向量的应用----求空间坐标旋转变换

山 石

摘要：利用向量的投影意义推导出空间直角坐标转换公式，并举例应用——点绕定直线转动的问题。 此方法易理解掌握、计算简单，不仅拓宽了向量知识的应用范围，为解决三维直角坐标转换提供了一种新方法，同时对测绘学、计算机图形学都有借鉴意义。

介绍一种利用空间向量求解坐标变换关系的方法，简化了传统的坐标系之间坐标变换关系求解的复杂计算，减小了采样误差对计算结果的影响，为建立各种物体之间的位姿描述提供了有效的数学计算手段。

关键词：向量；坐标转换。

什么是三维直角坐标转换呢？简单的说：就是空间的点在两个不同空间直角坐标系中的坐标转换关系。求解它的方法多涉及高数内容。笔者经研究发现：利用向量知识也可以求三维直角坐标转换。

Z1 一．利用向量推导三维直角坐标转换 P• 已知空间直角坐标系OXYZ中一点P(x,y,z)在另一

Z 的坐标，点在坐标 空间直角坐标系Z (x,y,z)OXYZO系OXYZ的坐标为(x0,y0,z0)，且两个坐标系符合右手旋 转规则，如图一，X轴、Y轴、Z轴正方向的单位向量分

别为nX、nY、nZ，设nX(xX,yX,zX)、nYO Y1X O 图一 X1Y Y (xY,yY,zY)、

nZ(xZ,yZ,zZ)。

X

证明： x(xx0)xX(yy0)yX(zz0)zX y(xx0)xY(yy0)yY(zz0)zY z(xx0)xZ(yy0)yZ(zz0)zZ （公式一）

证明：将空间直角坐标系OXYZ按OO平移得新空间直角坐标系OX1Y1Z1，（如图一）则点根据向量的投影知识OP在nX上的投影就是点P(x,y,z)在OX1Y1Z1的坐标为(xx0,yy0,zz0)。

YZ中的横坐标，OP在nY上的投影就是点P在坐标系OXYZ中的纵坐标，OPP在坐标系OX在nZ上的投影就是点P在坐标系OXYZ中的竖坐标。

所以xOP•nXnXOP•nX(xx0)xX(yy0)yX(zz0)zX

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yOP•nYnYOP•nY(xx0)xY(yy0)yY(zz0)zY

zOP•nZnZOP•nZ(xx0)xZ(yy0)yZ(zz0)zZ



即： x(xx0)xX(yy0)yX(zz0)zX

y(xx0)xY(yy0)yY(zz0)zY

这就是空间点在两个空间直角坐标系坐标变换的公式.其中(x,y,z)是点P在空间直角坐标系

(xy0)yZ(zz0)zZ（公式一） 点O在坐标系OXYZ的坐标z,(y Z是点,x,)zx)在空间直角坐标系(xy0OXYZ的坐标OXYZ的坐标；P为(x0,y0,z0).(xX,yX,zX)、(xY,yY,zY)、(xZ,yZ,zZ)分别是OX、OY、OZ在空间直角坐标系

OXYZ的单位向量坐标。

二．运用——点绕定直线转动的问题

已知定直线I的向量为n，点P0(x0,y0,z0)为直线I上一点，设空间一点P(x,y,z)绕直线I旋转角到点P(x,y,z)（图三），下面介绍求旋转变换的方法。

思路：1. 将点P在坐标系OXYZ的坐标变换为在坐标系OXYZ的坐标；

2．导出点P绕I轴旋转角到点P的两坐标之间关系； 3. 将点P在坐标系OXYZ的坐标，变换为在坐标系OXYZ的坐标。 步骤：

①.建立符合右手旋转新坐标系OXYZ，求出X轴、Y轴、Z轴正方向的单位向量。

以点P0为原点O，取直线I为Z轴，以过P0且垂直于Z轴、Z轴的直线为X轴建立符合右手旋转新坐标系OXYZ。设X轴、Y轴、Z轴正方向的单位向量分别为nX、nY、nZ，设X轴、

nY、nZ。由向量n计算出Z轴的单位向nZ=(xZ,yZ,zZ)， Z轴正方向的单位向量分别为nX、Y轴、

且nZ•nZ0; 由X轴分别垂直Z轴、Z轴计算出nX=(xX,yX,zX)，且nX•nX0; 由Y1轴分别垂直X轴、Z轴计算出nY=(xY,yY,zY)，且nY•nY0.

②表示出点P(x,y,z)在坐标系OXYZ的坐标。 设点P(x,y,z)在坐标系OXYZ的坐标(x1,y1,z1)，根据公式一

得 x1(xx0)xX(yy0)yX(zz0)zX y1(xx0)xY(yy0)yY(zz0)zY

z1(xx0)xZ(yy0)yZ(zz0)zZ

Z Z P• •P  O•X Y

O Y 图二 X

③将点P绕Z轴旋转角

在坐标系OXYZ中，设点P(x1,y1,z1)绕Z轴旋转角到点P(x2,y2,z2) 根据公式二，

得 x2x1cosy1sin

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y2x1siny1cos z2z1

④表示出点P在坐标系OXYZ的坐标。

由题知点P(x2,y2,z2)在坐标系OXYZ的坐标(x,y,z)，根据公式一

得 x2

(xx0)xX(yy0)yX(zz0)zX

y(xx)x(yy)y(zz0)zY 2y2(zz)z(1yz2(xx0)xZCzyxy例：在空间直角坐标系中，曲面：0)Z绕 0Z YP(x,y,z)0的坐标关系。Y2最后整理导出点 P(x,y,0z)与点

Z I x0解：①以直线I上的点P0(0,2,0)为原点O，直线I为Z轴， 以过P0且垂直于Z轴、Z轴的直线为X轴建立符合右手旋 转新坐标系OXYZ。

直线I yz2旋转得到曲面C2，求曲面C2方程。（图四）

O Z

Y (0,2,2)• 设X轴、Y轴、Z轴正方向的单位向量分别为nX、nY、nZ，

X X 图三 Y

设X轴、Y轴、Z轴正方向的单位向量分别为nX、nY、nZ。

22,)，且nZ•nZ0 由直线I的一个向量（0，1，1），可得nZ(0,22由 nX•nZ0，nX •nZ10，且nX•nX0，得出nX(1,0,0)， 由 nY•nX0，nY1•nZ10，且nY•nY0，得出nY(0,②表示出点P(x,y,z)在坐标系OXYZ的坐标。

设点P(x,y,z)在空间直角坐标系OXYZ的坐标(x1,y1,z1)，根据公式一

x1x1(y2)0z0x

y1=x02(y2)2(z0)2y2z2

2222

z1x02(y2)2(z0)2y2z2

2222

③将点P1(x1,y1,z1)绕Z轴旋转角得到点P(x2,y2,z2)。根据公式二

得

Z 22,) 22I Z

O Y (0,2,2)• X x2x1cosy1sinx1 y2x1siny1cosy1 z2z1

X 图三 Y

④表示出点P(x2,y2,z2)在坐标系OXYZ的坐标。

由题知点P(x2,y2,z2)在坐标系OXYZ的坐标(x,y,z)，根据公式一

x2x1(y2)0z0x

y2=x02(y2)2(z0)2y2z2 2222z2x02(y2)2(z0)2y2z2 22

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22整理得

22xx

yz2 zy2

2222又 zxy，得方程 y2x(z2)， 所以所求的曲面C2方程为y2x(z2)。

利用向量知识求空间坐标旋转变换，不仅拓宽了向量知识的应用范围，并为求空间坐标旋转变换提供了一种新方法，同时对测绘学、计算机图形学、物理学等都有对测绘学、计算机图形学都有借鉴意义。

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