高中数学新教材高一下期末复习第二讲复数复习与检测(解析版)

一 知识结构图

内 容 复数的概念 复数的几何意义 考点 纯虚数 复数对应的点、向量 复数的加、减、乘、除 关注点 复数

二.学法指导

复数的运算 1.处理复数概念问题的两个注意点

(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 2. 复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似．

3．复数的除法运算，将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式. 4．利用复数相等，可实现复数问题的实数化．

5.一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．

三.知识点贯通

知识点1 复数的概念

1.复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)

全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．

2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数⇔b＝0，②z为虚数⇔b≠0，③z为纯虚数⇔a＝0，b≠0，④z＝0⇔a＝0，且b＝0. 3.复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 11

例题1.(1)复数＋的虚部是( )

－2＋i1－2i11A.i B. 551C．－i

5

1D．－

5

(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )

A．1 C．1或2 (1)【答案】B

B．2 D．－1

－2－i1＋2i－2－i1＋2i11111

【解析】＋＝＋＝＋＝－＋i，故虚部为.故选B。

55555－2＋i1－2i－2＋i－2－i1－2i1＋2i(2)【答案】B

a2－3a＋2＝0，

【解析】由纯虚数的定义，可得解得a＝2，故选B。

a－1≠0，

知识点二 复数的四则运算

1.复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2， 2.复数加法与减法的运算法则

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则

①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. (2)对任意z1，z2，z3∈C，有

①z1＋z2＝z2＋z1；

②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3.复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 4.复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有：（1）交换律：z1·z2＝z2·z1 （2）结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)

（3）乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 5.复数代数形式的除法法则

ac＋bdbc－ad

(a＋bi)÷(c＋di)＝22＋22i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)

c＋dc＋d例题2： (1) 已知z是z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝( )

A．1＋i C．－1＋i

(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝A．－4＋3i

B．1－i D．－1－i

3＋2iz1

，则＝( )

z22＋i2

B．3＋4i

C．3－4i （1）【答案】A

D．4－3i

【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入z·zi＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2

2a＝2，

＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，由复数相等的条件得，

a＝1，∴∴z＝1＋i，故选A. b＝1.

a2＋b2＝2b，

(2)【答案】D

13i3＋4iz12－3i2＋i22－3i3－2i2＋i2【解析】＝＝＝－＝4－3i.

z2133＋2i3＋2i3－2i知识点三 复数的几何意义及其应用 1.复数的几何意义

2.复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2， 例题3.已知z是复数，z＋2i，

z

均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围． 2－i

【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2. 又

x－2i1z＝＝(x－2i)(2＋i) 2－i2－i5

11

＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数， 55∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限，

212＋4a－a>0，∴解得20，

∴实数a的取值范围是(2,6)． 五 易错点分析 易错一 复数的虚部

例题4.若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为( )

A．0 B．－1 C．1 D．－2 【答案】A

【解析】因为z＝1＋i，所以z＝1－i，所以z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A. 误区警示

对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，虚部为b，而不是bi。

核心素养聚焦

考点一 逻辑推理-复数、向量、点的对应关系

→→

例题5.已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若OC＝2OA→

＋OB，则a＝ ，b＝ . 【答案】－3 －10

→→→

【解析】∵OC＝2OA＋OB，∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)，

1＝4＋a，a＝－3，即∴ －4＝6＋b，b＝－10.

考点二 数学运算-复数运算

例题6、若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为( )

A．0 B．－1 C．1 D．－2 【答案】A

【解析】因为z＝1＋i，所以z＝1－i，所以z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A. 考点三 直观想象-复数的几何意义

－2＋3i例题7.在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )

3－4i

A．第一象限 C．第三象限 【答案】B

－2＋3i－2＋3i3＋4i－18＋i－2＋3i181

【解析】＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．

252525253－4i3－4i

B．第二象限 D．第四象限

学业质量测评

一、选择题

1．设i是虚数单位，若复数zA．

i，则z= 1iC．1

11i 22B．1

1i 21i 2

D．

11i 22【答案】A 【解析】由题得zi(1i)1i11i+i.故答案为：A =

(1i)(1i)2221i2．设zA．0

1i2i，则|z| 1iB．

1 2C．1 D．2

【答案】C 【解析】z1i1i2i1i2ii2ii， 1i1i1i则z1，故选c. 3．设zA．1 【答案】D

3i，i是虚数单位，则z的虚部为（ ） iB．-1

C．3

D．-3

3i13iz的虚部为-3，选D. ii4．已知i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ）

12i【解析】因为z=A．第一象限 【答案】B 【解析】限，选B 5．已知复数z1B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

zi12ii2i21ii，故z在复平面内对应的点位于第二象12i12i12i55512i2，z2aiaR，若z1，z2在复平面中对应的向量分别为OZ1，OZ2（O为坐1i标原点），且OZ1OZ22，则a（ ） A．1 【答案】D

B．1

C．3

D．1或3

【解析】由题意知OZ11,1，OZ2a,1，因此OZ1OZ2a1,0，故a14，解得a1或3，故选D.

6．复数z满足z1i13i，则复数z等于（） A．1i 【答案】B

【解析】复数z满足z1i13i2，∴z故选B.

7．若zmm6(m2)i为纯虚数，则实数m的值为（ ） A．-2 【答案】C

B．2

C．-3

D．3

B．1i

C．2

D．-2

221i21i， 1i1i1i2m2m302zmm6m2i【解析】因为，解得m3，故选C． 为纯虚数，所以m208．已知i为虚数单位，zA．2i 【答案】D 【解析】z4，则复数z的虚部为( ). 1iB．2i

C．2 D．2

41i41i422i,故虚部即为i的系数，为-2，故选D． 1i1i1i21ai（aR，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则a的值为（ ） 2iB．-1

C．3

D．-3

9．如果复数A．1 【答案】D

1ai1ai2i2a12ai2a12a【解析】，由题意知：，解得a3. 2i2i2i555故选D.

10．已知i是虚数单位，若2iz(1i)，则z的共轭复数z对应的点在复平面的( ) A．第一象限 【答案】D

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【解析】由2+i＝z（1﹣i），得z2i1i2i13i， 1i1i1i22∴z1313i，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（，），在复平面的第四象限．故选D． 222211．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A．第一象限 【答案】B

【解析】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈故选B.

12．（多选题）若复数zA．z的虚部为i 【答案】ABC 【解析】z，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2，其中i为虚数单位，则下列结论不正确的是（ ） 1iC．z的共轭复数为1i D．z2为纯虚数

B．z2

21i21i 1i1i1iz的虚部为1，A错误；z1122，B错误；z1i，C错误；

z21i2i，为纯虚数，D正确本题正确选项：ABC

二、填空题

13．已知x,yR，i为虚数单位，且(x2)iy1i，则xy=_____. 【答案】4

【解析】利用复数相等，可知由x21,y1有xy4． 14．复数z【答案】12i的实部为__________． 1i1 212i12i1i13i131i，则复数z的实部为． 【解析】复数z1i22221i1i故答案为1． 21i201915．=_________．

1i【答案】i．

1i20191i31i(1i)22ii． 【解析】解法一：

1i1i1i(1i)(1i)21i3(1i)(1ii2)解法二：1ii2i．

1i1i16．设复数𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)的模为√3，则(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎−𝑏𝑖)=________________. 【答案】3

【解析】由|𝑎+𝑏𝑖|=√3得三、解答题

，即𝑎2+𝑏2=3，所以(𝑎+𝑏𝑖)(𝑎−𝑏𝑖)=𝑎2+𝑏2=3.

(1i)23(1i)17．已知复数z（i为虚数单位）

2i（1）求z；

（2）若z2azb1i，求实数a,b的值． 【答案】（1）z1i（2）a3,b4

(1i)23(1i)2i33i55i【解析】（1）z1i.

2i2i5（2）∵复数z1i,z2azb1i，(1i)a(1i)b1i， ∴ab(2a)i1i，∴ab1，2a1，∴a3,b4. 18．已知复数z(a24)(a2)i,aR． （1）若z为实数，求实数a的值； （2）若z为纯虚数，求实数a的值；

（3）若z在复平面上对应的点在直线x2y10上，求实数a的值． 【答案】（1）a2（2）a=2（3）a1 【解析】（1）若z为实数，则a20，a2；

2a240（2）若z为纯虚数，则， 解得实数a的值为2；

a20（3）z在复平面上对应的点a4，a2，

2在直线x2y10上，则a42a210，即a22a10 解得a1．

2(1i)23(1i)319．已知复数zi

2i（1）求复数z的共轭复数z；

（2）若z2azb12i，求实数a,b的值． 【答案】（1）z12i．（2）a3,b1 【解析】（1）

z1i231i2ii3 2i33i(3i)(2i)55iiii12i，

2i55复数z的共轭复数z12i

（2）

z2azb12i，12ia12ib12i3ab42ai12i

23ab1a3,b1. 42a220．若复数1i2mi为纯虚数，其中i为虚数单位，mR （1）求实数m的值；

（2）若用mi为实系数方程xa2xa0的根，求实数a的值．

22【答案】（1）2；（2）2. 【解析】 （1）

2m0(1i)(2mi)2m(2m)i为纯虚数，，解得m2．

2m0实数m的值是2；

（2）mi为实系数方程x(a2)xa0的根，实系数方程虚根成对，

由韦达定理可知，a22i2i0，且(2i)(2i)a，即a2．实数a的值是2．

22221．已知i是虚数单位，复数z11i，z21i，z（1）判断z是否为纯虚数，并说明理由；

12233（2）求C100zC100zC100zz11． z2100C100z100的值．

【答案】（1）不为纯虚数，理由详见解析；（2）0. 【解析】（1）z1i11i，不为纯虚数； 1i100C100z100z112233（2）C100zC100zC100z1001i10010．

222．已知复数z3xxxi(xR)的实部与虚部的差为f(x)．

（1）若f(x)8，且x0，求复数iz在复平面内对应的点的坐标； （2）当f(x)取得最小值时，求复数【答案】（1）(2,6)．（2）z的实部． 12i7 522【解析】（1）由题意可得f(x)3xxxx2x，因为f(x)8，所以x22x8，

又x0，所以x2，即z62i，则izi(62i)26i， 所以iz在复平面内对应的点的坐标为(2,6)．

2（2）因为f(x)(x1)1，所以当x1时，f(x)取得最小值，

z32i(32i)(12i)74i， 12i12i555z7所以的实部为．

12i5此时，z32i，则