2017-2018学年浙江省金华市义乌市四校联考九年级（上）月考
数学试卷（1月份）
一、选择题（每小题4分，共40分） 1．（4分）A．
的倒数是（ ）
B．
C．
D．
2．（4分）对于抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ） A．抛物线的开口向上 C．对称轴为直线x=1
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3） D．当x=3时，y＞0
3．（4分）下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个圆
B．一个三角形只有一个外接圆 C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
4．（4分）下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A． B． C．
D．
5．（4分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
6．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
第1页（共34页）
A．29° B．32° C．42° D．58°
7．（4分）函数y=ax﹣2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
8．（4分）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
9．（4分）二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8
10．（4分）如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为弧AB上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△PMN的外心．当点P运
第2页（共34页）
动的过程中，点M、N分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长为（ ）
A．π
B．π C．2 D．2
二、填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为 cm．
12．（5分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB= °．
13．（5分）已知二次函数y=x2+bx+5（b为常数），若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，则此时b的值为 ．
14．（5分）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长为18cm，底边上的高为18cm，现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 张．
第3页（共34页）
15．（5分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC等于 ．
16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β．
（1）连结BC，当BC∥x轴时，α与β的数量关系为 ； （2）当旋转后满足∠AOD=β时，则直线CD的解析式为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17，18、19，20题各8分，第21题10分，第22、23题各12分，第24题14分，共80分） 17．（8分）（1）求比例式4：3=5：x中x的值． （2）计算：sin30°﹣2sin60°+
tan45°+cos245°．
18．（8分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3
第4页（共34页）
张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是 ；
（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．
19．（8分）图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；
（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？
20．（8分）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：
≈1.73）
21．（10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交于BC点M，MN⊥AC于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．
第5页（共34页）
22．（12分）某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销售量为x（件），其中x＞0．
若在甲地销售，每件售价y（元）与x之间的函数关系式为y=﹣
x+100，每件
成本为20元，设此时的年销售利润为w甲（元）（利润=销售额﹣成本）． 若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为a元（a为常数，18≤a≤25 ），每件售价为98元，销售x（件）每年还需缴纳
x2元的附加费．设此
时的年销售利润为w乙（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）． （1）当a=18，且x=100是，w乙= 元；
（2）求w甲与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围），当w甲=15000时，若使销售量最大，求x的值；
（3）为完成x件的年销售任务，请你通过分析帮助公司决策，应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．
23．（12分）一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．
（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，AF=1，连结CE，CF，求证：EF为四边形AECF的相似对角线．
（2）在四边形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3，AC=是四边形ABCD的相似对角线，求BD的长．
（3）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是线段AB（不取端点A，B）上的一个动点，点F是射线AD上的一个动点，若EF是四边形AECF的相似对角
第6页（共34页）
，AC平分∠BAD，且AC
线，求BE的长．（直接写出答案）
24．（14分）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．
（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；
（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；
（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．
①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．
第7页（共34页）
2017-2018学年浙江省金华市义乌市四校联考九年级（上）
月考数学试卷（1月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分） 1．（4分）A．
的倒数是（ ）
B．
C．
D．
【分析】根据倒数的定义求解． 【解答】解：∵∴
的倒数是
．
，
故选：B．
【点评】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（4分）对于抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（ ） A．抛物线的开口向上 C．对称轴为直线x=1
B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3） D．当x=3时，y＞0
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【解答】解：A、∵﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，本选项错误， B、抛物线的顶点为（1，3），本选项错误， C、抛物线的对称轴为：x=1，本选项正确，
D、把x=3代入y=﹣2（x﹣1）2+3，解得：y=﹣5＜0，本选项错误， 故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．
3．（4分）下列说法正确的是（ ） A．三点确定一个圆
第8页（共34页）
B．一个三角形只有一个外接圆 C．和半径垂直的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等
【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．
【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误； B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；
C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误． 故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．
4．（4分）下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A． B． C．
D．
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答．
【解答】解：A、当EF与BC不平行时，△ABC与△DEF不一定相似，故本选项正确；
B、由∠ABC=∠EFC，∠ACB=∠ECF可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误； C、由圆周角定理推知∠B=∠F，又由对顶角相等得到∠ACB=∠EFD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；
D、由圆周角定理得到：∠ACB=90°，所以根据∠ACB=∠CDB，∠ABC=∠CBD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误； 故选：A．
第9页（共34页）
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题时，需要熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理．
5．（4分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号的积小于4的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号的积小于4的有4种情况， ∴两次摸出的小球标号的积小于4的概率是：故选：C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
=．
A．29° B．32° C．42° D．58°
【分析】作直径B′C，交⊙O于B′，连接AB′，则∠AB′C=∠ABC=29°，由等腰三角
第10页（共34页）
形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC=54°，接下来，由切线的性质可证明∠OCD=90°，最后在Rt△OCD中根据两锐角互余可求得∠D的度数． 【解答】解：作直径B′C，交⊙O于B′，连接AB′，则∠AB′C=∠ABC=29°， ∵OA=OB′，
∴∠AB′C=∠OAB′=29°． ∴∠DOC=∠AB′C+∠OAB′=58°． ∵CD是⊙的切线， ∴∠OCD=90°． ∴∠D=90°﹣58°=32°． 故选：B．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠ABC=∠OAB′=29°是解题的关键．
7．（4分）函数y=ax﹣2（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线
第11页（共34页）
与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A． 【解答】解：∵在y=ax﹣2， ∴b=﹣2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交， ∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限， ∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限， 故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
8．（4分）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°， ∴AB=2AC，BC=∵BD=BA， ∴DC=BD+BC=（2+∴tan∠DAC=故选：A．
=
）AC，
=2+
．
=
AC．
第12页（共34页）
【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．
9．（4分）二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8
【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到﹣1＜x＜4时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答． 【解答】解：对称轴为直线x=﹣解得b=﹣2，
所以二次函数解析式为y=x2﹣2x， y=（x﹣1）2﹣1， x=1时，y=﹣1，
x=4时，y=16﹣2×4=8，
∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标， ∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解． 故选：C．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
10．（4分）如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为弧AB上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，D是△PMN的外心．当点P运动的过程中，点M、N分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长为（ ）
第13页（共34页）
=1，
A．π B．π C．2 D．2
【分析】根据题意画出点N离开点O时，到点M到达点O时的图形，得到点D运动的轨迹，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：当点N与点O重合时，∠P′OA=30°，OD=OP′=2， 当点M与点O重合时，∠P′′OB=30°，OD=OP′′=2， ∵D是△PMN的外心，
∴点D在线段PM的垂直平分线上，又PM⊥OA， ∴D为OP的中点，即OD=OP=2，
∴点D运动的轨迹是以点O为圆心，2为半径，圆心角为60°的弧， 弧长为：故选：A．
=
．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计算公式l=定点D的运动轨迹是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共30分）
、根据题意确
11．（5分）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为 （15﹣5） cm．
第14页（共34页）
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB﹣AP即得到PB的长． 【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴AP=
AB=
×10=5
﹣5，
）cm．
∴PB=AB﹣PA=10﹣（5故答案为（15﹣5
）．
﹣5）=（15﹣5
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=黄金分割点有两个．
12．（5分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是
上一点，则∠ACB= 119 °． AB≈0.618AB，并且线段AB的
【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD， ∵∠AOB=122°，
∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°． ∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠ACB=180°﹣61°=119°． 故答案为：119．
第15页（共34页）
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
13．（5分）已知二次函数y=x2+bx+5（b为常数），若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，则此时b的值为 ±4 ．
【分析】根据在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等的实数根，求此时b的值即可． 【解答】解：由题意得，x2+bx+5=1有两个相等的实数根， 所以△=b2﹣16=0， 解得，b=±4． 故答案为±4．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣
，
），对称轴是直线x=﹣
，当a＞0时，抛物线在对称轴左
侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣
时，y=
；当a＜0时，抛物线在对
称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣
14．（5分）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长为18cm，底边上的高为18cm，现沿底边依次由下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 5 张．
时，y=
．
第16页（共34页）
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x， 则
=
，
解得：x=3，
所以另一段长为18﹣3=15， 因为15÷3=5，所以是第5张． 故答案为：5．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
15．（5分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC等于 8 ．
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3，再利用勾股定理，可求得BH的长，继而求得答案． 【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
第17页（共34页）
∵∠BAC+∠EAD=180°， 而∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF， ∴
=
，
∴DE=BF=6， ∵AH⊥BC， ∴CH=BH， ∵CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线， ∴AH=BF=3． ∴BH=∴BC=2BH=8． 故答案为：8．
=
=4，
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．
16．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β．
（1）连结BC，当BC∥x轴时，α与β的数量关系为 α=2β ； （2）当旋转后满足∠AOD=β时，则直线CD的解析式为 y=﹣﹣4 ．
x+4或y=
x
第18页（共34页）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，推出α=180°﹣2∠ABC，结合已知条件推出∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，即α=2β；
（2）过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，根据正切函数定义和勾股定理，推出D点的横坐标和纵坐标，求出AD的解析式，根据直线CD与直线AD垂直，且过点D即可得到CD的解析式．
【解答】解：（1）如图，由已知，得∠CAB=α，AC=AB， ∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，α=180°﹣2∠ABC， ∵BC∥x轴， ∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β， ∴α=2β．
故答案为：α=2β；
（2）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F， ∵∠AOD=∠ABO=β， ∴tan∠AOD=
=，
设DE=3x，OE=4x， 则AE=4x﹣3，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2， ∴9=9x2+（4x﹣3）2， ∴x=∴D（
， ，
），
x﹣
，
∴直线AD的解析式为：y=
第19页（共34页）
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D， ∴设y=﹣解得b=4，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1， ∴直线CD的解析式为y=﹣
x+4．
x﹣4．
x+b，把D（
，
）代入得，
=﹣
×
+b，
同理可得直线CD的另一个解析式为y=故答案为：y=﹣
x+4或y=
x﹣4．
【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题关键在于准
第20页（共34页）
确作出辅助线，求相关线段的长度和有关点的坐标．
三、解答题（本题有8小题，第17，18、19，20题各8分，第21题10分，第22、23题各12分，第24题14分，共80分） 17．（8分）（1）求比例式4：3=5：x中x的值． （2）计算：sin30°﹣2sin60°+
tan45°+cos245°．
【分析】（1）根据比例的性质外项的积等于内项的积得出关于x的方程，解之可得；
（2）先代入各三角函数值，再计算可得． 【解答】解：（1）∵=， ∴4x=15， 解得：x=
；
（2）原式=﹣2×=﹣=1．
+
+
+×1+（
）2
【点评】本题主要考查比例的性质与实数的运算，解题的关键是掌握外项的积等于内项的积和特殊锐角的三角函数值．
18．（8分）为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》（分别用字母A，B，C依次表示这三个诵读材料），将A，B，C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是
；
（2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率．
第21页（共34页）
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解：
（1）∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种， ∴小明诵读《论语》的概率=， 故答案为：； （2）列表得： 小明 小亮 A B C A B C （A，A） （A，B） （B，A） （B，B） （C，A） （C，B） （A，C） （B，C） （C，C） 由表格可知，共有9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有6种．
所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率=
．
【点评】本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点．
19．（8分）图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；
（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？
第22页（共34页）
【分析】（1）由已知得到点B、C坐标，由待定系数法求函数解析式； （2）当水位下降1m时，设纵坐标为﹣1，求出点坐标，得到水面宽度． 【解答】解：（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2+b（a≠0） ∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m ∴点C（0，2），点B（2，0） 代入得：解得
∴拱桥所在抛物线的解析式为y=﹣
（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为﹣1 令y=﹣1 则﹣1=﹣解得x=±
∴水面宽度为
【点评】本题为二次函数应用题，考查了待定系数法和通过数形结合求出图象上点坐标．
20．（8分）如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：
≈1.73）
第23页（共34页）
【分析】设每层楼高为x米，由MC﹣CC′求出MC′的长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中，利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′，由C′B′﹣C′A′求出AB 的长即可． 【解答】解：设每层楼高为x米， 由题意得：MC′=MC﹣CC′=2.5﹣1.5=1米， ∴DC′=5x+1，EC′=4x+1， 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60°， ∴C′A′=
=
（5x+1），
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30°， ∴C′B′=
=
（4x+1），
∵A′B′=C′B′﹣C′A′=AB， ∴
（4x+1）﹣
（5x+1）=14，
解得：x≈3.17，
则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4米．
【点评】此题属于解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交于BC点M，MN⊥AC于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．
第24页（共34页）
【分析】（1）先判定OM⊥MN，再说明点M在圆上即可， （2）圆中阴影部分面积的计算，用割补法求解． 【解答】证明：（1）如图，
连接OM． ∵OM=OB， ∴∠B=∠OMB． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∴∠OMB=∠C． ∴OM∥AC． ∵MN⊥AC， ∴OM⊥MN． ∵点M在⊙O上， ∴MN是⊙O的切线． （2）如图，
连接AM．
∵AB为直径，点M在⊙O上，∴∠AMB=90°． ∵AB=AC，∠BAC=120°，
第25页（共34页）
∴∠B=∠C=30°． ∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N， ∴∠AMN=30°．
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°= ∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=∴S 梯形ANMO=S 扇形OAM=∴S 阴影=
=．
=，
，
【点评】此题是切线的判定题，主要考查了切线的判定定理，用割补法求阴影部分的面积，解本题的关键是阴影部分面积的计算．
22．（12分）某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销售量为x（件），其中x＞0．
若在甲地销售，每件售价y（元）与x之间的函数关系式为y=﹣
x+100，每件
成本为20元，设此时的年销售利润为w甲（元）（利润=销售额﹣成本）． 若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为a元（a为常数，18≤a≤25 ），每件售价为98元，销售x（件）每年还需缴纳
x2元的附加费．设此
时的年销售利润为w乙（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）． （1）当a=18，且x=100是，w乙= 7000 元；
（2）求w甲与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围），当w甲=15000时，若使销售量最大，求x的值；
（3）为完成x件的年销售任务，请你通过分析帮助公司决策，应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大．
【分析】（1）根据“乙地销售利润=每件利润×销售量﹣附加费用”列式计算可得； （2）根据“销售总利润=每件利润×销售量”列方程解之可得；
（3）先根据（1）中相等关系列出w乙与x之间的函数关系式，再作差得出w甲
第26页（共34页）
﹣w乙=（a﹣18）x，结合a的取值范围即可判断．
【解答】解：（1）当a=18，且x=100时，w乙=（98﹣18）×100﹣（元），
故答案为：7000；
×1002=7000
（2）w甲=x（y﹣20）=x（﹣当w甲=15000时，﹣
x+100﹣20）=﹣
x2+80x，
x2+80x=15000，
解得：x1=300、x2=500， 由于使销售量最大， 故x=500；
（3）∵w乙=﹣∴w甲﹣w乙=﹣
x2+（98﹣a）x， x2+80x﹣[﹣
x2+（98﹣a）x]=（a﹣18）x，
∵18≤a≤25，且x＞0， ∴w甲﹣w乙＞0，即w甲＞w乙， ∴应选择在甲地销售．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，确定总利润关于销售量的相等关系，据此列出函数解析式是解题的关键．
23．（12分）一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．
（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，AF=1，连结CE，CF，
第27页（共34页）
求证：EF为四边形AECF的相似对角线．
（2）在四边形ABCD中，∠BAD=120°，AB=3，AC=是四边形ABCD的相似对角线，求BD的长．
（3）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是线段AB（不取端点A，B）上的一个动点，点F是射线AD上的一个动点，若EF是四边形AECF的相似对角线，求BE的长．（直接写出答案）
【分析】（1）如图1中，只要证明△AEF∽△ECF即可解决问题；
（2）如图2、图3中，AC是四边形ABCD的相似对角线，有两种情形：①如图2中，△ACB≌△ACD时．②如图3中，当△ACD∽△ABC时，分别求解即可； （3）分三种情形①如图4中，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线．②如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，易证EF是四边形AECF的相似对角线．③如图6中，取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则易证EF是四边形AECF的相似对角线．此时BE=3； 【解答】解：（1）如图1中，
，AC平分∠BAD，且AC
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=4， ∵AE=DE=2，AF=1， ∴
=
=，
∵∠A=∠D=90°， ∴△AEF∽△DCE， ∴∠AEF=∠DCE，
=
=，
∵∠DCE+∠CED=90°， ∴∠AEF+∠CED=90°，
第28页（共34页）
∴∠FEC=∠A=90°， ∵∴
==
=， ，
∴△AEF∽△ECF，
∴EF为四边形AECF的相似对角线．
（2）如图2中，
∵AC是四边形ABCD的相似对角线， ∴有两种情形：
①如图2中，△ACB≌△ACD时，∵AB=AD=3，BC=CD， ∴AC垂直平分DB，
在Rt△AOB中，∵AB=3，∠ABO=30°， ∴BO=AB•cos30°=∴BD=2OB=3
．
，
②如图3中，当△ACD∽△ABC时，可得AC2=AB•AD， ∴3=3AD， ∴AD=1，
在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=1， ∴AH=AD=，DH=在Rt△BDH中，BD=
AH=， =
=
．
（3）①如图4中，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似
第29页（共34页）
对角线，
设AE=EC=x，
在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2， ∴x2=（6﹣x）2+42， 解得x=
，
=．
∴此时BE=AB﹣AE=6﹣
②如图5中，如图取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，易证EF是四边形AECF的相似对角线．
由△AEF∽△DFC得到，∴
=，
=，
∴AE=， ∴BE=AB﹣AE=
．
③如图6中，取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则易证EF是四边形AECF的相似对角线．此时BE=3．
第30页（共34页）
综上所述，满足条件的BE的值为 或或3．
【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（14分）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．
（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；
（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；
（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．
①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值； ②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．
第31页（共34页）
【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；
（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．
∵四边形CDHO是矩形， ∴OC=DH=6， ∵tan∠DAH=∴AH=3， ∵OA=4， ∴CD=OH=1， ∴D（1，6），
把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有解得
，
，
=2，
∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．
（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．
第32页（共34页）
∵∠CPA=90°， ∴PC2+PA2=AC2，
∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62， 解得m=3±∴P（2，3+
，
），P′（2，3﹣
）．
（3）①如图2中，
易知直线AE的解析式为y=﹣x+4， x=1时，y=3， ∴D′（1，3），
平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m， 把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m， ∴m=3． ②由
，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，
第33页（共34页）
当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0， ∴92﹣4×2×（4+m）＞0， ∴m＜
，
或2﹣
（舍弃），
③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+综上所述，当2+
≤m＜
时，抛物线M2与直线AE有两个交点．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．
第34页（共34页）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容