2020-2021学年最新北京中考数学习题精选：新情景应用型问题

一、选择题

1.（2018年北京海淀区第一学期期末）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中ACDB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是

yACODBO1.097.499.6817.12x

图1 图2

A．小红的运动路程比小兰的长

B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇 C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D D．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径 答案：D

2.（2018北京海淀区二模）“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默

写出的单词个数与复习的单词个数的比值.右图描述了某次单词复习中M,N,S,T四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是

yMNSOTx

A．MB．N

C．S D．T 答案：C 二、解答题

3．（2018北京延庆区初三统一练习）从北京市环保局证实，为满足2022年冬奥会对环境质量的要求，北京延庆正在对其

周边的环境污染进行综合治理，率先在部分村镇进行“煤改电”改造．在治理的过 程中，环保部门随机选取了永宁镇和千家店镇进行空气质量监测． 过程如下，请补充完整. 收集数据:

从2016年12月初开始，连续一年对两镇的空气质量进行监测（将30天的空气污染 指数（简称：API）的平均值作为每个月的空气污染指数，12个月的空气污染指数 如下：

千家店镇：120 115 100 100 95 85 80 70 50 50 50 45 永宁镇：110 90 105 80 90 85 90 60 90 45 70 60 整理、描述数据：

按如下表整理、描述这两镇空气污染指数的数据： 空气质量 空气质量为优 镇 次数 4 6 2 空气质量为良 空气质量为轻微污染 千家店镇 永宁镇 （说明：空气污染指数≤50时，空气质量为优；50＜空气污染指数≤100时，空气 质量为良；100＜空气污染指数≤150时，空气质量为轻微污染．） 分析数据：

两镇的空气污染指数的平均数、中位数、众数如下表所示；

城镇 千家店 永宁 平均数 80 81.3 中位数 87.5 众数 50

请将以上两个表格补充完整；

得出结论：可以推断出______镇这一年中环境状况比较好，理由为_____________.

（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

解：（1）1，9，2．……1分 （2） 82.5，90．……3分 （3）千家店镇……4分

理由：千家店镇污染指数平均数为80，永宁镇污染指数平均数为81.3，所以千家店镇污染指数平均数较低，空气质量较好；千家店镇空气质量为优的天数是4天，永宁镇空气质量为优的天数是1天，所以千家店镇空气质量为优的天数多，空气质量较好．…6分

24.（2018北京西城区九年级统一测试）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：ymx2mxm1(m0)与

y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线l：ymxm1(m0)．

（1）当m1时，画出直线l和抛物线G，并直接写出直线l被抛物线G截得的线段长． （2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线l上并说明理由．

（3）若直线l被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

y1O1x

解：（1）当m1时，抛物线G的函数表达式为yx22x，直线l的函数表达式为yx． 画出的两个函数的图象如图6所示．……………1分

2．………………………………………………2分

（2）∵抛物线G：ymx22mxm1 (m≠0)

与y轴交于点C，

∴点C的坐标为C(0,m1)．

∵ymx22mxm1m(x1)21， ∴抛物线G的顶点D的坐标为(1,1)． 对于直线l：ymxm1(m≠0)， 当x0时，ym1；

当x1时，ym(1)m11．

∴无论m取何值，点C，D都在直线l上．……………………………………4分 （3）m的取值范围是m≤3或m≥3．………………………………………6分

5．（2018北京海淀区第二学期练习）在研究反比例函数y入分析.

1的图象与性质时，我们对函数解析式进行了深x首先，确定自变量x的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被y轴分成两部分；其次，分析解析

1式，得到y随x的变化趋势：当x0时，随着x值的增大，的值减小，且逐渐接近于零，随着x值的减小，

x1x的值会越来越大L，由此，可以大致画出y1x在x0时的部分图象，如图1所示： y

利用同样的方法，我们可以研究函数y1x1的图象

过分析解析式画出部分函数图象如图2所示.

Ox

（1）请沿此思路在图2中完善函数图象的草图并标出象上横坐标为0的点A；（画出网格区域内的部分即可）

（2）观察图象，写出该函数的一条性质：____________________；

y（3）若关于x的方程1x1a(x1)有两个不数根，

1O1x

结合图象，直接写出实数a的取值范围：___________________________.

解：（1）如图：……2分

（2）当x1时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）……4分 （3）a1.………………6分

性质.通

函数图

等的实

与此相

6.（2018北京怀柔区一模）某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多.为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.

收集数据从选择篮球和排球的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：

排球109.59.510899.59

71045.5 10

9.5 9.5 10

篮球9.5 9 8.5 8.510 9.5 10 8 8.5 9.5 6

6 9.5 10 9.5 9

整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

排球 篮球 4.0≤x＜5.5 1 5.5≤x＜7.0 1 7.0≤x＜8.5 2 8.5≤x＜10 7 10 5 （说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格.） 分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

项目 排球 篮球 平均数 8.75 8.81 中位数 9.5 9.25 众数 10 9.5 得出结论

(1)如果全校有160人选择篮球项目，达到优秀的人数约为人；

(2)初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高.小军说：篮球项目整体水平较

高.

你同意的看法，理由为

.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 解：补全表格：

人数 项目 排球 篮球 1 0 1 2 2 1 7 10 5 3 成绩x 4.0≤x＜5.5 5.5≤x＜7.0 7.0≤x＜8.5 8.5≤x＜10 10 …………………………………………………………………………………………………2分 (1)130；…………………………………………………………………………………………4分 (2)答案不唯一，理由需支持判断结论. ………………………………………………………6分

7.（2018北京门头沟区初三综合练习）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2)，且x1x2，y1y2,我们规定：如果存在点P，使MNP是以线段MN为直角边的等腰直角三角形，那么称点P为点M、N的“和谐点”. （1）已知点A的坐标为(1,3)，

①若点B的坐标为(3,3)，在直线AB的上方，存在点A，B的“和谐点”C，直接写出点C的坐标； ②点C在直线x=5上，且点C为点A，B的“和谐点”，求直线AC的表达式.

（2）⊙O的半径为r，点D(1,4)为点E(1,2)、F(m,n)的“和谐点”，若使得△DEF与⊙O有交点，画出

示意图直接写出半径r的取值范围. ．．．．．y yO

xOx备用图1 备用图2

解：(1)C1(1,5)或C2(3,5).……………………………………………2分

由图可知，B(5,3) ∵A(1,3) ∴AB=4

∵ABC为等腰直角三角形 ∴BC=4

∴C1(5,7)或C2(5,1)

设直线AC的表达式为ykxb(k0) 当C1(5,7)时，

kb3k1yx2…………………………………3分 5kb7b2当C2(5,1)时，

kb3k1yx4…………………………………4分 5kb1b4∴综上所述，直线AC的表达式是yx2或yx4 (2)当点F在点E左侧时：

yDFEOx

2≤r≤17 当点F在点E右侧时：

yDEF

5≤r≤17…………………………………7分

综上所述：2≤r≤17…………………………………8分

8.（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，半圆O的直径AB5cm，点M在AB上且AM1cm，点P是半圆O上的

动点，过点B作BQPM交PM（或PM的延长线）于点Q.设PMxcm，BQycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）

PAMQOB小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

x/cm y/cm 1 0 1.5 3.7 2 2.5 3.8 3 3.3 3.5 2.5 4 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数 的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：

当BQ与直径AB所夹的锐角为60时，PM的长度约为cm. 解：（1）4； 0.………………2分 （2）

………………4分

（3）1.1或3.7.

y/cm54321–1O–112345x/cm

9.(2018北京昌平区初一第一学期期末)28.十九大报告中提出“广泛开展全民健身活动，加快推进体育强国建

设”.为了响应号召，提升学生训练兴趣，某中学自编“功夫扇”课间操.若设最外侧两根大扇骨形成的角为∠COD，当“功夫扇”完全展开时∠COD=160°. 在扇子舞动过程中，扇钉O始终在水平线AB上. 小华是个爱思考的孩子，不但将以上实际问题抽象为数学问题，而且还在抽象出的图中画出了∠BOC 的平分线OE，以便继续探究.

（1）当扇子完全展开且一侧扇骨OD呈水平状态时，如图1所示. 请在抽象出的图2中画出∠BOC 的平分线OE，此时∠DOE的度数为；

CA图1O图2DB

（2）“功夫扇”课间操有一个动作是把扇子由图1旋转到图3所示位置，即将图2中的∠COD绕点O旋转

至图4所示位置，其他条件不变，小华尝试用如下两种方案探究了∠AOC和∠DOE度数之间的关系.

C

DAOEB

图3图4方案一：设∠BOE的度数为x.

11180-AOC）=90-AOC. 可得出AOC=180-2x，则x=（22DOE=160-x，则x=160-DOE.

进而可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系.

方案二：如图5，过点O作∠AOC的平分线OF.

AFCEOB1易得EOF=90，即AOC+COE=90.

2D由COD=160，可得DOE+COE=160.

进而可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系.

参考小华的思路可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系为；

图5（3）继续将扇子旋转至图6所示位置，即将∠COD绕点O旋转至如图7所示的位置，其他条件不变,请问

（2）中结论是否依然成立？说明理由．

AODBEC

图6图7解：（1）如图1. …………………………………………1分

∠DOE的度数为 80°. ……………………2分

（2）DOE-12AOC=70.………………………4分

（3）不成立.

理由如下：

方法一：设∠BOE的度数为x.

11180-AOC）=90-AOC. ……5分 可得出AOC=180-2x，则x=（22DOE=160+x，则x=DOE-160.…………………………6分

1所以DOE+AOC=250. ……………………………………7分

2

方法二：如图2,过点O作∠AOC的平分线OF.

ADOBEC易得EOF=90，即AOC+COE=90. ……5分

2由COD=160，可得DOE-COE=160. …6分

1F图21所以DOE+AOC=250. …………………7分

210．（2018北京市石景山区初二期末）周末，老师带同学去北

﹒九运动纪念广场，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特如下的数学问题：

如图1，点A，B，C，D在同一条直线上，在四个论断“EA=ED，EF⊥AD，AB=DC，FB=FC”中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证），并进行证明． ．．．．．已知：如图1，点A，B，C，D在同一条直线上，

． 求证：． 证明：

京植物园中的一二挺拔的建筑线条象征，同学们编拟了

EFADBC 选择一：

已知：如图1，点A、B、C、D在同一条直线上，EA=ED，EF⊥AD，AB=CD． 求证：FB=FC．⋯⋯⋯⋯1分

证明：如图，延长EF交AD于点H ⋯⋯⋯⋯2分

F图1

E∵EA=ED，EF⊥AD，

ABHCD∴AH=DH．（等腰三角形的三线合一）⋯⋯⋯4分 ∵AB=CD

∴BH=CH．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 ∴EH垂直且平分线段BC

∴FB=FC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等） 选择二：

已知：如图1，点A、B、C、D在同一条直线上，FB=FC，EF⊥AD，AB=CD． 求证：EA=ED．⋯⋯⋯⋯1分 证明方法同选择一，相应给分． 选择三：

已知：如图1，点A、B、C、D在同一条直线上，FB=FC，EF⊥AD，EA=ED． 求证：AB=CD．⋯⋯⋯⋯1分

证明：如图，延长EF交AD于点H ⋯⋯⋯⋯2分

FADEBHC∵EA=ED，EF⊥AD，

∴AH=DH．（等腰三角形的三线合一）⋯⋯⋯4分 ∵FB=FC，EF⊥AD，

∴BH=CH．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 ∴AB=CD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 选择四：方法1

已知：如图1，点A、B、C、D在同一条直线上，FB=FC，AB=CD，EA=ED． 求证：EF⊥AD．⋯⋯⋯⋯1分

E证明：过点F作FH⊥AD于点H ∵FB=FC，EF⊥AD，

∴BH=CH．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

∵AB=CD，∴AH=DH．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ∴点F在AD的中垂线上． ∵EA=ED，

FE12FADBHC∴点E在AD的中垂线上．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 根据两点确定一条直线EF⊥AD．⋯ ⋯⋯⋯6分

ABCD说明：学生没作辅助线，但是由FB=FC推得“点F在BC的中垂线上”，再由AB=CD直接推出“点F在AD

的中垂线上”，后面同上，依然得分．

方法2：简要思路

①连接FA，FD，同方法1，证出“点F在AD的中垂线上”，从而证出FA=FD；（或通过全等证明FA=FD）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分

②利用SSS证明△EFA≌△EFD，从而∠1=∠2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ③利用等腰三角形的三线合一证得EF⊥AD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分

说明：其他方法酌情给分．

11．（2018北京市西城区八年级期末附加题）基础代谢是维持机体生命活动最基本的能量消耗．在身高、年龄、性别相同的前提下（不考虑其他因素的影响），可以利用某基础代谢估算公式，根据体重x（单位：kg）计算得到人体每日所需基础代谢的能量消耗y（单位：Kcal），且y是x的函数．已知六名身高约为170cm的15岁男同学的体重，以及计算得到的他们每日所需基础代谢的能量消耗，如下表所示：

学生编号 体重x（kg） 每日所需基础代谢的能量消耗y（Kcal） A 54 1596 B 56 1631 C 60 1701 D 63 1753.5 E 67 1823.5 F 70 1876 请根据上表中的数据回答下列问题： （1）随着体重的增加，人体每日所需基础代谢的能量消耗；（填“增大”、“减小”或“不变”） （2）若一个身高约为170cm的15岁男同学，通过计算得到他每日所需基础代谢的能量消耗为1792Kcal，

则估计他的体重最接近于（）；

A．59kg

B．62kg

C．65kg

D．68kg

（3）当54≤x≤70时，下列四个y与x的函数中，符合表中数据的函数是（）． A．yxB．y10.5x1071

2C．y10x1101D．y17.5x651

解：（1）增大；………………………………………………………………………… 2分

（2）C；…………………………………………………………………………… 4分 （3）D．…………………………………………………………………………… 6分