZ1Z2Z1Z2C1C2Cx0.05UUsr3sint0.25sintC0d00.6(V)

4—6 如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用

二极管双厂网络测量电路。差动电容器参数为：a=40mm，b=20mm，dl=d2=d0=1mm；起始时动极板处于中间位置，Cl=C2=C0，介质为空气，ε=ε0=8.85×10-12F/m。测量电路参数：D1、D2为理想二极管；及R1=R2=R=10KΩ；Rf=1MΩ，激励电压Ui=36V，变化频率f=1MHz。试求当动极板向右位移△x=10mm时，电桥输出端电压Usc?

习题图4-6

解：由习题图4-6可求

传感器初始电容

a4010312b8.8510201030S22C00d0d01103

=3.×1012（F）=3.pF

当动极板向右移Δx=10mm时，单个电容变化量为

Cx101C0C03.1.77pFa/240/22

（或

8.851012201031010312cx1.7710(F)1.77pF3d110 ）

0b则 C1 = C0+ΔC，C2 = C0∆C，由双T二极管网络知其输出电压

USC = 2 k Ui fΔC

2 2.55V

4—7 一只电容位移传感器如习题图4-7所示，由四块置于空气中的平行平板组成。板A、C和D是固定极板；板B是活动极板，其厚度为t，它与固定极板的间距为d。B、C和D极板的长度均为a，A板的长度为2a，各板宽度为b。忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容CAC和CAD的表达式(x=0时为对称位置)。

RR1010210210102102f4462RR2RfRfUifC6361061.771012习题图4-7

解：参见习题图4-7知

CAC是CAB与CBC串联，CAD是CAB与CBD串联。

当动极板向左位移a/2时，完全与C极板相对（见题解4-7图），此时

CAB=CBC=ε0ab/d

则

CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d； CAD=ε0ab/(2d+t)。

题解4-7图

同理，当动极板向右移a/2时，与上相仿（见题解4-7图），有

CAC =ε0ab/(2d+t)；CAD=ε0ab/2d

4—8 已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=a×a=(22)cm2，间隙d0=0.1mm。求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙d0，而另一侧间隙为d0+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。 解：初始电容

当装配不平衡时（见题解4-8图(a)），可取其平均间隙计算（见题解4-8图(b)）

=0.1+0.01/2=0.105(mm)

则其电容为

8.85101222104Cd0.105103

d(d0b)bd0d0228.85101222104C0d0d00.110335.41012(F)35.4pF

S0S0S =33.7×10-12(F)=33.7pF

(a) (b)

(c)

题解4-8图 或利用积分法计算传感器的电容，（见题解4-8图(c)），在位置x处，取宽度为dx、长度为a的两个狭窄长条之间的微电容为

dC0adxd0bx/a

所以，总电容为

Ca 两种计算方法结果接近，但积分法更为严密。

4-14 习题图4-14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器，其可动内电极圆筒外经d=9.8mm，固定电极外圆筒内经D=10mm，初始平衡时，上、下电容器电极覆盖长度L1=L2=L0=2mm，电极间为空气介质。试求：

（1）初始状态时电容器C1、C2的值；

（2）当将其接入习题图4-14(b)所示差动变压器电桥电路，供桥电压E=10 V（交流），若传感器工作时可动电极筒最大位移x= 0.2mm，电桥输出电压的最大变化范围为多少？

bCdCdxln100dbx/ab0d08.851012(2102)20.0112ln133.810(F)33.8pF30.10.0110

0a0a2

(a)

(b)

习题图4-14

解 （1）初始状态时

20L028.8510122103C1C2C0D10lnlnd9.8125.5110(F)5.51pF

（2）当动电极筒位移x= +0.2mm（向上）时，L1=2+0.2=2.2mm，

L2=20.2=1.8mm，则

20L128.8510122.2103C16.061012(F)6.06pFD10lnlnd9.8

12328.85101.810C24.961012(F)4.96pF10ln9.8

UEC1C2106.064.960.5(V)2C1C226.064.96

差动变压器电桥输出为

同理，当动电极筒位移x= 0.2mm（向下）时，L1=20.2=1.8mm，

L2=2+0.2=2.2mm，则

C14.96pF C26.06pF

差动变压器电桥输出为

UEC1C2104.966.060.5(V)2C1C226.064.96

因此，当传感器可动电极筒最大位移x= 0.2mm，电桥输出电

压的最大变化范围为0.5V。

第5章 压电式传感器

5—3 有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力p=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压： (1)零度X切的纵向石英晶体；

(2)利用纵向效应的BaTiO3。 解：由题意知，压电晶体受力为

F=pS=10×106×20×10-6=200(N)

（1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×1012C/N 等效电容

d

=7.97×1014 (F) 受力F产生电荷

Q=d11F=2.31×1012×200=462×102(C)=462pC

输出电压

Q46210123VUa5.79610Ca7.971014

Ca0rS8.8510124.52010610103

（2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×1012C/N

等效电容

Ca0rSd =33.6×10-12(F)=33.6(pF) 受力F产生电荷

Q=d33F=191×1012×200=38200×1012 (C)=3.82×108C

输出电压

Q3.821083VUa1.13710Ca33.61012

8.85101219002010610103

5—4 某压电晶体的电容为1000pF，kq=2.5C/cm，电缆电容

CC=3000pF，示波器的输入阻抗为1MΩ和并联电容为50pF，求： (1)压电晶体的电压灵敏度足Ku； (2)测量系统的高频响应；

(3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少? (4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大?

解：（1）

（2）高频（ω→∞）时，其响应

KuKq/Ca2.5C/cm2.5109V/cm1000pF

kqUamd33KuFCCCCaCcCi maci

2.5C/cm6.17108V/cm12 100030005010F

（3）系统的谐振频率

1RCaCcCi

1247rads612110100030005010

U/nKim2Uam1/n1由

n，得

/n1/n215% （取等号计算）

0.90250.9025n

2n20.90251/n2

解出

(ω/ωn)2=9.25  ω/ωn=3.0424 ω=3.0424ωn=3.0424×247=751.5(rad/s)

f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz)

（4）由上面知，当≤5%时，ω/ωn=3.0424

当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π×10=20π(rad/s)时

ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s)

又由ωn=1/RC，则

C=1/ωnR=1/(20.65×1×106)=4.84×10-8(F)=4.84104pF 5—5 分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器C总=1000pF，R总=500MΩ；传感器固有频率f0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。

解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意

11/422nn4

2/n212%（取等号计算）

2则

1+(ω/ωn)﹣2(ω/ωn) +4×0.5(ω/ωn)2=0.96

(ω/ωn)4 ﹣(ω/ωn)2 +0.04=0 解出

(ω/ωn)2 =0.042或(ω/ωn)2 =0.96（舍去）

所以

ω/ωn =0.205 或0.205（舍去）

=0.205n

2

2

1/2242/n1/1.02则

fH =0.205f0 =0.205×30=6.15(kHz)

压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性

K/n1/n22121

12%由题意得 （取等号计算）

()2 =0.9604+0.9604 ()2

()2 =24.25  =4.924  ω=4.924/τ

fL =ω/2π=4.924/(2)=4.924/(2 RC)=4.924/(2×5×108×109 ) =1.57(Hz)

其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15kHz

5—6 石英晶体压电式传感器，面积为100mm2，厚度为1mm，固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为9×1010Pa，电荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是1014Ω。一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。若所加力F=0.01sin(1000t)N，求： (1)两极板间电压峰—峰值； (2)晶体厚度的最大变化。 解：（1）石英压电晶片的电容

Ca0.9812

0rSd =4.514 ×10-12 (F) ≈4.5pF

由于Ra =1014Ω，并联电容R并=100MΩ=108Ω 则总电阻

R=Ra // R并 = 1014 //108 ≈108Ω

总电容

C=Ca //C并 =4.5+20=24.5(pF)

又因

F=0.01sin(1000t)N=Fm sin(ωt)N，kq =2 pC/N

则电荷

Q=d11 F= kq F

Qm = d11 Fm = kq Fm =2 pC/N×0.01N=0.02 pC

所以

8.8510125.11001061103

Uimd11FmR1RC20.021012103108110310824.51012

2 =0.756×103 (V)=0.756mV 峰—峰值：

Uim-im =2Uim =2×0.756=1.512mV

（2）应变εm =Fm /SE =0.01/(100×106×9×1010 )=1.11×109 =Δdm /d

Δdm =dm = 1×1.11×109 (mm)=1.11×109 mm

厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值 ）

Δd =2Δdm =2×1.11×109 =2.22×109 (mm)

=2.22×1012 m

5—7 用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度) 解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度

K=Kq•Ku =5pC/g ×50 mV/pC=250mV/g=Uo/a

式中，Uo为输出电压；a为振动系统的加速度。

则当输出电压Uo=2V时，振动加速度为

a=Uo/K=2×103/250=8(g)

5—8 用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在lHz时灵敏度下降不超过5％。若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大?

解： 由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为

/n1/n215%，（取等号计算）

(ω/ωn)2 =0.9025+0.9025 (ω/ωn)2

ω/ωn =3.04

τ=1/ωn =3.04/ω=3.04/(2π×1)=0.484(s)=RC

所以

R=τ/C=0.484/(500×1012) =9.68×108=968M

5—9 已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。

解： 由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为

/n0.951/n2

解出

/n

242212nn40.1n0.90722n11/42222n15%1/ （取等号）

(ω/ωn)4﹣1.96(ω/ωn)2 +0.093=0

42/n1/1.052(ω/ωn)2 =0.0485或(ω/ωn)2 =1.912（舍去）

则

ω/ωn≈0.22  ωH =0.22ωn

则

fH =0.22f0 =0.22×32=7.04(kHz)

5—10 某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。 解：当传感器受压力1.4 Pa时，所产生的电荷

Q=80 pC/Pa ×1.4Pa=112 pC

输出电压为

Ua =Q/Ca =112×1012 /(1×109)=0.112(V)

5—11 一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)100mV；(2)10V；(3)75V。试确定三次试验中的被测力的大小及性质。

解：测力环总灵敏度

K=3.9 pC/N ×10mV/pC=39 mV/N = U0/F

式中，U0为输出电压，F为被测力，所以

F1 =U01 /K=﹣100mV/39mV/N=﹣2.56N (压力)

F2 =U02 /K=10×10 3mV/39mV/N=256N (拉力) F3 =U03 /K=﹣75×10 3mV/39mV/N=﹣1923N (压力)

5—14 某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度h=0.2mm，圆片半径r=1cm，εr=4.5，X切型d11=2.3110-12C/N。当0.1MPa压力垂直作用于PX平面时，求传感器输出电荷Q和电极间电压Ua的值。

解：当两片石英晶片并联时，所产生电荷

Q并=2Q=2•d11 F=2•d11 •πr2 =2×2.31×1012×0.1×106 ×π×(1×102 )2

=145×1012 (C) =145pC

总电容

C并=2C=20rS/h=20rr2 /h

=2×8.85×1012×4.5××(1×102)2/0.2103 =125.1×1012 (F) =125.1pF 电极间电压为

U并= Q并/C并=145/125.1=1.16V

第6章 磁电式传感器

6—5 某动圈式速度传感器弹簧系统的刚度k=3200N／m，测得其固有频率为20Hz，今欲将其固有频率减小为10Hz，问弹簧刚度应为多大? 解：

nk/m2f0f012k/m2mk/f0

f0 =20Hz ， k=3200N/m时， 2m3200/2022

f0′=10Hz时，由k2mf0'

则

6—6 已知恒磁通磁电式速度传感器的固有频率为10Hz，质量块重2.08N，气隙磁感应强度为1T，单匝线圈长度为4mm，线圈总匝数1500匝，试求弹簧刚度k值和电压灵敏度Ku值(mV/(m/s))。 解：由k/m，则

k=ω2 m=(2f)2 m=(2×10)2×2.08/9.8

=8.38×102 (N/m)

Ku =e/v=NB0l0v/v=NB0l0

=1500×1×4×103 =6V/(m/s)=6000mv/(m/s)

6—7 某磁电式传感器要求在最大允许幅值误差2％以下工作，若其相对阻尼系数ξ=0.6，试求ω/ωn的范围。 解：由磁电势传感器的幅频特性

Ak2mf0'222102800/m

22得其幅值动态误差为

/n2221/n42/n2 /n212%21/n2242/n

n41.021n22240.622n取其等号计算

解得 (ω/ωn)2 =12.3，或(ω/ωn)2 =2.067

ω/ωn =3.515，或 ω/ωn =1.438（舍去） 最大幅值误差小于2%时，其频率范围ω/ωn ≥3.515

第7章 热电式传感器

7—14 已知铜热电阻—Cul00的百度电阻比W(100)=1.42，当用此热电阻测量50℃温 度时，其电阻值为多少?若测温时的电阻值为92Ω，则被测温度是多少?

解：由 W（100）=R100 /R0 =1.42，则其灵敏度为

KR100R01.42R0R00.42R01000.420.42/oC1000100100100则温度为50℃时，其电阻值为

R50 = R0 +K×50=100+0.42×50=121()

当Rt=92时，由Rt = R0 +Kt，得

t=( Rt﹣R0)/K=(92100)/0.42=﹣19(℃)

7—17 用分度号为Ptl00铂电阻测温，在计算时错用了Cul00的分度表，查得的温度为140℃，问实际温度为多少?

解 查Cul00的分度表，140℃对应电阻为159.96，而该电阻值实际为Ptl00铂电阻测温时的电阻值，反查Ptl00的分度表，得实际温度为157℃。

7—18 在某一瞬间，电阻温度计上指示温度θ2=50℃，而实际温度θ1=100℃，设电阻温度计的动态关系为

d2k(12)dt

其中k=0.2/s。试确定温度计达到稳定读数(0.995θ1)所需时间。

解：θ2 从50℃上升到0.995θ1 =0.995×100=99.5℃

d2d2k12kdtdt1299.550td2kdt012

0.5500.5ln12507—19 某热敏电阻，其B值为2900K，若冰点电阻为500KΩ，求热敏电阻在100℃时的阻值。

解：T0 =0℃=273K，R0 =500k；T=100℃=373K

td12kdt012 50kttln0.223s0.5

则

R373 =R273 e2900(1/3731/273) =28.98(k)

7—20 将一灵敏度为0.08mV/℃的热电偶与电位计相连接测量其热电势，电位计接线端是30℃，若电位计上读数是60mV，热电偶的热端温度是多少?

解：

7—16 参考电极定律有何实际意义?已知在某特定条件下材料A与铂配对的热电势为13.967mV，材料B与铂配对的热电势是8.345mV，求出在此特定条件下，材料A与材料B配对后的热电势。 解：由标准电极定律

E (T,T0 )=EA铂(T,T0 )EB铂 (T,T0 )

=13.9678.345=5.622(mV)

7-19 镍铬-镍硅热电偶灵敏度为0.04mV/℃，把它放在温度为1200℃处，若以指示仪表作为冷端，此处温度为50℃，试求热电势大小。

解： E(1200,50)= (120050)×0.04=46(mV)

7—24 用K型热电偶测某设备的温度，测得的热电势为20mV，冷端（室温）为25C，求设备的温度？如果改用E型热电偶来测温，在相同的条件下，E热电偶测得的热电势为多少？

解 用K型热电偶测温时，设设备的温度为t，则E(t，25)=20mV，查K型热电偶分度表，E(25，0)=1.000mV。根据中间温度定律，

E(t，0)= E(t，25)+ E(25，0)=20+1.0=21.000 mV

反查K型热电偶分度表，得t=508.4℃

若改用E型热电偶来测次设备温度，同样，根据中间温度定律，测得热电势为

EE(508.4，25)= EK(508.4，0) EK(25，0)=37678.61496.5=36182.1V36.18mV。

7—25 现用一支镍铬-铜镍热电偶测某换热器内的温度，其冷端温度为30℃，显示仪表的机械零位在0℃时，这时指示值为400℃，则认为换热器内的温度为430℃对不对？为什么？正确值为多少度？

解 认为换热器内的温度为430℃不对。

设换热器内的温度为t，实测热电势为E(t，30)，根据显示仪表指示值为400℃，则有E(t，30)= E(400，0)，由中间温度定律并查镍铬-铜镍（E型）热电偶分度表，有

E(t，0)= E(t，30)+ E(30，0)= E(400，0)+ E(30，0)=243+1801=30744V

反查镍铬-铜镍热电偶分度表，得换热器内的温度t=422.5℃

t60mV30C780C0.08mV/C

7—20 热电偶温度传感器的输入电路如习题7-26图所示，已知铂铑-铂热电偶在温度0~100℃之间变化时，其平均热电势波动为6µV/℃，桥路中供桥电压为4V，三个锰铜电阻(Rl、R2、R3)的阻值均为1Ω，铜电阻的电阻温度系数为α=0.004/℃，已知当温度为0℃时电桥

平衡，为了使热电偶的冷端温度在0~50℃范围其热电势得到完全补偿，试求可调电阻的阻值只R5。 解：热电偶冷端补偿电势

E(t,0)=kt， 习

题图7-26

式中，k为热电偶灵敏度(k=6V/℃)，

而补偿电桥输出电压（见习题图7-26）

U0冷端补偿时有

ktUiRURtUit4R4R4

=6mV

根据电桥电路，其等效电路为R1、Rcu和R2、R3分别串联后再并联，然后与电源、R5串联，桥臂电阻串并联后为1Ω，由此可得

1×Ui =1E/(R+1)

所以

R=E/ Ui1=4000/61=665.7(Ω)

7—28 有一台数字电压表，其分辨力为100V/1个字，现与Cul00热电阻配套应用，测量范围为0～100℃，试设计一个标度变换电路，使数字表直接显示温度数值。

解 利用Cul00热电阻测温，测温范围为0～100℃时，其电阻变化100~142.8，即电阻满度变化值Rt=42.8。数字电压表分辨力为100V/1个字，若要使数字表直接显示温度数值，当被测温度为满度值100℃时，要显示“100”这个数字，电压表需要输入电压为100100=10000V=10mV。现在的任务就是要将“42.8”转换为“10mV”，这种转换电路（即标度变换电路）可选电子电桥电路，如题解图7—28所示。

Ui4k46tUi6000V40.004

题解7-28 电阻信号的标度变换（R-V变换）

根据不平衡电桥原理（题解图7—28），可得

Uo当被测温度处于下限（0℃）时，有Rt=Rt0=R0，则

桥路设计时取R>>R0，那么在被测温度处于非下限时有

I1EEI2IRRtRR0EERtRoRRtRRo

EERRt0RR0于是

Uo=I(RtR0)=I(Rt)

上式说明了可由不平衡电桥的转换关系，通过改变桥路参数来实现标度变换。

根据前面分析，有

I显然通过适当选取E或R便可得到I=0.234mA。当取R=20k时，电源电压E为

EI(RR0)0.234(20000100)4703.4mV4.7VUo100.234(mA)R142.80