2021年弹簧振子实验报告

一、

引言

 试验目

1. 测定弹簧刚度系数(stiffness coefficient).

2. 研究弹簧振子振动特征, 验证周期公式.

3. 学习处理试验数据.

 试验原理

一根上端固定圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后, 就组成了弹簧振子.当振子处于静止情况时,重物所受重力与弹簧作用于它弹性恢复力相平衡,这是振子静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放,则振子将以平衡位置为中心作上下振动.试验研究表明,如以振子平衡位置为原点(x=0),则当振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到弹簧恢复力F在一定程度内与振子位移x成正比,即

(1)

式中百分比常数k称为刚度系数（stiffness coefficient）, 它是使弹簧产生单位形变所须载荷.这就是胡克定律.式（1）中负号表示弹性恢复力一直指向平衡位置.当位移x为负值, 即振子向下平移时, 力F向上.这里力F表示弹性力与重力mg综合作用结果.

依据牛顿第二定律, 如振子质量为m, 在弹性力作用下振子运动方程为:

(2)

令, 上式可化为一个经典二阶常系数微分方程, 其解为

（3）

（3）式表明.弹簧振子在外力扰动后, 将做振幅为A, 角频率为式中（可得

）称为相位, 称为初相位.角频率为

简谐振动,

,

振子其振动周期为

（4）

(4)式表示振子周期与其质量、 弹簧刚度系数之间关系, 这是弹簧振子最基础特征.弹簧振子是振动系统中最简单一个, 它运动特征（振幅, 相位, 频率, 周期）是全部振动系统共有基础特征, 研究弹簧振子振动是认识更复杂震动基础.

弹簧质量对振动周期也有影响.能够证实, 对于质量为周期为

圆柱形弹簧, 振子

（5）

式中称为弹簧等效质量, 即弹簧相当于以质量参与了振子振动.非

圆柱弹簧（如锥形弹簧）等效质量系数不等于1/3.

我们选择短而轻弹簧并配置合适重量砝码组成振子, 是试验条件与理论比较相符.在此基础上测振子周期, 考察振子质量和弹簧刚度系数对周期影响, 再将

所得结果与理式比较, 并探讨试验中存在问题.

 试验仪器装置

游标高度尺, 电子天平, 弹簧, 砝码, 秒表

二、 试验步骤

1. 测弹簧质量和刚度系数

先测出弹簧质量和刚度系数, 测量时要分清弹簧标识色, 避免测周期是把数据弄混.弹簧刚度系数可用静力平衡法测定, 即在悬挂好弹簧下端逐次加挂砝码, 设其质量为

,

,

,

,

, 然后取为自变量、

为因变量作直线

拟合, 斜率b绝对值即为弹簧刚度系数.(也可对g=9.801m

拟合做出直线斜率, 再乘以

).为测准, 应选一能正确反应弹簧伸长标志线或面, 而且要确保高

度尺能方便地校准.试验中砝码和弹簧质量要求读到0.01g.

2. 对同一弹簧测不一样振子质量时周期, 验证—之间规律

选一弹簧, 测量5或6个不一样质量下振动周期, 每次固定读取连续100个（或50个）周期时间间隔, 同一质量下测3次, 取其平均值来计算结果, 试验前预先拟好数据表格.

（5）式改写为方程

(6)

对测量数据作以为自变量、 m为因变量最小二乘法直线拟合.可由直线斜

.

率与截距求得刚度系数k与弹簧质量

3. 对几乎相同振子质量测不一样弹簧周期, 验证之间规律.

砝码质量可选定大于0.300kg某适宜值, 用不一样弹簧测量振子周期, 每次测量仍固定读取连续100个（或50个）周期时间间隔, 同一弹簧测3次周期, 取其平均值作为结果.

不一样弹簧振子总等效质量可能略有不一样.下面数据处理中计算总振子质量时, 近似统一加上弹簧平均质量1/3, 经过分析能够得悉, 这么不一样弹簧振子总等效质量与近似值差异小于0.15%, 折合成等效周期测量误差小于0.08%, 即使不对质量原因进行修正, 其影响也不太大.方程（5）能够变换成

(7)

可对测量数据作以为自变量、 为因变量进行直线拟合.

三、 数据分析

1. 砝码质量与弹簧质量

其中质量测量不确定度均为0.0001g

砝码编号 砝码质量1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.31 10.49 10.21 10.07 10.39 10.26 10.34 10.24 10.16 （g） 表1 砝码质量

带标识弹簧 无（较小） 红色 黄色 橙色 蓝色 无（较大） 质量（g） 30.16 33.20 34.60 39.23 40.72 43.61

表2 弹簧质量

2. 测量弹簧k值

其中长度测量不确定度均为最下端在游标高度尺上读数.

.表中长度单位均为mm.读数指弹簧

悬挂砝码0 4 5 6 7 8 9 数 悬挂砝码总质量（g） 0 41.07 51.45 61.72 72.06 82.30 92.46 0 0.403 0.504 0.605 0.706 0.807 0.906 无（较小）403.4 376.8 弹簧读数 369.9 362.7 355.4 347.6 340.8 红色弹簧读数 402.3 380.2 370.8 361.4 352.2 343.1 333.7 黄色弹簧读数 404.5 3.5 380.4 368.3 355.0 342.8 330.6 橙色弹簧读数 375.7 315.7 299.8 284.2 267.2 252.5 236.0 蓝色弹簧381.2 320.3 303.3 286.0 267.0 250.5 233.5 读数 无（较大）369.5 286.5 弹簧读数 2.7 241.8 219.8 196.4 173.0 表3 悬挂不一样砝码各弹簧读数

下面是以读数为自变量,为因变量进行直线拟合所得图像:

R² = 0.9991

图1无（较小）弹簧mg-x

R² = 0.981

图2 红色弹簧mg-x

R² = 0.9173

图3 黄色弹簧mg-x

R² = 0.9996

图4 橙色弹簧mg-x

R² = 0.9983

图5 蓝色弹簧mg-x

R² = 0.9991

图6 无(较大)弹簧mg-x

由拟合直线斜率能够求得各弹簧刚度系数见下表

弹簧 无（较小） 红 黄 橙 蓝 无（较大） 刚度系数k14.41 （N/m） 12.79 10.98 6.483 6.0 4.613

表4 各弹簧刚度系数

3. 对同一弹簧测不一样振子质量时周期, 验证—之间规律

选定蓝色弹簧, 测量不一样振子质量时周期以下表:

砝码个数 3 4 5 6 砝码质量（g） 30.9998 41.0674 51.43 61.7169 50个周期时间28.00 （1）（秒） 30.91 33.65 36.22 50个周期时间27.97 （2）（秒） 30.87 33.66 36.16 50个周期时间28.03 （3）（秒） 30.97 33.69 36.22 平均每个周期时间（秒） 0.560 0.618 0.673 0.724 （秒^2） 0.314 0.382 0.453 0.524

表5 同一弹簧测不一样振子质量

以

为自变量,

为因变量进行线性拟合, 得到下图

时周期

R² = 0.9999

图7 m-由直线可得m-拟合直线

满足线性关系.由斜率计算蓝色弹簧得刚度系数为5.772N/m.由

截距算蓝色弹簧质量为44.49g.

4. 对几乎相同振子质量测不一样弹簧周期, 验证之间规律.

选定4个砝码不变.换用不一样弹簧, 测得周期数据以下表:

弹簧 50个周期时间（1）（秒） 50个周期时间（2）（秒） 50个周期时间（3）（秒） 平均每个周期时间 （秒） 红 12.79 2.9 21.88 21.93 21.90 0.438 -0.826 黄 10.98 2.396 22.10 22.06 22.03 0.441 -0.819 橙 6.483 1.869 29.00 29.00 29.00 0.58 -0.5 蓝 6.0 1.806 30.91 30.87 30.97 0.618 -0.481 无(较大) 4.613 1.529 35.19 35.16 35.16 0.703 -0.352 R² = 0.9835

四、 误差分析

图8 不一样弹簧之间规律

1. 测量弹簧k值误差分析见下表

弹簧 无(较小) 红 黄 橙 蓝 无(较大) 刚度系数（ N/m ） 14.41 12.79 10.98 6.483 6.0 4.613 Γ 0.018 0.023 0.029 0.091 0.103 0.179 Δ𝑦 0.010 0.046 0.095 0.006 0.014 0.010 不确定度（ N/m ） 0.20 0.80 1.48 0.05 0.12 0.06 综上,各弹簧刚度系数见下表

弹簧 无(较小) 红 黄 橙 蓝 无(较大) 刚度系数(N/m) 14.41±0.20 12.79±0.80 10.98±1.48 6.483±0.05 6.0±0.12 4.613±0.06

2. 验证—之间规律误差分析

由上式得出

所以由拟合直线计算蓝色弹簧刚度系数为±

这个结果与重力平衡法测得刚度系数仍有一定差距,可能是因为试验中长度读数误差或者弹簧刚度系数在试验中发生改变造成.

所以蓝色弹簧质量

3. 验证之间规律误差分析

所以拟合直线斜率为-0.41,该范围包含-0.5这个理论估计值,说

明试验很好证实了与线性关系.

五、 试验结论 该试验经过重力平衡法测得了各弹簧刚度系数.

研究了弹簧振子运动特征,验证了周期公式很好.

.试验数据与理论符合