施肥效果分析

摘要

本文运用Matlab软件，分别绘制出土豆与生菜的产量与三种肥料之间关系的散点图，运用最小二乘法和逐步回归方法进行拟合,得出变量之间的函数关系式和相应的结论。根据所得的回归方程，建立相应的产量模型，计算出最佳施肥量和最大产量，从而对应用价值做出评估分析。为了更加符合实际情况，本文从土豆和生菜产生的经济效益方面出发建立了以最大利润为目标的效益模型，对产量模型进行改进。

问题一：运用最小二乘法和逐步回归方法，建立了两个模型来表示施肥量与产量的关系。

模型一：在原有数据的基础上，运用matlab绘制出相应的散点图，观测分析后，依据经验公式确定函数类型，并采用最小二乘法分别拟合氮、磷、钾与土豆、生菜产量的曲线方程。其中钾肥与生菜产量的散点图数据分布极不合理，于是剔除了离曲线最远的两个点，对剩余的点进行曲线拟合。用matlab计算出函数参数，最终得到六个施肥量与产量关系的回归方程。

模型二：结合三种肥料施用量对产量的影响得出一个关于氮肥施肥量，钾肥施肥量，磷肥施肥量，产量的综合回归方程。基于模型一的六个回归方程，代入原始施肥量数据，得出六组新的产量数据。在新数据的基础上，在spss软件中运用逐步回归法得出回归方程。根据回归方程，求其边际产量，对实际生产的肥料使用提出建议。

问题二：根据问题一的两个模型方程，使用LINGO软件，分别计算最大产量下的施肥量,计算其经济收益并比较大小，从而对两个模型的应用价值做出评价。

问题三： 建立效益模型，使用LINGO软件，计算出收益最高时的产量、施肥量和利润，与最大产量下得到的利润相比较，得出效益模型所获得的利润比产量模型更多，从而依据效益模型的三种肥料的配比来改进模型。

关键词：最小二乘法 效益模型 产量模型 拟合曲线 逐步回归法

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一、问题的背景与提出

某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N） 、钾（K） 、磷（P） 。某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如土豆产量关于N的施肥量作实验时，P与K的施肥量分别取为196kg/ha与372kg/ha. 试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。

具体数据如下表所示。

表0：施肥量与产量（土豆） N P K 施肥量产量（t/ha） 施肥量产量（t/ha） 施肥量产量（t/ha） （kg/ha） （kg/ha） （kg/ha） 0 15.18 0 33.46 0 18.98 34 21.36 24 32.47 47 27.35 67 25.72 49 36.06 93 34.86 101 32.29 73 37.96 140 38.52 135 34.03 98 41.04 160 38.44 202 39.45 147 40.09 279 37.73 259 43.15 196 41.26 372 38.42 336 43.46 245 42.17 465 43.87 404 40.83 294 40.36 558 42.77 471 30.75 342 42.73 651 46.22 生菜 N P K 施肥量产量（t/ha） 施肥量产量（t/ha） 施肥量产量（t/ha） （kg/ha） （kg/ha） （kg/ha） 0 11.02 0 6.93 0 15.75 28 12.70 49 9.48 47 16.76 56 14.56 98 12.46 93 16. 84 16.27 147 14.38 140 16.24 112 17.75 196 17.10 186 17.56 168 22.59 294 21.94 279 19.26 224 21.63 391 22. 372 17.97 280 19.37 4 21.34 465 15.84 336 16.12 587 22.70 558 20.11 392 14.11 685 24.53 651 19.40 在这样的背景下，我们提出以下问题：

1、怎样建立模型来分析施肥量与产量之间的关系？ 2、如何通过建模来对所得结果的应用价值进行估价？

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3、怎样在保证利润最大的情况下，该如何改进施肥方案，并进行估价?

二、基本假设

1、假设在做实验时，其他环境因素，如水分，阳光，虫害危害度，空气湿度，土壤透气度，都是适合于植物生长的。 2、假设生产出的土豆和生菜全部卖出。

3、假设模型中用到的肥料价格，种子价格以及收购价格是同一个地区的。 4、假设题目中的氮肥、磷肥、钾肥分别是尿素、过磷酸钙、硫酸钾。 5、假设模型中用到的肥料价格，种子价格以及收购价格等都是92年的。

三、主要变量符号说明

为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表1所示。

表1 ：主要变量符号说明一览表 符号 P S B C SP SC FC US Y W 变量 利润（元） 销售额（元） 收购价（元/千克） 总成本（元） 种子价格（元/千克） 种子成本（元） 肥料总成本（元） 用种（千克/亩） 亩产（千克/亩） 产量（千克） 氮肥的用量（千克） 磷肥的用量（千克） 钾肥的用量（千克） X1 X2 X3

四、问题的分析

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基于原题的实验数据，我们主要要解决的问题是： 1、 怎样建立模型来描述施肥量与产量之间的关系。

2、 对模型的应用价值进行估价，得出经济效益和最大产量。 3、 如何对模型进行改进并对最大经济效益估价。 对于以上三个问题，我们决定按照以下思路来解决。

首先我们观察用matlab画出的各个表格中给出的氮肥，钾肥，磷肥与土豆，生菜产量的数据散点图。发现N肥与土豆、生菜产量是比较明显的二次关系。而对于P肥与土豆产量的关系，有多个谷峰，符合五次关系，而与生菜的关系符合三次关系。至于K肥与土豆产量的关系符合多次关系，K肥与生菜产量关系的散点分布比较混乱，极不规律。

我们视氮肥，钾肥，磷肥的施用量与土豆、生菜产量的关系都符合二次函数关系。因为根据经验公式，施肥量与产量是大致符合二次函数关系的，而不是一直随着施肥量增加而增加的，即一旦施肥量过多后，产量就没有再增加的可能了。我们将散点图中氮肥、钾肥、磷肥的施肥量与作物产量不符合二次关系的数据视作实验误差。

我们运用两个主要模型来对曲线进行拟合。用spss,lingo拟合曲线得出回归方程。再对其应用价值进行估价并建立模型，即以最大产量为目的的产量模型。查出各项成本，亩产等数据，改进产量模型，建立以最大经济效益为目的的效益模型。

模型1：用最小二乘法对氮肥、钾肥、磷肥施肥量分别与土豆，生菜产量的关系进行曲线拟合并得出回归方程。根据经验公式，我们将土豆，生菜与三种肥料的关系都示为二次关系。然后用matlab做出六条曲线拟合图并得出公式。但是其中K肥施用量与生菜产量无法得到二次函数的结果，我们根据二次函数的趋势，剔除了两个偏离曲线最大的点后，基于剩余数据，得出了K施肥量与生菜产量的二次函数。

模型1.1：以土豆为例，根据模型1的三个回归方程（即氮肥施用量与土豆产量关系方程，磷肥施用量与土豆产量关系方程，钾肥施用量与土豆产量关系方程），分别计算出产量W的最大值和肥料施用量，经过比较氮肥，磷肥，钾肥施用量与土豆产量关系的三个产量W最大值，得出土豆的最大产量值和此时各项肥料的施肥量。根据多个网站提供的巴拉巴拉，利用利润公式，得出最大产量时的利润。

模型1.2：以土豆为例，利用模型一的三个回归方程和利润公式，用lingo计算土豆利润的最大值（即二次方程求解最大值点），并求出此时土豆的最大产量。利润公式如下。

利润销售额-成本收购价销售额销量（产量） 成本肥料总成本种子成本种子成本种子价格产量亩用种量亩产 模型2：运用逐步分析法对氮肥、磷肥、钾肥的施用量与产量的关系进行多项式回归分析并得出回归方程。基于原题表格中原有数据，我们在spss中对氮肥、钾肥、磷肥与土豆、生菜产量进行曲线拟合。而拟合后得到的三元二次函数方程在lingo中进行最大产量求解时，出现了错误。为了避免原数据误差度高造成的不合理拟合结果，在保持数据真实性的情况下得出可靠合理的拟合曲线，我

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们利用模型一得到的六个回归方程对原有数据进行修改。基于经过合理修改得到的新数据，我们在spss软件中运用逐步回归法得出N、P、K的施肥量与产量关系的回归方程。以土豆为例，根据模型2的回归方程（即氮肥施用量、磷肥施用量、钾肥施用量与土豆产量关系），分别对N、P、K进行一阶偏导，以求各施料对作物产量的敏感度（即边际产量），并对实际生产过程提出建议。

模型2.1：以土豆为例，根据模型2得出的回归方程（即氮肥施用量、磷肥施用量、钾肥施用量与土豆产量关系），得出土豆的最大产量值和此时的各项施肥量。

模型2.2：以土豆为例，根据模型2的回归方程（即氮肥施用量、磷肥施用量、钾肥施用量与土豆产量关系）和利润公式，得出土豆最大利润和最大利润时的各项肥料的施用量。

五、问题模型的建立和求解

5.1 N、P、K的分别施肥量与土豆、生菜产量的关系模型 5.1.1对数据散点图的观测及分析

在原有数据的基础上，我们用matlab分别画出三种元素施肥量与土豆及生菜产量的散点图，如下图所示：

图1：施肥量与产量关系散点图

（此图为原图缩小后的图，只做大致趋势的观测，详情请见附录）

由上图可以看出，N肥与产量的关系，施肥量越高，产量越高，但到达一个顶峰时，施肥量再增加，产量反而减小，N肥与土豆、生菜产量是比较明显的二次关系。而对于P肥与土豆产量的关系，有多个谷峰，符合五次关系，而与生菜的关系符合三次关系。至于K肥与土豆产量的关系符合多次关系，K肥与生菜产量关系的散点分布比较混乱，极不规律。

根据经验，施肥量小于某一范围之前，产量随着施肥量的增加而增加，而超过这一范围之后，产量则会随之减小。这是因为若N过多，体内含糖相对较少，

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茎干中的机械组织不发达，易倒伏和被病虫危害；植物体内含P过多，会阻碍硅的吸收，水溶性磷酸盐还可与土壤中的锌结合，降低锌的有效性，施用磷肥过多容易引起缺锌病；施用K肥过多会抑制植物对镁、钙、氮的吸收，造成菜叶“腐心病”、苹果“苦痘病”等损失。因此，根据经验公式，施肥量与产量是大致符合二次函数关系的，而不是一直随着施肥量增加而增加的，一旦施肥量过多后，产量就没有再增加的可能了。我们将上图中施肥量与产量不符合二次关系的数据视作实验误差。

5.1.2 运用最小二乘法对施肥量与产量曲线拟合 1）最小二乘法与曲线拟合

曲线拟合是从给定的N个点求一条最接近这一组数据点的曲线，以显示这些点的总的趋向的过程。最小二乘法能够得到使数据的平方误差和最小的拟合曲线，它的原理是：等精度测量的有限测量系列，寻求一个真值，使得误差的平方和达到最小。

在matlab中运用最小二乘法对产量的曲线拟合。结果如下图所示。其中K肥施用量与生菜产量无法得到二次函数的结果，我们根据二次函数的趋势，剔除了两个偏离曲线最大的点后，基于剩余数据，得出了K施肥量与生菜产量的二次函数。

图2：施肥量与产量关系曲线拟合图

（此图为原图缩小后的图，只做大致趋势的观测，详情请见附录）

同时得到六个肥料施用量与产量的二次回归方程，如下表所示。

表2 ：N、P、K施用量与土豆、生菜产量的回归方程表 N肥施用量与土豆产量公式 P肥施用量与土豆产量公式

W0.34X12197.15X114741.6 W0.139X2271.94X232912.6

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K肥施用量与土豆产量公式 N肥施用量与生菜产量公式 P肥施用量与生菜产量公式 K肥施用量与生菜产量公式

W0.07X3274.97X324414.4

W0.218X1292.6X110530

W0.045X2253.621X27317

W0.12X3213.85X315630

5.1.3建立以最大产量为目标的产量模型并估价 基于上一步的六个回归方程，用lingo分别算出它们对应的最大产量及最大产量时的肥料施用量。其中运用到非线性规划模型。如下表所示。

表3：六个最大产量及施肥量 N肥施用量与土豆产量公式下的最大产量 P肥施用量与土豆产量公式下的最大产量

X12.93 Wmax43321.10

X2258.78 Wmax 42220.81

44487.62 K肥施用量与土豆产量公式的下最大产量 X3535.50 Wmax N肥施用量与生菜产量公式的下最大产量 X1213.06 Wmax20426.41

P肥施用量与生菜产量公式的下最大产量 X2595.79 Wmax23290.40 K肥施用量与生菜产量公式的下最大产量

X357.71 Wmax16029.63

由上表得出土豆和生菜最大产量和最大产量时N、P、K的施肥量，结果汇总

如下表所示。

表4：土豆、生菜最大产量及此时的各项施肥量 农作物名称 土豆 生菜 最大产量 （千克） 44487.62 23290.40 肥料施用量（千克） N肥 259 259 P肥 196 595.79 K肥 535.50 372 关于原题中肥料的施用量是指纯元素的施用量还是某种肥料的施用量，我们通过对比多个网站发现N、P、K的施用量是纯元素的量。首先，各大网站上的N、

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P、K肥料分别的施肥量是相近的，接着我们通过计算得出结果。以土豆所需氮肥量为例，一亩所需施用尿素11-16千克，亩产为1500-2000千克（一公顷为15亩）。根据题目所给的施肥量与产量关系表，及尿素的氮含量46.66% ，可知原题某实验中用的N、P、K的施用量是纯元素量。

我们分别查出土豆与生菜的收购价，种子成本价格，亩产以及亩用种量，如下图所示。

表5：土豆、生菜相关数据表 农作物名称 农作物收购价种子价格（元/亩产（千克） 用种（千克/（元/千克） 千克） 亩） 土豆 2 2.56 1330-1650 120 生菜 6 500 1500-2000 0.02 施用各肥料价格，如下表所示。

表6：肥料相关数据表 肥料名称 有效元素含量 价格（元/千克） 尿素 46.66% 2.15 过磷酸钙 20.39% 0.73 硫酸钾 44.83% 3.45 在计算利润时，我们无法查得土豆以及生菜的需求量，因此用产量来代替销售量，于是我们得出利润公式：

利润销售额-成本收购价销售额销量（产量） 成本肥料总成本种子成本种子成本种子价格产量亩用种量亩产整理后得

（其中P代表利润（元），W表示产量（千克），B表示农作物的收购价（元/

千克），FC表示肥料总成本（元），SP表示种子价格（元/千克），US表示用种（千克/亩），Y表示亩产（千克/亩）。）

根据公式，用lingo计算出最大产量下的利润。结果如下表所示。

表7：最大产量及此时利润表 农作物名称 最大产量（千克） 总利润（元） 土豆 44487.62 78747 生菜 23290.40 1300 5.1.4建立以最大经济利益为目的的效益模型及估价 上述产量模型以最大产量为目的，得出了最大产量时的土豆和生菜每公顷的利润。此时的利润并不是最大的，因为利润与肥料成本，种子成本等多项因素有

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关。站在菜农的角度上，经济利益无疑是评价一个模型好坏最重要的指标之一，于是我们以最大经济利益为目标建立了效益模型，得出最大经济收益和最大经济收益时的产量及施肥量。

基于查证出的同一地区的农作物相关数据及肥料相关数据，作出取平均值的处理后，可直接得出同一地区农作物的收购价（元/千克），种子价格（元/千克）， 用种（千克/亩），亩产（千克/亩），即是利润公式中B，SP，US，Y四个变量。 而关于利润公式中的W产量（千克）和FC肥料总成本（元），我们利用5.1.2中得出的N、P、K施用量与土豆、生菜产量的六个回归方程，得出六个一一对应的W，FC的表示公式，进而得到六个总利润公式，以N肥施用量与土豆产量的关系公式为例，我们给出利润总公式如下所示。

P1.7952W1.0033X10.14X21.66X3

我们用lingo软件来对其进行非线性规划，以最大利润为目标，运行代码如

下所示：

Max1.7952W1.0033X10.14X21.66X3W0.34X197.15X114741.621

（其中X2，X3都是定值，即原数据中的第七水平值。）

比较六个公式计算出的利润，可得出最大利润，以及最大利润时的施肥量。结果如下表所示。

表8：六个最大利润表 N肥施用量与土豆产量公式下的最大利润 P肥施用量与土豆产量公式下的最大利润 K肥施用量与土豆产量公式的下最大利润 N肥施用量与生菜产量公式的下最大利润 P肥施用量与生菜产量公式的下最大利润 K肥施用量与生菜产量公式的下最大利润

分别将土豆、生菜三个利润进行比较得出土豆，生菜最大利润及施肥量。如下表所示。

表9：土豆、生菜的最大利润及此时的肥料施用量 农作物名称 最大利润 肥料施用量（千克） （元） N肥 P肥 K肥 土豆 78751.71 259 196 536.35 9

生菜 1302.5 259 595.6733 372 5.2 N、P、K的施肥量与土豆、生菜产量的综合关系模型 在模型一中，我们分别求出了土豆和生菜的每种肥料的施肥量在另两种肥料保持在第七水平的施肥量下时与农作物产量的关系，得出了六个二次方程，但是这并不能全面的表示各种肥料施肥量之间与产量之间的关系。农作物产量并不是受单一肥料的影响，如果能将三种肥料统一成一个公式那么就能更好的代表施肥量与产量的关系。于是我们建立N、P、K的施肥量与土豆、生菜产量的综合关系模型。

5.2.1 施肥量与产量综合关系的多项式回归模型 1）多项式回归简介

回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。回归分析的基本思想是： 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系，但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。回归分析有很广泛的应用，例如实验数据的一般处理，经验公式的求得，因素分析，产品质量的控制，气象及地震预报，自动控制中数学模型的制定等等。

而多项式回归分析是研究多个变量之间关系的非线性回归分析方法，按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析（简称为“一对多”回归分析）及多个因变量对多个自变量的回归分析（简称为“多对多”回归分析）。

题中变量X1，X2，X3（即氮肥施用量，磷肥施用量，钾肥施用量） 间的相关分析称为多元相关(偏相关)分析。 应变量W与自变量X1，X2，X3 的回归分析，称为多元回归分析。 由于有多个自变量，W与自变量的多次式及自变量乘积项的回归，称多元多项式回归。

2）逐步回归法的步骤

将每种蔬菜的三种肥料施肥量和产量的数据制作成一张表格，再引入X1X1，

2，X3X3代表X32）。 X2X2，X3X3三个变量。（X1X1代表X12，X2X2代表X2对全部因子（即X1，X2，X3，X1X1，X2X2，X3X3）按其对W产量（千克）影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并

随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，当回归方程中所含的所有变量对W的作用都显著时，才考虑引入新的变量。再在剩下的未选因子中，选出对W作用最大者，检验其显著性，显著者则被引入方程，不显著，则不引入。直到最后再没有显著因子可以引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。从方法上讲，逐步回归分析并没有采用什么新的理论，其原理还只是多元线性回归的内容，只是在具体计算方面利用一些技巧。

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3）用原数据进行拟合

基于原题表格中原有数据，运用逐步回归法进行多项式回归分析，我们在spss中对氮肥、钾肥、磷肥与土豆、生菜产量进行曲线拟合。然而由于数据在实验误差度和丰富程度上的缺陷，对拟合后得到的三元二次函数方程在lingo中进行最大产量求解时，出现了错误。这是因为，根据原数据得到的钾肥，磷肥施用量与土豆，生菜产量的散点图，并不符合二次曲线趋势，逐步回归后得到的综合回归方程也不是符合趋势的，即产量会随着施肥量的增加而无限增加，这显然与实际不符。

4）对原数据处理得到新数据

为了避免原数据误差度高造成的不合理拟合结果，在保持数据真实性的情况下得出可靠合理的拟合曲线，我们对原有数据进行修改。运用模型一得出的六个各项肥料与农作物产量的回归方程，代入原始施肥量的数据，计算得出六组新的产量数据。新数据如下表所示。

处理后土豆施肥量与产量 N 施肥量处理后产量（kg/ha） （t/ha） 0 14.74 34 21.05 67 26.43 101 31.19 135 35.17 202 40.71 259 43.02 336 42.65 404 38.97 471 30.28 N 施肥量处理后产量（kg/ha） （t/ha） 0 10.23 28 12.88 56 15.16 84 17.06 112 18.59 168 20.53 224 20.96 280 19.93 336 17.39 392 13.35

P 施肥量处理后产量（kg/ha） （t/ha） 0 32.92 24 34.56 49 36.11 73 37.43 98 38.63 147 40.50 196 41.71 245 42.25 294 42.13 342 41.37 处理后生菜施肥量与产量 P 施肥量处理后产量（kg/ha） （t/ha） 0 6.88 49 9.72 98 12.30 147 14.61 196 16.67 294 19.99 391 22.24 4 23.47 587 23.66 685 22.79 11

K 施肥量处理后产量（kg/ha） （t/ha） 0 24.41 47 27.78 93 30.78 140 33. 160 35.94 279 39. 372 42.62 465 44.15 558 44.47 651 43.58 K 施肥量处理后产量（kg/ha） （t/ha） 0 15.63 47 16.26 93 16.82 140 17.34 186 17.80 279 18.59 372 19.17 465 19.56 558 19.74 651 19.72 5）得出施肥量与产量关系的回归方程

表10:土豆spss报表 非标化系数 步骤 1 (常数) N 2 (常数) N K 3 (常数) N K NN 4 (常数) N K NN P 5 (常数) N K NN P KK 6 (常数) N K NN P KK PP 系数 25224.045 43.444 15709.733 45.437 26.679 5214.517 155.121 30.317 -.256 -624.935 162.737 31.411 -.271 26.097 -6180.928 175.242 62.595 -.296 29.522 -.052 -12835.335 190.253 73.470 -.326 84.150 -.068 -.171 标准误 3169.8 12.341 3656.276 10.132 7.212 2516.570 16.003 4.115 .035 2297.191 12.109 3.092 .026 5.868 1867.396 8.501 6.204 .018 4.012 .010 562.9 2.166 1.579 .005 3.000 .002 .009 标化系数 回归系数 .568 .594 .490 2.029 .557 -1.534 2.128 .577 -1.626 .253 2.292 1.150 -1.775 .286 -.602 2.488 1.350 -1.955 .815 -.780 -.5 检验的值 7.957 3.520 4.297 4.485 3.699 2.072 9.693 7.367 -7.342 -.272 13.440 10.158 -10.297 4.447 -3.310 20.613 10.090 -16.113 7.358 -5.338 -22.800 87.844 46.531 -70.325 28.047 -27.522 -19.203 P值 .000 .002 .000 .000 .001 .049 .000 .000 .000 .788 .000 .000 .000 .000 .003 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000

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从表中可以看出N的施肥量的偏回归平方最大，说明它对土豆产量的显著性最强，对土豆产量影响最大。所以对土豆施肥时要格外注意氮肥的施用量。

表11:生菜spss报表 非标化系数 步骤 1 (常数) P 2 (常数) P N 3 (常数) P N NN 4 (常数) P N NN K 5 (常数) P N NN K PP 6 (常数) P N NN K PP KK 系数 92.1 21.084 6858.292 21.513 12.407 2260.571 23.014 72.429 -.170 -948.448 23.580 77.424 -.182 7.553 -4377.723 41.833 86.676 -.203 8.659 -.029 -8853.406 48.739 98.745 -.232 27.921 -.038 -.032 标准误 1439.298 3.7 1915.272 3.562 6.219 1627.287 2.536 12.569 .033 1657.435 2.124 10.598 .028 2.234 1567.259 4.946 8.3 .023 1.775 .007 1284.101 3.415 5.968 .015 3.597 .005 .006 1.712 1.986 1.469 1.743 -1.3 .2 -.673 .828 1.557 -1.376 .252 .808 1.457 -1.287 .755 .250 .740 标化系数 回归系数 检验的值 6.630 5.616 3.581 6.039 1.995 1.3 9.074 5.763 -5.098 -.572 11.100 7.306 -6.480 3.381 -2.793 8.458 10.028 -8.971 4.877 -3.920 -6.5 14.270 16.4 P值. .000 .000 .001 .000 .057 .178 .000 .000 .000 .573 .000 .000 .000 .003 .011 .000 .000 .000 .000 .001 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 -1.759 -14.996 .932 -.0 -.663 7.763 -7.593 -5.9 从表中可以看出P的施肥量的偏回归平方最大，说明它对生菜产量的显著性最强，对生菜产量影响最大。所以对生菜施肥时要格外注意氮肥的施用量。

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基于经过合理修改得到的新数据，我们在spss软件中运用逐步回归法得出N、P、K的施肥量与产量关系的回归方程。 N、P、K施肥量与土豆产量的方程为：

N、P、K施肥量与生菜产量的方程为：

6） 边际产量

施肥量是否增产，幅度如何？这是科学施肥量管理中应明确的。从产量与施肥量的二次函数派生出的边际产量方程，说明了因营养元素投入的微小变化而引起产量的变化大小，即产量变化率或斜率。以下为土豆和生菜的偏微分方程

土豆的偏微分方程 生菜的偏微分方程

WW0.652X190.2530.4X198.7451X1X1WW0.342X84.150.076X248.739 2XX22W0.134X73.47W0.0X27.92133XX33上述方程中变量前的系数即是肥效作为作物对施肥量敏感程度的一个指标，

它指的是每增施单位肥料所增加的作物产量。由左侧方程可知，氮肥的微小变化对土豆产量的影响最大，即变化率最大；由右侧方程可知，氮肥的微小变化对生菜产量的影响最大，即变化率最大。因此种植土豆时，钾肥可采用较高的施肥量，而氮肥施用量不能过高，同理对于生菜，钾肥可采用较高的施肥量，而氮肥施用量不能过高。

当上式中

WWW0 X1X2X3

时，可得到最优产量及相应的氮、磷、钾肥的施用量。 5.2.2建立以最大产量为目标的产量模型并估价 1)非线性规划模型

非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。

2)用lingo得出土豆和生菜的最大产量值

根据上述土豆和生菜产量与施肥量的方程，运用非线性规划，我们在lingo中计算得出土豆和生菜的最大产量和此时的各项肥料施用量。如下表所示

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表12：模型二中土豆、生菜最大产量及此时的各项施肥量 农作物名称 最大产量 （千肥料施用量（千克） 克） N肥 P肥 K肥 土豆 45120.16 291.7991 246.0526 0.2206 生菜 23372.39 212.8125 1.3026 436.2656

5.2.3建立以最大经济利益为目的的效益模型及估价 上述产量模型以最大产量为目的，得出了最大产量时的土豆和生菜每公顷的利润。此时的利润并不是最大的，因为利润与肥料成本，种子成本等多项因素有关。站在菜农的角度上，经济利益无疑是评价一个模型好坏最重要的指标之一，于是我们以最大经济利益为目标建立了效益模型，得出最大经济收益和最大经济收益时的产量及施肥量。 利润公式是：

根据利润公式我们可以计算出最大利润和此时的施肥量，如下表所示。

表13：模型二中土豆、生菜最大利润及此时的各项施肥量 农作物名称 最大利润 肥料施用量（千克） （元） N肥 P肥 K肥 土豆 79840.17 290.9419 245.8101 533.8861 生菜 120556.6 212.3967

0.9259 431.6185 六、模型的评价与推广

6.1模型的优缺点： 1、优点：

1）在原有统计数据的基础上，对于施肥量和产量之间的关系、应用价值， 我们采用不同模型和方法加以论证，确保了结论的真实可靠性。 2）运用回归分析的方法求解，理论可得最优解。

3）问题的考虑是逐层深入，使得问题的各个因素考虑比较全面。

4）建立的数学模型都有相应的专业软件支持，算法简便，编程实现简单，推广容易。利用数学工具，通过LINGO、MATLB编程的方法，SPSS、EXCEL数据统计，严格地对模型求解，具有科学性。

2、不足：

1）在实际工作生活中，三种肥料的施肥量除了与产量有直接的关系外，还有彼此之间的交互作用。我们建立模型之时都选择忽略了这个因素。因此，我们只是

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初步探讨，只有得到三种营养素之间与产量更加准确的实验数据，才能建立更有可信度的函数关系式。

2）在整个模型建立过程中，我们对于实际问题考虑的不够全面，致使最终结果存在一定的误差。

6.2模型的推广

在实际问题中,产量受作物种类、植株密度、施肥量、气候条件等各种因素的作用我们仅考虑了施肥量影响,但稍加修改便能适合不同情况,如：

1、农作物植株栽种密度也与产量有一定关系，所以可在原有数据基础上,引入一组植株密度变化的数据,用同样方法（逐步回归法）建立四元二次模型,并加以讨论和分析。

2、在实际环境中土壤肥力会影响作物产量,每块地肥力不等,有高产田与低产田之分，可将土壤肥力也作为影响作物产量的一个因子,将它与产量及其他因子做回归分析，同样可进行讨论和求解。

在模型建立中,还可进行异常值检验,将其删除或加权,重新拟合后讨

八、参考文献

【1】Cleve B.Moler，Matlab数值计算，机械工业出版社，2006

【2】谢金星,薛毅，优化建模与Lindo/Lingo软件，清华大学出版社，2005 【3】李尚志,陈发来,吴耀华,张韵华.数学实验.北京: 高等教育出版社.1999. 【4】柳金甫，于义良.应用数理统计[M]. 北京:清华大学出版社,北京交通大学出版社

【5】赵东方. 数学模型与计算(第一版) [M]. 科学出版社

【6】叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材(二)[M].湖南:湖南教育出版社, 1997

【7】萧树铁,姜启源.大学数学—数学实验[M].北京:高等教育出版社, 2003 【8】薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解教程（第二版）[M ]. 清华大学出版社。

附录

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Matlab：生菜拟合曲线

x1=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471];

y1=[15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75]; x1=0:1:471;

y1=spline(x,y,x1); plot(x1,y1,'o')

x1=[0 24 49 73 98 147 196 245 294 342];

y1=[33.46 32.47 36.6 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73]; x1=0:1:342;

y1=spline(x,y,x1); hold on

plot(x1,y1,'o');

x1=[0 47 93 140 186 279 372 465 558 651];

y1=[18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22]; x1=0:1:651;

y1=spline(x,y,x1); hold on

plot(x1,y1,'o');

Matlab：土豆拟合曲线

x=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471];

y=[15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75]; p=polyfit(x,y,2); x1=0:1:471;

y1=polyval(p,x1);

plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')

x=[0 24 49 73 98 147 196 245 294 342];

y=[33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73]; p=polyfit(x,y,2); x1=0:1:342;

y1=polyval(p,x1);

plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')

x=[0 47 93 140 186 279 372 465 558 651];

y=[18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22]; p=polyfit(x,y,3); x1=0:1:651;

y1=polyval(p,x1);

plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');

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