基于LMS算法与RLS算法的自适应滤波

第２０卷　第１２期　电子设计工程　２０１２年６月　Ｖ０１．２０　Ｎｏ．１２　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｄｅｓｉｇｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｊｕｎ．２０１２　基于ＬＭＳ算法与ＲＬＳ算法的自适应滤波　徐艳。李静　（长安大学信息工程学院，陕西西安７１００６４）　摘要：自适应信号处理的理论和技术已经成为人们常用滤波和去噪技术。文中讲述了自适应滤波的原理以及ＬＭＳ　算法和ＲＬＳ算法两种基本自适应算法的原理及步骤。并用ＭＡＴＬＡＢ分别对两种算法进行了自适应滤波仿真和实现。　关键词：自适应滤波；ＬＭＳ算法；ＲＩ＿Ｓ算法；Ｍａｔｌａｂ　中图分类号：ＴＰ３１２　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７４—６２３６（２０１２）１２—００４９—０３　Ａｄａｐｔｉｖｅ　ｆｉｌｔｅｒ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＬＭＳ　ａｎｄ　ＲＬＳ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ＸＵ　Ｙａｈ，ＬＩ　Ｊｉｎｇ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｈａｎｇ＇ａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｒｔ　７１００６４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｏｆ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｓｉｇｎａｌ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｈａｖｅ　ｂｅｃｏｍｅ　ｐｏｐｕｌａｒ　ｉｎ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　ｃａｎｃｅｌｉｎｇ　ｎｏｉｓｅ　ｆｉｅｌｄ．　Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｍａｉｎｌｙ　ｔａｌｋｓ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　ｓｔｅｐｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｒｉｈｔｍｅｔｉｃ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＬＭＳ＆ＲＬＳ．Ｅｍｕｌａｔｉｏｎｓ　ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ　ｓｈｏｗｅｄ　ｈｔｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｂｙ　ＭＡＴＬＡＢ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ａｄａｐｔｉｖｅ　ｆｉｌｔｅｒ；ＬＭＳ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ＲＬＳ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ＭＡＴＬＡＢ　随着数字信号处理器性能的增强，自适应滤波器的应用　也越来越常见，它主要应用于系统辨识、回波消除、自适应谱　线增强、自适应信道均衡、语音现行预测、自适应天线阵等诸　多领域中。自适应滤波器是根据环境的改变，使用自适应算　法来改变滤波器的参数和结构。自适应滤波器算法决定了滤　号或期望　波的性能．根据滤波算法优化准则不同，自适应滤波器算法　信号　可分为两类基本算法：最小均方误差（ＬＭＳ）算法和递归最小　图１　自适应滤波器的一般结构　二乘（ＲＬｓ）算法。　Ｆｉｇ．１　Ｇｅｎｅｒａｌ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｆｉｌｔｅｒ　１　自适应滤波器的原理　自适应滤波就是利用前一时刻获得滤波器参数的结果　自动的调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的　或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波　器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的维　纳滤波器。自适应滤波器的特性变化是由自适应算法通过调　整滤波器系数来实现的。一般而言．自适应滤波器由参数可　调的数字滤波器和自适应算法两部分组成。参数可调数字滤　图２直接型自适应滤波器ＦＩＲ滤波器　波器可以是ＦＩＲ数字滤波器或ＩＩＲ数字滤波器，也可以是格　Ｆｉｇ．２　Ｄｉｒｅｃｔ　ｔｙｐｅ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｉｆｌｔｅｒ　ＦＩＲ　ｆｉｌｔｅｒ　型数字滤波器。自适应滤波器的一般结构如图１所示［５－６］。　２自适应滤波算法　图１中　（ｎ）为输入信号。通过参数可调的数字滤波器后　产生输出信号，，（ｎ），将输出信号’，（ｎ）与期望信号ｄ（　）进行　自适应滤波器的算法主要是以各种判据条件作为推算　比较，得到误差信号ｅ（ｎ）。ｅ（ｎ）和　（ｎ）通过自适应算法对滤　基础的。通常有两种判据条件：最小均方误差判据和最ｄｘ－　波器的参数进行调整，调整的目的使得误差信号ｅ（ｎ）最小。　乘法判据。即自适应滤波有两类基本的算法：最小均方误差　自适应滤波器大多用ＦＩＲ来实现。直接型自适应滤波器　（ＬＭＳ）算法和递归最小二乘（ＲＬＳ）算法Ｉ”。　ＦＩＲ滤波器如图２所示。　１）最小均方误差（Ｌｅａｓｔ　Ｍｅａｎ　Ｓｑｕａｒｅ。ＬＭＳ）算法　最小均方误差（Ｌｅａｓｔ　Ｍｅａｎ　Ｓｑｕａｒｅ．ＬＭＳ）算法是一种易于　收稿日期：２０１２—０４—０５　稿件编号：２０１２０４０２５　作者简介：徐艳（１９８８一），女，陕西渭南人，硕士研究生。　研究方向：智能交通与信息系统工程。　－４９－　《电子设计工程｝２０１２年第ｌ２期　实现、性能稳定、应用广泛的算法。ＬＭＳ算法设法使　（ｎ）接近　当ｅ（ｋ）达到最小值时，有下列关系：　Ｒ（　）　Ｗ　（　）＝ｌＰ（｜ｉ｝）　（９）　ｄ（ｎ），理想信号ｄ（ｎ）与滤波器输出ｙ（ｎ）之差ｅ（１７，）的期望值　最小，并且根据这个判据来修改权系数ｗ　（ｎ）。均方误差８表　示为：　其中：　（　）：∑　一　（ｎ）　（ｎ）；Ｐ（　）＝∑　一ｔ　（ｎ）　（ｎ）　ｗ　（ｋ）为均方误差达到最小时的自适应滤波器最佳权系　ａ＝Ｅ［ｅ　（ｎ）】＝Ｅ｛耐（ｎ）一ｙ（ｎ）］２｝　（１）　对于横向结构的滤波器。代人ｙ（ｎ）的表达式：　ｅ＝Ｅ［ｄｚ（ｎ）】＋　（ｎ）　（ｎ）一２Ｗ　（ｎ）Ｐ　（２）　其中：Ｒ＝Ｅ［Ｘ（　）　（ｎ）】为Ⅳ×Ⅳ的自相关矩阵，它是输人　信号采样值间的相关性矩阵。　Ｅ【ｄ（ｎ）　（ｎ）］为Ｎｘｌ互相关　矢量，代表理想信号ｄ（ｎ）与输入矢量的相关性。在均方误差　￡达到最小时，得到最佳权系数Ｗ　＝　，　，…，　。ｒ它应满　足下式：　塑～＝０　（３）　ＯＷ（ｎ）　）　求解最佳权系数　的两种方法，一种是最陡梯度法。其　思路为：设计初始权系数　（Ｏ），用Ｗ（ｎ＋１）＝　（ｎ）一ｕＡ（／／，）迭　代公式计算，到　（ｎ＋１）与　（ｎ）误差小于规定范围。其中　△（ｎ）的Ｅｌｌ计算可用估计值表达式为：　１　（ｎ）　（ｎ）｝垒　１∑ｅ（ｎ—ｉ）Ｘ（ｎ—　）　（４）　Ｊ　ｉ＝Ｏ　上式　取值应足够大。如果用瞬时一２ｅ（ｎ）　（ｎ）来代替上　面对一２Ｅ｛ｅ（ｎ）Ｘ（ｎ）｝的估计运算，就产生了另一种算法——随　机梯度法，此时迭代公式为：　Ｗ（斛１）＝　（ｎ）＋２ｕｅ（ｎ）Ｘ（ｎ）　（５）　ＬＭＳ算法基本上是一种递推算法，它用任意选择的｛ｈ（ｋ）｝　的初始值作为开始，然后将每一新的输入样本　（ｎ）｝输人到　这个自适应ＦＩＲ滤波器，计算相应的输出　（ｎ）｝，形成误差信　号ｅ（ｉｔ，）＝ｄ（ｎ）一Ｙ（ｎ）并按方程＾　（　）：　（ｋ）＋Ａｅ（ｎ）ｘ（ｎ—ｋ），　０＜－ｋ≤Ⅳ一１更新滤波器系数，这里△称为步长参数，　（ｎ—ｋ）　是输入信号在时间ｎ位于滤波器的第ｋ个样本，而ｅ（ｎ）ｘ（ｎ－ｋ）　是对第ｋ个滤波器系数的一个梯度负值的近似估计目。　２）递归最小二乘（Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ　Ｌｅａｓｔ　Ｓｑｕａｒｅ，ＲＬＳ）算法　递归最小二乘（Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ　Ｌｅａｓｔ　Ｓｑｕａｒｅ，ＲＬＳ）算法是在最　小均方误差算法的基础上得来的。所不同的是在求均方误差　时观测数据的长度是变化的，且随着观测数据的时间先后顺　序分别乘了加权因子。即ＲＬＳ算法的均方误差变成：　ｋ　ｓ（　）＝∑３（ｋ，ｎ）ｌ８（ｎ）ｌ　ｚ　（６）　ｎ＝Ｏ　式中：卢（ｋ，ｎ）是加权因子，满足：０　（ｋ，ｎ）≤１，ｎ＝ｌ，２，　…，ｋ。这样会使很多次迭代之前的数据被遗忘掉，当滤波器工　作在非平稳环境中时，观测数据仍可能服从统计变化的一些　特性。其中遗忘因子的最常用形式为指数加权因子，即：　ｐ（ｋ，ｎ）＝　，ｎ＝ｌ，２，…，　（７）　式中：　是一个接近１但小于ｌ的数。将式（７）代人式（６）　可以得到均方误差的具体表达式为：　ｓ（　＝∑　一ｌｓ（ｎ）ｌ　ｚ　（８）　ｎ＝０　－５０．．　数。由式（９）可知，要求出ｗ　（ｋ）需要先确定。为此我们把Ｒ　（ｋ）当前的瞬时估计分离出来：　Ｒ（　）＝　ｃｒ　（ｎ）　（ｎ）｝　（．ｉ｝）　（Ｊ｝）：；０　（　一１）４ｘ（　）ｘｎ（ｋ）（１Ｏ）　对于Ｐ（ｋ）做同样的处理可以得到：　Ｐ（ｋ）＝　（ｋ－１）帆（　）　（　）　（１１）　由矩阵求逆定理：若Ａ和Ｂ是２个ＭｘＭ的正定矩阵．存　在关系　：曰＋Ｃ　Ｄ～＊ＣＸ，其中Ｃ是一个ＭｘＮ矩阵。Ｄ是一个　ＮｘＮ正定矩阵，则有Ａ＝口—　｝Ｃ（Ｄ＋　曰　Ｃ）～。可以令Ａ＝Ｒ（　），　Ｂ＝ａ＊Ｒ（ｋ－１），Ｃ＝（　），Ｄ＝１代人上面的矩阵逆定理公式可得：　Ｒ－ｌ㈩＝ｏＦ１＊Ｒ＿】（　）＿　（１２）　ｌ　【　）ｏｒ　ｔ　一Ｉ　Ｊ　【　Ｊ　如果记：　）（１３）．ｒ㈤＝　（１４）　则式（１２）变形如下：　Ｑ（ｋ）＝ＯＣ　Ｑ（ｋ一１）　ｒ（ｋ）　（　）Ｑ（ｋ—１）　（１５）　把式（１５）反代入式（１４）可以得到以下的关系：ｒ（ｋ）＝　（｜ｉ｝）ｘ（ｋ）　由式（９）得到计算权向量的公式为：　ｗ（ｋ）＝　（｜ｉ｝）Ｐ（ｋ）＝Ｑ（　（ｋ）　・Ｑ（ｋ　（ｋ－１）＋Ｑ（　）　（ｋ）ｄ（ｋ）　（１６）　将式（１５）代入式（１６）右端第一项可以得到：Ｗ（ｋ）＝　（ｋ一　１）＋ｒ（　）・ｎ（ｋ）。　式中：ｔ／（ｋ）＝ｄ（　一Ｗ　（　一１）　（ｋ）。这样就得到了权向量迭　代的计算公式。　总结以上推导步骤归纳出ＲＬＳ算法实现流程如下：　Ｑ（ｏ）－－－８—１・，，６＝０．００５－０．０ｌ；　Ｗ（０）＝０；　对于每一个时刻的ｋ＝ｌ，２，…，计算：　ｒ（ｋ）＝　：Ｑｉ　＝　）　！　２　．　１＋ｘ　（　）　Ｑ（ｋ一１）ｘ（ｋ）’　ｎ（ｋ）＝ｄ（　）一Ｍ　（　一１）　（ｋ）；　ｗ（ｋ）＝ｚ　（｜ｊ｝一１）＋ｒ（　）・ｎ（ｋ）；　Ｑ（ｋ）＝　Ｑ（ｋ－１）０／－　ｒ（ｋ）ｘｆｉ（　）Ｑ（ｋ－１）。　３　ＭＡＴＬＡＢ仿真实验　１）ＬＭＳ算法的自适应滤波部分实现程序代码如下　ｗ（【ｌ：Ｎ］）＝０；　ｆｏｒ　ｌｏｏｐ＝１：Ｎｕｍ　ｉｆ（１ｏｏｐ＜Ｎ）　ｔｅｍｐ＝ｘ（［１ｏｏｐ：一ｌ：ｌ】）；　ｔｅｍｐ（［１ｏｏｐ＋ｌ：Ｎ］）＝Ｏ；　徐艳。等　基于ＬＭＳ算法与ＲＬＳ算法的自适应滤波　ｅｌｓｅ　ｔｅｍｐ＝ｘ（［１ｏｏｐ：一１：ｌｏｏｐ—Ｎ＋１】）；　ｅｎｄ　ｌｍｓ—ｏｕｔ（１ｏｏｐ）＝ｗ　ｔｅｍｐ．’；　ｕ＝ｌ／（１００＋ｔｅｍｐ　ｔｅｍｐ．’）；　ｌｍｓ—ｅｒｒ＝ｓ（１ｏｏｐ）－ｌｍｓ＿ｏｕｔ（１ｏｏｐ）；　ｗ＝ｗ＋２　ｕ　ｌｍｓ＿ｅｒｒ＊ｔｅｍｐ：　ｅｎｄ　ｉｆｇｕｒｅ（２）；　ｓｕｂｐｌｏｔ（２，１，１）；ｐｌｏｔ（１ｍｓ＿ｏｕｔ）；ｔｉｔｌｅ（‘ＬＭＳ输出信号’）；　ｇｒｉｄ　Ｏｉｌ；　ａｘｉｓ（［０　Ｎｕｍ一２　２】）；　ｓｕｂｐｌｏｔ（２，１，２）；ｐｌｏｔ（（ｓ－ｌｍｓ＿ｏｕｔ），‘卜’）；ｔｉｔｌｅ（‘ＬＭＳ误差’）；　ｇｎｄ　ｏｎ；　ａｘｉｓ（［０　Ｎｕｍ一１　１】）；　仿真结果：　ＬＭＳ输出信号　ＬＭＳ误差　量　一１０　５００　１０００　１５Ｏ０　２０Ｏ０　２５Ｏ０　３０００　３５００　４０００　图３　ＬＭＳ算法的自适应滤波仿真结果　Ｆｉｇ．３　ＬＭＳ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｆｉｌｔｅｒ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　２）ＲＬＳ算法的自适应滤波部分实现程序代码如下：　ｗ（【１：Ｎ］）：０；　Ｒ＝１００　ｅｙｅ（Ｎ）；　ｖａｌｕｅ＝０．９８；　ｆｏｒ　ｌｏｏｐ＝１：Ｎｕｍ　ｉｆ（１ｏｏｐ＜Ｎ）　ｔｅｍｐ＝ｘ（［１ｏｏｐ：－ｌ：１】）；　ｔｅｍｐ（［１ｏｏｐ＋１：Ｎ］）＝０；　ｅｌｓｅ　ｔｅｍｐ＝ｘ（［１ｏｏｐ：一１：ｌｏｏｐ—Ｎ＋１】）；　ｅｎｄ　ｒｌｓ＿ｏｕｔ（１ｏｏｐ）＝ｗ　ｔｅｍｐ．＂；　ｄｓ＿ｅｎ＝ｓ（１ｏｏｐ）－ｒｌｓ＿ｏｕｔ（１ｏｏｐ）；　ｗ＝ｗ＋ｔｅｍｐ　Ｒ　ｄｓ＿ｅｒｒ／（ｖａｌｕｅ＋ｔｅｍｐ　Ｒ　ｔｅｍｐ．’）；　Ｒ＝（Ｒ—Ｒ　ｔｅｍｐ．＇＊ｔｅｍｐ　Ｐｄ（ｖａｌｕｅ＋ｔｅｍｐ　Ｒ　ｔｅｍｐ．’））／ｖａｌｕｅ；　ｅｎｄ　ｉｆｕｇｒｅ（３）；　ｓｕｂｐｌｏｔ（２，１，１）；ｐｌｏｔ（ｒｌｓ＿ｏｕｔ）；ｔｉｔｌｅ（‘ＲＫＳ输出信号’）；　ｒｉｄ　ｏｎ；　ａｘｉｓ（［０　Ｎｕｍ－２　２１）；　ｓｕｂｐｌｏｔ（２，１，２）；ｐｌｏｔ（（ｓ－－ｒｌｓ＿ｏｕｔ），‘　’）；ｔｉｌｔｅ（‘ＲＬＳ误差’）；　ｇｒｉａ　ｏｎ；　ａｘｉｓ（［０　Ｎｕｍ－２　２】）；　仿真结果：　ＲＬＳ输出信号　●　ｔ　Ｔ　５　Ｉ　一　・－｝……・・｝……－　｝……　－｛……一一；……－・｛……　一　；　；　（下转第５４页）　一５１—