教案14

【授课班级】信息系12级高职班

【编写日期】2012年9月29日 第 14次

【首次上课时间】2012年 10月30日 【课时】2课时 【课题】《函数表示法》 【能力目标】

1、通过本次课教学，使学生理解并掌握函数的表示法，并能利用其解决很多生活中的问题。 2、培养学生自学分析、归纳推理能力，将具体问题数学化的能力。 【感性导入】：

在客观实际中，我们看到的，可能仅仅是一件事物的变化引起另一件事物变化的一种映射，一旦把它数字化了，变成数字与数字之间的对应，就形成反映变化规律的函数，有了函数，我们就能掌握它的变化规律，甚至干预它的变化．因此，掌握某些基本函数，掌握研究函数的基本方法，是你应该具有的数学素质．

所谓表示函数的方法，就是自变量与因变量之间的对应法则的表现方法，这种对应法则，也称为函数关系；对函数表示法的唯一要求，就是对取自定义域的自变量的任何一个值x，根据表示法所表达的法则，能找到唯一一个因变量y．从这个要求来看，起码下面一些对应法则的表示方法，是可以作为函数的表示法的． 【项目任务】：函数的表示法 【理论知识点】： (1) 列表法

①什么叫列表法

把自变量与因变量之间的对应关系，用表格形式列出来，是最直接了当的，函数的这种表示方法叫做列表法． 例如，下表为1990年至1994年的国民生产总值表，表示出“年份x”与“生产总值y(单位：亿元)”之间的对应关系： 年份 1990 1991 1992 1993 1994 生产总18544.7 21665.8 26651.4 34476.7 44918.0 值 它表示一个函数y=f(x)，D={1990, 1991, 1992, 1993, 1994}；再如下表为股市某年五月份头六天的上证指数表，表示出“天序y”与 “上证指数z”关系：

1

天序 1 2 3 4 5 上证指2157.4 2221.8 2220.0 2021.6 2184.1 数 它也表示一个函数z=g(y)，D={1, 2, 3, 4, 5}；此外，如数学用表中的平方表、平方根表等，也都是用列表法来表示函数关系的(想一下，这些表中的自变量和因变量分别是什么？) 再来看一个例子．表 得分 <60 6069 7079 8089 90 绩点 0 1 2 3 4 表示某门以百分制记成绩的课程的得分与绩点的对照表，它是否表示一个得分x和学分y之间的函数关系呢？在这个问题中，变量x的取值范围是D={0, 1, 2, ..., 100}，你只要看一下，对每一个xD，根据表，是否有唯一一个y与之对应？结论是显然的，因此它确实以列表法表示了y与x之间的函数关系y=f(x)，函数的定义域为D．

用列表法表示函数，不但对应关系清楚，而且定义域、值域也表示得明明白白，因此它不存在确定函数定义域、值域的问题；求函数值，也成为简单的查表手续． ②何时用列表法表示函数

用列表法表示函数，也有它的缺陷：如果因变量可以取许多不同的值，甚至可以取无限个值，那么不但列表冗长，而且找函数值――查表，也令人厌烦．在这种情况下，如果不到万不得已，一般尽量不用列表法表示函数．也就是说，列表法表示函数，一般适用于因变量取较少个不同值的情况．注意，自变量取许多不同的值、乃至取无限个值，不见得不能用列表法表示函数，例如绩点与得分对应问题，即使如上那样限制得分为非负整数，自变量仍然可以取100个不同的值，不可谓不多，但用列表法表示它们之间的对应关系，肯定是最好的方法！

(2) 图象法

①什么叫图象法

图5-5是气象台自动温度记录仪的描图针描绘的、从0点到24点温度随时间变化的曲线．在每一时刻t，都对应着唯一一个温

T 度T，因此，温度 20

10

2 t

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 图5-5

是时间t的函数T=f(t)．图5-5正是这个函数的图象．那么这个函数除了图以外，还有没有其它形式来表示出h与t的对应关系了呢？不但没有，而且简直不可能再有其它形式能如此精确地反映h与t的对应关系了．也就是说，图5-5就是函数h=f(t)对应法则的体现．简单地说，这个函数是用它的图象来表示出自变量与因变量之间的对应法则的．这种表示函数的方法，理所当然地被称为图象表示法．

一般地，两个量之间函数关系，用在坐标系中的曲线(直线是它的特例)表示的方法，称为函数的图象表示法．

②如何求图象法表示的函数的定义域、值域和函数值

当函数用图象法表示时，它的定义域就是存在图象的范围，因此可以直接从它的表示本身得到，例如T=f(t)的定义域是[0,24]；把图象投影到因变量数轴上，投影区域就是函数的值域，因此函数的值域也可以从它的表示本身得到，例如T=f(t)的值域是[10.2,25.2]．(当然，因为我们仅是凭肉眼观察的，这样得到的值域可能会有一定的误差)．至于求函数值问题，一般只能用图上作业法了：自变量数轴上的点，通过图象对应，求得对应的函数值．例如求温度函数T=f(t)在t=20.5时的函数值f(20.5)，也就是求20点30分时的温度，在图5-5上，t=20.5处作t轴垂线，求得与温度曲线交点的纵坐标约13.9，所有f(20.5)=13.9． ③何时用图象法表示函数

用图象法表示函数，常常是在下列两种情况下：

第一种，两个量之间的关系，是由测试或监控仪器自动描绘或显示出来的．像上面的温度记录仪上，描图针描绘的图5-5，就是一个典型的例子．这种情况其实很多，如医院用血压显示仪，监控病人的血压变化，显示屏上显示的曲线，表示了血压p与时间t之间函数关系p=p(t)；地震监测仪监控某一地区的地表波动情况，描图针描绘出来的曲线，是地表波动幅度b与时间t之间函数关系b=b(t)的表示；用人工爆炸地震法，测量地层不同深度的反射波强度，检测仪器描绘出来的杂乱无章的曲线，是反射波强度q与地层深度h之间函数关系q=q(h)的表示；...．这种情况，有点被动的味道，因为除此以外别无良策(当然，从科学角度来看，这也许是最佳良策)．

3

第二种情况与第一种不同，其实，我们有其它形式表示函数，但我们宁愿用图像法表示它．例如，图5-6是我国人口出生率变化曲线．其实按年统 l y

图5-6

计的人口出生率，应该使用、实际上也确实能用列表法表示年份y与出生率l之间的函数关系l=g(y)的，但为了能直观地反映出生率与年份之间的关系，还是画一个图象更好．因此，我们就根据各年出生率统计数字，作出图5-6，干脆就用这张图来表示函数l=g(y)．这样，要想知道某年的人口出生率，也不必查表求函数值了，采用求图象表示法的函数的函数值方法就能得到．例如要求1974年我国的人口出生率，从图立即可以得到，约为2%．

图5-6是怎么得到的呢？你只要把各年出生率用点表示在坐标系内，然后，用折线(或曲线)相连这些点就行了．有一点要注意，连成折线或曲线后，并不表示自变量(年份)可以取1977.22之类的值，因为函数l=g(y)的定义域并未改变，仍然是{1950,1951, ... ,1990}．这里用折线或曲线相连，仅仅是为了增强直观观感．严格来讲，上例中即使用图象表示函数l=g(y)，也应该是没有连接成折线或曲线之前的一批散列的点．但连成折线或曲线的做法，在实际中并不会引起误解，因此是完全允许的． 课内练习1

1. 网球赛计分规则是：赢第一、二个球，每球得15分，赢第三、四个球，

每球得10分，满50分为一局．以x表示赢球数，y表示累计得分．试用

列表法表示y与x之间的函数关系． 2. 把图5-6表示的函数l=g(y)，还原成列表法表示．自变量y的定义域D

是从1975年起到1990年． 3. 根据图5-7回答问题：

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(1)当t=3时，T等于多少？(2)当t为何值时，T=22？(3)在哪些时间内， 144. 为了仿制一个凸轮，用一个探针测量了凸轮不同转角θ时的升程h(见附

图)，得到如下数据： θ 0 8 16 24 28 32 36 3.0 3.0 3.0 3.0 3.02 3.06 3.09 h θ 40 44 48 52 56 60 64 h 3.14 3.28 3.39 3.52 3.68 3.87 4.07 θ 68 72 76 80 84 88 90 h 4.25 4.41 4.54 4.64 4.71 4.74 4.76 已知凸轮廓线关于中心线是对称的，试以图 像法表示转角θ与升程h之间的函数关系． 自变量θ的定义域D为[0,180]，纵横坐标 h 轴的单位可以取得不同，并从图求转角为75 ,85时的升程．

θ

(3)解析法

l ①什么叫函数的解析表示法

第4题图 函数用列表法或图象法表示，一个公共的缺陷是，没有把因变量表示为自变量的式子，这对进一步考察函数性质是不方便的．在数学上，我们努力追求用自变量的式子来表示因变量，事实上，我们在很多情况下，确实也能做到这一点．可以举一些你早已熟悉的例子：

已知速度为20km/h，那么路程s与时间t的函数关系可用表示为

s=20 t,（t0，单位：h） (1)

圆面积A与圆半径r的函数关系可表示为

2

A=r , (r>0) (2)

物理中表示螺旋弹簧的长度l与所受拉力f的函数关系可表示为 l=kf + l0 (3)

像上面这样，用含有自变量的式子或常数来表示因变量与自

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变量之间函数关系的方法，称为函数的解析表示法，并称含有自变量的那个式子或常数为函数表达式．

看了这个定义，你就明白，至今为止，你所学习的函数，绝大部分采用的是解析表示法．例如你经常遇到的一次函数(即线性函数) y=kx+b, (k0)、二次函数y=ax2+bx+c, (a0)、幂函数 y=x, (R)，指数函数y=ax, (a>0, a1)等等，都是用解析法，表示了y与x之间的函数关系．

那么三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx等，是否算是用解析法表示了函数关系呢？似乎并没有出现一个自变量x的式子呀？尽管sinx等等仅仅是一个函数记号，但是它们的含义是明了的；给了自变量，怎么求对应的函数值也是明确的，也即对应法则通过这些函数记号也是明确的，因此，我们也把它们归入解析表示法一类．这就是说，我们把sinx等，也认为是前面定义中所说的“式子”． ②解析法表示的函数的函数值

求解析法表示的函数的函数值，原则上，只要把自变量值代入解析式，通过计算就能解决．当然，实际计算时，可能会遇到一些困难，例如，在你没有学会使用计算器之前，计算哪怕幂函数、指数函数、三角函数之类基本函数的函数值，就不那么容易．但这些问题的产生，并不在于函数本身的概念，而是计算技术上的问题．

【技能训练过程】：

例1 已知函数f(x)=2x +1，求f(-3), f(0), f(2)． 解 f(-3)=2–3+1=1+1=9，

88 f(0)=20+1=1+1=2， f(2)=22 +1=4+1=5 ▋ 例2 已知函数g(x)=2sin(3x+

)，求 g(-), g(0), g(-)(精确547到0.0001)．

解 用计算器求得：

 g(-)=2sin[3 (-)+]-1.9754，

454 g(0)=2sin[30+]1.1756，

5 g(-课内练习2

7)=2sin[3 (-

7)+

5]1.8391 ▋

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1.已知函数f(x)=2x2-3x+1，求f(-1), f(0), f(3), f(2), f(1)．

22.已知函数f(x)=2x–3，求f(-2), f(0), f(3)．

3.已知函数g(x)=3sin(2x–)，求g(),g(0),g(-), 精确到0.0001．

557 例3 设f(x)=x+1, (x0)，求

x (1)f(1), (x0)； (2)f(x) - f(x-1), (x0,1)；

x (3)f(f(x)), (x0)； (4)求x，使f(x)=f(x)．

2 解 (1)f(1)=(x1)|x111x ▌

1xx1xxxx1 (2)f(x) - f(x-1)=[x+1]-[(x-1)+1] =1+(-1)=1-xx1xx11

x(x1)▌

(3)f(f(x))=(x+ =2x1)x=f(x)=111f(x)=1(x1)

1xxxxf(x)f(1x)f(x)1=xx21=x2(1x2)2=x43x21 ▌

(x)xx1xx21x3xx(x21)x2 (4)f(x)=(x+1)x=x2；

2x2x代入方程，得

x+1=x2，x1， x2=2，x=2．

x2x2x 所以，当x=2时，成立f(x)=f(课内练习3

x) ▌ 21. 对例3中的f(x)，求x，使f(x)=f(x),(a>0)．

a2. 设f(x)=

2x1, (x-3)，求 2x32 (1)f(1)； (2)f(x) - f(x+1)； (3)f(f(x))； (4)求x，使f(x)7

【课外实训项目】 第45 48页 1题 【教学后记】

让学生理解函数的概念，了解函数的列表、图像表示法，掌握函数的解析法表示法。多做练习巩固知识。

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