卫星和飞船的跟踪测控

根据卫星轨道计算地面测控点最少数量以进行全程跟踪，影响因素主要有轨道半长轴，偏心率，倾角。由于本问题不涉及到具体站点的设立位置，卫星轨道5要素中的另外两要素升交点赤经和近地点幅角不在考虑范围之内。地面测控站的观测幅角也是影响因素之一，在本问题中已经确定为与水平面3°仰角以上范围。

问题一：卫星轨道与测控站点共面 这种情况是存在的，例如赤道卫星 假设

地球是正球形，卫星轨道与测控站点共面，卫星轨道是以地球球心为圆心的圆周或以地球球心为一个焦点的椭圆，监控范围为与地平面夹角3°以上范围空域。

1. 轨道是圆周的情况，建立模型如图所示

建立在地球上A点的测控站对高度为H的卫星轨道监测角度为α，β=3° 由正弦定理有

ππsin⁡(2+β)sin⁡(2−α−β)

=

H+RR

解得

α=cos−1

所需站点数目

π

N= +1

α

根据上式给出一些具体高度所需测控站个数表如下（地球半径按6371km计算）

R

cosβ −β H+R

高度（km） 100 200 300 400 500 600 个数 24 16 13 11 10 9 高度（km） 600 800 1000 1200 1400 1600 个数 9 8 7 7 6 6 高度（km） 1600 2000 3000 5000 7000 8000 个数 6 5 5 4 4 3

反解上面的计算式，可以推出测控站数对应的卫星高度区间，结果如下表

个数 高度区间(km)

3 ∞ ~ 73.1 4 73.1 ~ 3137.2 5 3137.2 ~ 1815.7 6 1815.7 ~ 1215.1 7 1215.1 ~ 883.3 8 883.3 ~ 677.9 9 677.9 ~ 0.7 10 0.7 ~ 443.9 11 443.9 ~ 372.7 12 372.7 ~ 318.6 13 318.6 ~ 276.5 14 276.5 ~ 242.9 15 242.9 ~ 215.7 16 215.7 ~ 193.2 17 193.2 ~ 174.4 18 174.4 ~ 158.6 19 158.6 ~ 145.0 20 145.0 ~ 133.4 21 133.4 ~ 123.2 22 123.2 ~ 114.3 23 114.3 ~ 106.5 24 106.5 ~ 99.6

2. 如果卫星轨道是椭圆，如图

先找出地球上观测范围最广的一点A1，再计算出A1对应椭圆轨道上测控范围的端点B1，然

后根据B1计算出下一个测控点的位置A2。如此重复下去，直到所有观测点能覆盖整个椭圆。下面来实施具体的计算：

建立坐标系，椭圆方程为

x2y2

+=1 a2b2

圆方程为

x=−c+rcosθ

y=rsinθ

根据圆上任意一点A θ = x0,y0 =(−c+rcosθ,rsinθ)求出对应椭圆弧的两端点 从点发出的两条射线方程为

xx0cos87°−sin87°cosθ y = y +t ,t>0（1）

0sin87°cos87°sinθ

xx0cos87°sin87°cosθ

y = y +t ,t>0（2）

0−sin87°cos87°sinθ

方程（1）代入椭圆方程计算得 t=

𝜋𝜋22

(−2𝑏𝑐Sin[−𝜃]+2𝑏𝑟Cos[𝜃]Sin[−𝜃]𝜋𝜋222260602(−𝑎Cos[−𝜃]−𝑏Sin[−𝜃])

6060𝜋

+2𝑎2𝑟Cos[−𝜃]Sin[𝜃]

60

𝜋𝜋𝜋

−√((2𝑏2𝑐Sin[−𝜃]−2𝑏2𝑟Cos[𝜃]Sin[−𝜃]−2𝑎2𝑟Cos[−𝜃]Sin[𝜃])2

606060𝜋𝜋

−4(−𝑎2Cos[−𝜃]2−𝑏2Sin[−𝜃]2)(𝑎2𝑏2−𝑏2𝑐2+2𝑏2𝑐𝑟Cos[𝜃]

6060

−𝑏2𝑟2Cos[𝜃]2−𝑎2𝑟2Sin[𝜃]2)))

方程（2）代入椭圆方程计算得

1

t=

𝜋𝜋22

(2𝑎𝑟Cos[+𝜃]Sin[𝜃]+2𝑏𝑐Sin[+𝜃]𝜋𝜋60602(𝑎2Cos[60+𝜃]2+𝑏2Sin[60+𝜃]2)

𝜋

−2𝑏2𝑟Cos[𝜃]Sin[+𝜃]

60

𝜋𝜋𝜋

+√((−2𝑎2𝑟Cos[+𝜃]Sin[𝜃]−2𝑏2𝑐Sin[+𝜃]+2𝑏2𝑟Cos[𝜃]Sin[

606060+𝜃])2−4(−𝑎2𝑏2+𝑏2𝑐2−2𝑏2𝑐𝑟Cos[𝜃]+𝑏2𝑟2Cos[𝜃]2

𝜋𝜋

+𝑎2𝑟2Sin[𝜃]2)(𝑎2Cos[+𝜃]2+𝑏2Sin[+𝜃]2)))

6060

1

再将t分别代入（1）（2）我们不难求得测控范围端点的位置。

在根据B1计算出下一个测控点的位置A2时，我们可以按下面的方法计算：在圆上每隔1°取一个点，当某个点与A1测控范围重合最少有不至于产生盲区时确定此点为A2，而这一步计算可以交给计算机完成。例如设定近地点高度为200km，远地点高度为300km，用mathematica编程算得结果如下

站点编号 站点位置

1 0 2 0.506145 3 1.01229 4 1.50098 5 1.977 6 2.3911 7 2.80998 8 3.21141 9 3.63028 10 4.04916 11 4.4855 12 4.95674 13 5.443 14 5.95157

其中站点位置是圆周的角度参数θ，最小站点数是14.下面列出一些近地点高度和远地点高度组合所对应的站点个数关系表

300 400 500 1000

200 14 13 12 10 300 13 11 11 9 400 11 10 8

800 7

可以验证圆形情况与前面的计算结果吻合。

问题一总结

求解椭圆轨道模型时忽略了地球自转这一事实，而有可能存在这样的情况：站点排的比较疏的部分转到轨道近地的一面去了而覆盖不了整个轨道，卫星又恰好转到盲区中。为解决这一问题我们可以按如下方法建模：先求出地球上间距最短的两个测控站点相差的经度∆α，再用 +1得出站点个数。

∆α2π

问题2 卫星轨道与赤道平面有一定夹角

假设不变，且加上卫星高度向对地球半径很小，及要求卫星是近地卫星。

设卫星轨道与赤道夹角为β，轨道为圆周，自转角速度为ω1，卫星在绝对坐标中的轨迹方程为

r =( R+H cosω1t cosγ, R+H cosω1t sinγ,sinω1t)

设地球自转角速度为ω2，卫星相对地球坐标系轨迹方程变为

=( R+H cosω1t cosγ 2+（sinω1t）cosω2t, Rr

+H cosω1t sinγ, R+H cosω1t cosγ 2+（sinω1t）sinω2t)

用软件模拟卫星轨道如图

2

2

为了能够全程测控卫星，设立的站点应该全面覆盖整个卫星轨道所在的曲面。此曲面其实是

一个球形去掉上下两个球冠剩下的中间部分。由于假设了卫星高度很小，那么在一个站点能测控的范围内可以把曲面近似为平面，监测范围近似为平面上的圆盘，这样问题就简化为平面上圆盘覆盖问题了。

由于每个圆盘不能避免的产生了重合，而实际每个圆盘的有效面积是一个内接六边形，覆盖的示意图如下

计算每个圆盘半径需要用到前面的结果，图中r是圆盘的半径

α=cos−1

R

cosβ −β H+Rr=(R+H)sin⁡α

整个需要被覆盖的曲面面积为

γ

S= 2π(R+H)2cosθ dθ=4π(R+H)2sinγ

−γ

站点个数

S3√32

2r

n= +1

计算出不同卫星高度与偏角具体对应的监控站个数如下表

高度（km） 100 200 300 400 500 600 700

60° 245 106 67 49 39 33 28

45° 200 87 55 40 32 27 23

30° 142 62 39 29 23 19 17

前面的结果基于轨道为圆周，如果轨道改为椭圆，在计算轨道扫过区域面积时并没有增加任何实质上的难度，此曲面为椭圆按过其一焦点的轴旋转一周形成的旋转面，图形如下

先求出母线的显示表达式为

2

h

−csinγf h = (hcos γ)2+b2 1− ,h∈[ c−a sinγ, c+a sinγ]

a

c+a sinγ

S=

c−a sinγ

f h 1+ f′ h 2 dh

问题是这个曲面上的点到地球高度不再是不变的，为了简化计算我们取平均值

H=

下面的计算和前面一样了

a+b

−R 2

R

cosβ −β H+R

α=cos−1

r=(R+H)sin⁡α

S3√32

2r

n= +1

计算出不同卫星近地点，远地点以及偏角具体对应的监控站个数如下表 （表头是偏角，列式近地点，排式远地点）

pi/4 200 500 700

100 123 58 43 200 48 38

500 27

pi/3 200 500 700

100 149 67 50 200 57 44

500 33

pi/6 200 500 700

100 90 45 36 200 37 30

500 21

问题二总结

此模型只适合于近地卫星，因为当卫星轨道过大时，用上述方法中的圆内接六边形近似覆盖球面是不合理的；而且取平均值的方法算高度计算只适用于椭圆半长轴与半短轴差别较小的情况。对于轨道半径较大的卫星或者是半长轴较大的卫星，可以采用分纬度计算得方法得到站点数：地球上同一纬度的站点测控范围相同，计算出这以范围后可根据卫星轨道球面的形状推算出这一纬度上站点个数和下一个需要建立站点的纬度，新的纬度确定后重复这一步骤直到整个卫星轨道球面被覆盖住，最后算出总和。当然这样计算就要比前面的模型复杂得多。

实际上很少有全程跟踪卫星的，而且由于地理因素，政治因素，经济实力等，也几乎不可能实现全程卫星跟踪，而我们更关心的是在已有条件下能测控时间所占的比例，以及推测测控时间段的起始和结束时间。 参考

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