综述曼女型ＱＹ《自动化技术与应用》２０１０年第２９卷第５期一种非线性非平稳自适应信号处理方法一希尔伯特一黄变换综述：发展与应用★沈毅，沈志远（哈尔滨工业大学航天学院，黑龙江哈尔滨１５０００１）摘要：怍线。陀ｌ｝：平稳信９ｆｌ‘Ｊ，，忻、处理ｌ＿及特ｉｌＦ提取问题，‘“是。’＃术和Ｉ｜．１里界天注的热点Ｉ叫题之一。为突破ｆ女统数据，－ｒ折力‘法受线一陀或符半稳性假设的，・种新颖的、高效的非线。陀、１Ｆ平稳、自适应的数据分析方法一希尔伯特一黄变换（ＩｔｉＩＴ）被提出。在这篇综述中，我ｆｆＪ介绍ＩｉｔｔＴ的基本思想和近期发展，总结起在工程领域巾的虚＿｝｝ｊ情况。并月．列举。ｊ之相关的数学问题。关键词：信号处理；希尔伯特一黄变换；集合经验模态分解；二维经验模态分解中罔法分类号：ＴＰ２０２．７文献标彭：码：Ａ文章编学：１００３７２４１（２０１０）０５－０００１０５ＡＲｅｖｉｅｗｏｆｔｈｅＮｏｎｌｉｎｅａｒＮｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙＡｄａｐｔｉｖｅＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＭｅｔｈｏｄ．．Ｈｉｌｂｅｒｔ．．ＨｕａｎｇＴｒａｎＳｆＯｒｍ：ｌｔｓＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓＳＨＥＮＹｉ．ＳＨＥＮＺｍ．ｙｕａｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＣｏｎｔｒｏｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＨａｒｂｉｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５０００１Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔｉｓｏｎｅｏｆｈｏｔｔｏｐｉｃｉｎｔｈｅｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃａｎｄｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｒｅｓｅａｒｃｈａｒｅａｔｈａｔａｎａｌｙｚｉｎｇ，ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇａｎｄｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙｄａｔａ．Ｔｏｂｒｅａｋｔｈｅｌｉｍｉｔｏｆｌｉｎｅａｒｉｔｙａｎｄｓｔａｔｉｏｎａｒｉｔｙａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｉｎｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｄａｔａ，ａｎｏｖｅｌ，ｈｉｇｈｌｙｅｆｆｅｃｔｉｖｅ，ａｄａｐｔｉｖｅｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙｄａｔａａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄｃａｌｌｅｄＨｉｌｂｅｒｔ—ＨｕａｎｇＴｒａｎｓｆｏｒｍ（ＨＨＴ）ｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｌａｓｔｄｅｃａｄｅ．Ｉｎｔｈｉｓｒｅｖｉｅｗ，ｔｈｅｂａｓｉｃｉｄｅａｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｖａｒｉｏｕｓｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｒｅｓｅａｒｃｈａｒｅａｓａｒｅｒｅｃｅｎｔｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，ｓｕｍｍａｒｉｚｅｔｈｅａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ；Ｈｉｌｂｅｎ・－Ｈｕａｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｅｎｓｅｍｂｌｅｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；ｂｉ・・ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ１引言非线性非平稳信号的分析、处理以及特征提取问长时窗下的傅里叶谱分析能够解决上述问题，但是它严格服从平稳性假设并且被测不准原理所困扰。在过去的２０年中，小波分析吸引了无数数学家和工程师们的注意，但是它的分析结果严重的依赖小波基函数的选择，这就意味着，对于特殊的情况需要不断调整小波基函数。另外，为更好的理解隐藏在数据中的物理现象，接受的数据往往同时表现为非线性和非平稳性。然而，已有的数据分析方法要么面对线性非平稳信号【ｌ～１，要题，一直是学术和工程界关注的热点问题之一。傅里叶变换作为一种传统的时频分析工具，通过在全局上定义统一的谐波成分的线性组合来表达被分析信号。但是，由于试图用统一的谐波成分逼近非统一的非平稳信号，往往会造成失真。虽然短时傅里叶分析，作为一个有限・基金项目：中国自然科学基金（编号６３０８００２４０．６０９７５００２００９２３０２１１０８７４０５４，６０９０１０４３，么面对非线性平稳信号【３－４】。因此，发展一种非线性非平稳数据分析方法是十分迫切的。希尔伯特一黄变换正是这一推动下的产物。９）：教育部博士点基金（编号００３７）收稿日期：２０１０－０３—２９万方数据《自动化技术与应用》２０１０年第２９卷第５期综述本文结构如下：第一节介绍希尔伯特一黄变换的基本方法；希尔伯特一黄的近期发展：集合经验模态分解以及２维经验模态分解在第二节被介绍；第三节列举希尔伯特一黄在一维和二维情况下的部分应用；与之相关的数学问题在第四节被讨论；结论在第五节被给出。对任意信号工（，），称ｙ（ｒ）＝ｉ１Ｐ．ｙ了等以为ｚ（，）的希尔伯特变换，其中Ｐ．Ｖ表示Ｃａｕｃｈｙ主值积分【７１。通过ＨＴ，可以构造解析信号ｚ（ｆ），并在极坐标下表达为：ｚ（ｆ）＝工（ｆ）＋痧（ｆ）＝口（ｆ）Ｐ州”，其中口（ｆ）＝（，＋ｙ２）５，２希尔伯特一黄变换希尔伯特一黄变换（Ｈｉｌｂｅｒｔ—ＨｕａｎｇＴｒａｎｓｆｏｒｍ，９（ｆ）：ｔａＩｌ一¨，则工（ｆ）的瞬时频率定义为∞（ｆ）：了ａｏ（ｔ）。综合上述两步，原信号表达为ｑ∞ｒ）＝玉丐（ｆ）唧（ｆＪ如），为一个时间一频率一能量三维分布图。ＨＨＴ）由美籍华人黄锷在１９９８年首次提出【５｜。ＨＨＴ被认为是一种处理非线性、非平稳信号的自适应算法１６１。ＨＨＴ分成两个部分，经验模态分解（ＥｍｐｉｒｉｃａｌＭｏｄｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＥＭＤ）和希尔伯特谱分析（ＨｉｌｂｅｒｔＡｎａｌｙｓｉｓ，ＨＳＡ）。Ｓｐｅｃｔｒａｌ３希尔伯特一黄变换的最新发展ＥＭ３．１集合经验模态分解Ｄ方法的一个主要不足是模式混淆（Ｍ０ｄｅ２．１经验模态分解经验模态分解往往被称为是一个“筛选”过程。这个筛选过程依据信号特点自适应地把任意一个复杂信号分解为一列本征模态函数（ＩｎｔｒｉｎｓｉｃＭｏｄｅＩＭＦ）。它满足如下两个条件：（１）信号极值点的数量与零点数相等或相差是一；（２）信号的由极大值定义的上包络和由极小值定义的下包络的局部均值为零。ＥＭＤ筛选过程如下：Ｆｕｎｃｔｉｏｎ，Ｍｉｘｉｎｇ，ＭＭ）。模式混淆定义为一个单一的ＩＭＦ包含较宽离散尺度的信号或者一个相似时间尺度的信号在不同的ＩＭＦ中出现。它主要是由于信号的间断而产生的。黄锷先生在文献１８ｌ中指出：模式混淆不仅在时频分布上引起严重的锯齿线，并且使得单一的ＩＭＦ失去它的物理意义。另一个模式混淆的影响是导致物理单一性的缺乏，在Ｗｕ的文献【９】中提到，对于两个同样的信号，一个加入低阶随机噪声而另一个没有，则ＥＭＤ分解的结果出现较大的不同。原始输入信号微小的不同却引发分解结果较大的不同则带来了一个问题：哪个分解是可靠的？黄锷先生在１９９９年作了一个间断测试【９１，用于解决模态混淆问题。但这个方法存在如下两个问题。首先测试基于一个主观选择的尺度，因此使得ＥＭＤ不完全自适应，第二，如果尺度不是清晰可分的，那么主观选择的尺度不能找到。为了克服上述问题，一个新的，噪声配合的数据分析方法集合经验模态分解（ＥｎｓｅｍｂｌｅＥｍ—ｐｉｒｉｃａｌＭｏｄｅ（１）对输入信号工（ｆ），求取极大值点ｘ（ｔｔ），屯＝１，…，Ｍ和极小值点ｘ（ｔｊ，），丘＝１，…，Ｎｉｌ（２）对极大值点和极小值点采用三次样条函数插值构造信号上下包络毛（ｔ）、玉（ｆ），计算上、下包络的均值１函数，，ｌＩ＝÷（毛（ｔ）＋Ｘｔ（ｆ））；（３）考察＾＝工（ｆ）一鸭是否满足ＩＭＦ条件，如果满足则转到下一步，否则对＾进行前两步操作，求得ｎ。以及ＪＩＩ，＝＾一Ｍ。，依次下去，直到第ｋ步ｋ＝ＪＩｌＩ¨一‰满足ＩＭＦ条件，则求得第一个ＩＭＦｃＩ＝＾。，Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＥＥＭＤ）被提出【１０１。（４）得到第一个残留＾＝ｘ（ｆ）一Ｃ１，对。作如同上述三步操作，得到ｃ２以及ｒ２＝工（ｆ）一ｃ２以此类推；（５）直到，＝Ｉ为单调信号或者只存在一个极点为止。．．生ＥＥＭＤ定义真正的ｍＺＦ为一簇分解试验品的均值。这些试验品包含信号加上一个有限振幅的白噪声。Ｅ蚴算法如下：原始信号被表达为ｘ（ｔＪ２Ｚｃ，＋，：Ｉ。（１）把一个白噪声加到目标信号中玉（ｆ）＝工（ｆ）＋ｍ（ｆ）；（２）分解带白噪声的数据为ＩＭＦｌ（３）重复匕述两步，每次分解使信号带不同的白噪声；（４）得到相应的ＩＭＦ的均值作为最终结果２．２希尔伯特谱分析这类本征模态函数的瞬时频率（ＩｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓＦｒｅｑｕｅｎｃｙ，ＩＦ）有着明确的物理意义。因此，经验模态分解后，对每一个ＩＭＦ作希尔伯特变换（Ｈｉ１ｂｅｒｔｑ（ｆ）＝竽ｍ古∑％（ｆ）。１’＾＝ｌＴｒａｎｓｆｏｒｍ，ＨＴ），继而可求取每一个ＩＭＦ的瞬时频率。３．２２维经验模态分解万方数据综述璺！型皇Ｙ《自动化技术与应用》２０ｌ０年第２９卷第５期由于一维ＦＭＤ算法能够提取信号的固有本质变化失真。在一维情况下，Ｅｄ矿Ｄ采用三次样条插值会造成端点飞翼现象。在二维ＥＭＤ中，这种效应是否会急剧图像的边界效应？特性，因此，学者试图把ＥＭＤ算法推广到二维甚至更高维情况，从而提取数字图像的某种本质属性。然而，如同数百年来人们在理论研究中所遇到的困难一样，同一个问题或者算法推广到高一维的情况，问题的复杂度会大幅度的增加。ｌ一种简单的被称为伪二维ＥＭＤ［１１方法应运而生。刃一肋的发展。４随着对以上４个问题研究的深入和解决，必将推动希尔伯特一黄变换的应用在一维情况下，由于日Ⅳ７１良好的工程特性，它被广这种方法将图像按行（或者列）当作一维信号处理，但是，这种方法明显的缺点是会产生内部不连续性。例如，按行把数据当作一维信号处理，必然破坏行与行之间的连泛用于一些工程领域，这里列举部分。Ｆｌａｎｄｒｉｎ讨论了ＨＨ丁的滤波特性【１８１，通过实验和数值分析，他们发现ＦＭＤ对于高斯自噪声的分解等价于一个二进通带滤波器，意味着在此条件下，日Ⅳ丁与小波有同样的性质。在故障诊断工程应用中，通过对故障信号进行ＥＭＤ续性。虽然伪二维ＦＭＤ方法取得了一些成果，但仍有许多学者试图探索真正的二维ＥＭＤ方法。对于二维ＦＭＤ算法，伴随如下问题需要解决。第一，二维情况下极值点的求取。对于一维信号，仅用一阶导数是否为零就可以判别信号的极点。然而，在二维情况下，一阶导数为零只能求解出鞍点，真正的极点还要考虑二阶导数。那么，在二维情况下是否严格按照一维的要求提取极点，还是为获得更多的信息而采用鞍点作为“极点”？另外，假设需要提取图像极点，是用导数来判别还是采用其他数学方法？对于第一个问题，基于不同的应用背景有着不同的结论；而第二个问题，一些数学家采用数学形态学的知识快速、准确的找到了极点。第二，适应平面（ＦｉｔｔｉｎｇＦａｃｅ）的生成。这里适应平面类似于一维情况下上下包络的局部均值曲线。我们分解，在不同应用背景下，对不同成分进行黝Ｓ，得到了较好的实验结果。例如，对于飞行器变速箱故障诊断问题，文【１９】通过对飞行器变速箱转速输出数据进行实时检测，通过ＥＭＤ分解找到数据的突变点，从而实现了故障诊断。文…针对卫星姿控系统，利用ＥＭＤ处理非线性非平稳信号的能力，对未知故障予以诊断。同样的思想被用于一般健康检测ｌ２１】情况。机械断裂故障是机械生产中最常见的一类故障，通过ＦＭＤ能够实现故障的特征提取，结合能量算子调节法，实现了此类故障的诊断【２２ｌ。由于日日丁基于“信号由低频振动与高频振动叠加生成”的思想，因此它特别适合于震动信号分析【２引。文【２４｛利用集合经验模态分解实现医学超声信号的降噪处理。文［２５１将日Ⅳ丁提取的瞬时能量和瞬时频率作为病态嗓音的特征。对于一些非线性非平稳信号，例如脑红外检测技术知道，一维包络均值会影响每一步ＥＭＤ结果，而每一个脚正是从原信号抽取包络均值后的残余成分，所以二维情况下适应平面对整个算法至关重要。黄锷曾说：不同的２Ｄ－ＥＭＤ往往就是不同的适应平面的选取。当极点（鞍点）已知时，最简单的想法是基于这些点构造二维三次样条函数。另一种方法是应用有限元方法构造网格１１２】，从而构造适应平面。而文１１３－１４１采用Ｄｅｌａｕｎａｒｙ三角形方法构造三角网格，并用精确立方多项式插值求取适应平面。而Ｎｕｎｅ一１５－１７Ｉ采用径向基函数求取适应平面，并用Ｒｉｅｓｚ变换代替Ｈｉｌｂｅｒｔ变换计算局部波形。中的血氧信号［２６），ＥＭＤ分解相比于腰丁和小波分析能过较好提取信号特征，从而为后续数据分析打下良好基础。对于表现为非线性非平稳性的微弱心电信号，脚能够实现该信号的有效去噪Ｉ２７１。特别的，利用ＩＭＦ的统计特性，Ｈｕａｎｇ等对于市场供求数据进行多尺度分析【２８１，从而得到价格市场预测模型。选中不能严格满足，故采用印准则。对于２１）一肋的选次数。第三，ＩＭＦ终止条件的确定。由于ＩＭＦ的定义在筛虽然２Ｄ一脚仍处于探索阶段，但在不同的工程背景下，学者们取得了实验效果。文｛２９】采用２１）一ＥＭＤ对图像进行分解，对分解后的每个，ＭＦ综合二维线性和二维立方插值的方法进行放大，最后重构原图像，从而实现了图像的放大。文【３０－３１】基于数学形态学中测地线算子寻找图像的极点，用径向基函数求取适应平面，对图像ＳＤ是什么昵？一个简单解决的方法是固定ＩＭＦ的筛第四，图像边界效应的问题。在图像处理中，边界效应会随着迭代的次数而向图像内部扩张，造成图像的万方数据《自动化技术与应用》２０１０年第２９卷第５期综述曼！型！Ｙ进行２Ｄ—ＥＭＤ，实现了对纹理图像的分析。文”２１采用２Ｄ－ＥＭＤ把图像分解为高一低频部分。通过对高频部分采用灰度变换法重新分配图像像素，使得图像细节部分被锐化，达到医学图像增强的效果。文１３３－３４】将图像进参考文献：【１】ＦＬＡＮＤＲＩＮＰ．１１ｍｅ—Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ／Ｔｉｍｅ－ＳｃａｌｅＡｎａｌｙｓｉｓ【Ｍ１．ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ，１９９９，３８６．Ｋ．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ【２】ＧＲＯＣＨＥＮＩＧｏｆＴｉｍｅ－Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ行扣一肋分解，通过只传输每个ＩＭＦ的极点，在信宿对极点用三次样条插值恢复每个ＩＭＦ，再重构图像，从而实现了图像压缩。但是由于，ＭＦ只是三次样条函数的线性组合，并非三次样条函数，会有失真的地方。文【３５ｌＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ】．Ｂｉｒｋｈａｕｓｅｒ，２００１，３５９．【３１ＴＯＮＧＨ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＴｉｍｅＳｅｒｉｅｓＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ１．Ｏｘ—ｆｏｒｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９０，５６４．【４】ＤＩＳＫＣ．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＴｉｍｅＳｅｒｉｅｓＡｎａｌｙｓｉｓ：ＭｅｔｈｏｄａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＷｏｒｌｄＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＰｒｅｓｓ，１９９９，１８０．【５】ＨＵＡＮＧＮＥ，ＳＨＥＮＺ，ＬＯＮＧＳＲ，ｅｔ通过对图像进行扣一脚分解，提取图像的本质属性，结合神经网络的知识，用于医学图像检索。必然将在信号处理，图像处理上发挥重大的作用。ａ１．Ｔｈｅｅｍ—ｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｔｈｅＨｉｌｂｅｒｔｓｐｅｃｔｒｕｍｆｏｒａｎｄｎｏｎｓｔａｔｉｏｎａｒｙＴｉｍｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｅｒｉｅｓＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ】．Ｐｒｏ—可以预见，随着Ｈ圩丁理论的研究和进一步的发展，ｃｅｅｄｉｎｇｏｆＲｏｙａｌＳｏｃｉｅｔｙＡ，Ｌｏｎｄｏｎ，１９９８，（４５４）：９０３－９９５．【６１ＲＵＱＩＡＮＧＹＡＮ，ＧＡＯＨｕａｎｇＲＸ．ＡｔｏｕｒｏｆｔｈｅＨｆｌｂｅｒｔ－ｔｒａｎｓｆｏｒｍ：ａｎｅｍｐｉｒｉｃａｌｔｏｏｌｆｏｒｓｉｇｎａｌａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．５希尔伯特一黄变换的数学问题ＩＥＥＥＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔａｔｉｏｎ＆ＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔＭａｇａｚｉｎｅ，２００７，１０，（５）：４０－４５．如同小波在上世纪８０年代一样，删７１的理论发展远落后其应用。特别是—哪丁相关的数学问题有待解决【”１。第一，日日丁作为一种自适应数据处理方法，它在筛选过程中基于信号得到一族基函数。但是这种自适应提取基函数的正交性没有得到严格的证明。此外，筛选方法的稳定性和收敛性的证明也有待研究。【７】ＨＡＮＳＳ．ＨｉｌｂｅｒｔＴｒａｎｓｆｏｒｍｓＩＣＩ．ＡｒｔｅｃｈＨＯｔｌＳｅ，１９９５，４４２．【８】ＮＥＨＵＡＮＧ，ＭＬＷＵ，ＳＱＵ，ＰＧＬＯＥＲＳＥＮ，ＫｐｏｓｉｔｉｏｎＬＦＡＮ．ＡｉｎＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＲＬｏｎｇ，ＳｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅＳＳＨＥＮ，ＷＤｌｉｍｉｔｆｏｒｔｈｅｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄＨｉｌｂｅｒｔｓｐｅｃｔｒａｌａｎａｌｙｓｉｓ［Ｃ］．Ｐｒｏｃ．Ｒ．Ｓｏｃ．Ｌｏｎｄｏｎ。Ｓｅｒ．Ａ，２００３，４５９，２３１７－２３４５．【９】ＺＷＵ，ＮＥＨＵＡＮＧ，ＥｎｓｅｍｂｌｅｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏＩｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ：Ａｎｏｉｓｅ－ａｓｓｉｓｔｅｄＡｄｖ．Ａｄａｐｔ．Ｄａｔａ第二，删丁作为一种处理非线性、非平稳数据的有效工具，能否基于此方法，根据系统输出数据的分解特性给出非线性系统的另一种定义。ｄａｔａａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄ【Ｊ】．Ａｎａｌ，２００９，１（１）：ｌ－４１．ＮＥ，Ｚ【１０ＪＨＵＡＮＧｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒＳＨＥＮ，ＳＲＬＯＮＧ．Ａｎｅｗｖｉｅｗｗａｔｅｒｗａｖｅｓ－ＴｈｅＨｉｌｂｅｒｔｓｐｅｃｔｒｕｍ［Ｊ】．Ａｎｎｕ．第三，ＥＭＤ分解时需要端点预测，对于一个非线性、非平稳信号能否预测？如果能预测，对原始信号的要求是什么？以及预测的效果如何评价？第四，极值点插值函数对残留和每个，ＭＦ都有影Ｒｅｖ．Ｆ１ｕｉｄＭｅｃｈ．，１９９９，（３１）：４１７－４５７．【１１】ＮＥＨＵＡＮＧ，ＳＡＭＵＥＬＨｕａｎｇＳＰＳＨＥＮ．Ｈｉｌｂｅｒｔ－Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＷｏｒｌｄＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＰｒｅｓｓｉｎｇ，２００５，２８９．【１２】ＸＵＹ，ＬＩＵＢ，ＬＩＵＪ，ＲＩＥＭＥＮＳＣＨＮＥＬＤＥＲＳ．Ｆｉ—响，不同的样条函数产生不同的，ＭＦ３ｓ］，它们之间的关Ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＥｍｐｉｒｉｃａｌＭｏｄｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｂｙ某一种插值函数保证肋一定分解出有限个ｆＭＦ？上述问题的解决将极大推动日Ⅳ丁的发展。系是什么？是否存在一个最优，ＭＦ集？另外是否存在ｍｔｅＥｌｅｍｅｎｔｓ［Ｃ】．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＲｏｙａｌＳｏｃｉｅｔｙＡ：Ｖｏｌ—ｕｍｅ４６２．Ｎｕｍｂｅｒ２０７４／Ｏｃｔｏｂｅｒ０８，２００６．【１３】ＤＡＭＥＲＶＡＬＣ，ＭＥＩＧＮＥＮＳ，ＰＥＲＲＩＥＲＶ．Ａｆａｓｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｂｉ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＥＭＤ［Ｊ】．ＩＥＥＥＳｉｇｎａｌＰｒｏ—６结束语希尔伯特一黄变换作为一种新颖，高效的非线性、ｃｅｓｓｉｎｇＬｅｔｔｅｒｓ，２００５，１２（１０）：７０１－７０４．【１４１ＳＯＮＧＰ，ＪＺＨＡＮＧ．Ｏｎｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｂｉ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｔｈｅｉｇｏｒ－非平稳自适应数据分析方法，在近十年的发展中已经对许多学科的发展产生推动作用。虽然，一些希尔伯特一黄变换相关的数学问题有待进一步探讨和研究，有的问题甚至需要很长时间才能得以解决。但是随着它的完善，圩日丁必将引领非线性、非平稳自适应数据分析方法理论体系的建立。ｍａｔｉｏｎｓｅｐａｒａｔｉｏｎｏｆｏｃｅａｎｉｃｒｅｍｏｔｅ鸵ｎｓｉｎｇｉｍａｇｅ［Ｊ］．ＨｉｇｈＴｅｃｈｎ０１．Ｌｅｔｔ．，２００ｌ，（１１），６２－６７．【１５】ＮＵＮＥＳＪＣ，ＹＢＯＵＡＯＵＮＥ，ＥＤＥＬＥＣＨＥＬＬＥ，０ＮＩＡＮＧ．ＰＢＵＮＥＬ．Ｉｍａｇｅａｎａｌｙｓｉｓｂｙｐｉｒｉｃａｌｂｉ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｅＩｌｌ一ｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ［Ｊ】．ＩｍａｇｅＶｉｓ．Ｃｏｍｐｕｔ．，２００３，（２１），１０１９－１０２６．【１６】ＮＵＮＥＳＪＣ，ＹＢＯＵＡＯＵＮＥ，ＥＤＥＬＥＣＨＥＬＬＥ，０ＮＩＡＮＧ．ＰＢＵＮＥＬ．Ｂｉ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍ－万方数据综述墨女盟皇Ｙｐｏｓｉｔｉｏｎ１３ｔｈ《自动化技术与应用》２０ｌ０年第２９卷第５期ｍｏｄｉｆｉｅｄｆｏｒｔｅｘｔｕｒｅａｎａｌｙｓｉｓ［Ｃ】．ｉｎＩｍａｇｅＡｎａｌｙｓｉｓ：２００９，４２，（５）：７１８－７３４．【３ｌ】刘忠轩，彭思龙．方向ＥＭＤ分解与其在纹理分割中的应用【Ｊ】．中国科学（Ｅ辑），２００５，３５（２）：１１３—１－２３．【３２】ＱＩＮＸＪ，ＬＩＵＳＳｃａｎｄｉｎａｖｉａｎＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，ＳＣＩＡ２００３Ｈａｌｍｓｔａｄ，Ｓｗｅｄｅｎ。Ｊｕｎｅ２９一Ｊｕｌｙ２，２００３Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ，Ｌｅｃｔ．ＮｏｔｅｓＣｏｍｐｕｔ．Ｓｃｉ．，２００３，２７４９，ＰＰ．２９５－２９６．Ｈ，ＷｕｂａｓｅｄＺＱ，ＨＡＮＪ．Ｍｅｄｉｃａｌｉｍａｇｅ２Ｄ１１７】ＮＵＮＥＳＪＣ，ＳｏｎＧＵＹＯＴ，ＥＤＥＬＥＣＨＥＬＬＥ．Ｔｅｘ－ｔｈｅｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｏｎｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｏｎｔｕｒｅａｎａｌｙｓｉｓｂａｓｅｄｌｏｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｂｉ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ【Ｃ】．Ｔｈｅ２ｎｄＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｍａｃｈ．Ｖｉｓ．Ａｐｐｌ．，２００５，（１６）：１７７－１８８．ＢｉｏｉｒｆｆｏｒｍａｔｉｃｓａｎｄＢｉｏｍｅｄｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００８．ＩＣＢＢＥ２００８．２００８Ｐａｇｅ（ｓ）：２５３３－２５３６．Ａ．２Ｄ【１８】ＦＬＡＮＤＲＩＮｐｉｒｉｃａｌＰ，ＲＩＬＬＩＮＧａｓａＧ，ＣＯＮＣＡＬＶＥＳＰ．Ｅｍ—【３３】ＬＩＮＤＥＲＨＥＤｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅｓｐｉｒｉｔｏｆｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉ—ｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｆｉｌｔｅｒｂａｎｋ［Ｊ】．ＩＥＥＥＳｉｇｎａｌｉｍａｇｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ［Ｃ】．ＷａｖｅｌｅｔａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓＩＸ，Ｐｒｏ－ＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇＬｅｔｔｅｒ，２００４，ｌｌ，（２）：１１２－１１４．ＩｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔＣｏｍｐｏｎｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓｎ９】ＬＩＵＢ，ＲＩＥＭＥＮＳＣＨＮＥＩＤＥＲＳ，ＸＵＹ．ＧｅａｒｂｏｘｆａｕｌｔｄｉａｇｎｏｓｉｓｕｓｉｎｇｈｉｌｂｅｒｔｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＳＰＩＥ。２００２．４７３８：１—８．ｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄＳｙｓｔｅｍｓａｎｄｆ３４１ＬＩＮＤＥＲＨＥＤＡ．Ａｄａｐｆｉｖｅｉｍａｇｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｗｉｔｈｓｐｅｃｔｒｕｍ［Ｊ】．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｉｇｎａｌｗａｖｅｌｅｔｐａｃｋｅｔｓａｎｄｅｍｐｉｒｉｃａｌＤ．ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ。２２６ｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ［Ｄ】，Ｐｈ．Ｅｌｅｃｔｒ．Ｅｎｇ．，ＬｉｎｋｏｐｉｎｇＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００６２０，（３）：Ａｐｒｉｌ，７１８—７３４．ＰＰ．，Ｄｅｐ．ｏｆ【２０】张筱磊，沈毅，张迎春，ＥＭＤ在卫星姿控系统未知故障诊断中的应用【Ｊ】．华中科技大学学报，２００９，３７（１）：２０４—２０６．【２１】ＢＡＢＵＴＵｎｉｖ．，Ｌｉｎｋｏｐｉｎｇ。Ｓｗｅｄｅｎ．２００４．【３５】ＬＩＮＤＥＲＨＥＤＡ．Ｖａｒｉａｂｌｅｓａｍｐｌｉｎｇｏｆｐｉｒｉｃａｌｔｈｅｅｍ—Ｒ，ＳＲＩＫＡＮＴＨＳ，ＳＥＫＨＡＲＡＳ．Ｈｆｌｂｅｒｔｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｉｇｎａｌｓＨｕａｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍｆｏｒｄｅｔｅｃｔｉｏｎａｎｄｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇｏｆｃｒａｃｋｉｎａ【Ｊ】．Ｉｎｔ．Ｊ．ＷａｖｅｌｅｔｓＭｕｌｔｒｅｓｕｌｔ．Ｉｎｆ．Ｐｒｏｃｅｓｓ．，２００５，（３）：４３５－４５２．【３６】刘伟，张洪，周洁等．使用希尔伯特一黄变换的医学图像检索…．传感技术学报，２００７，２０（５）：１０７７—１０８１．［３７】ＮＨｕａｎｇＥｔｒａｎｓｉｅｎｔｒｏｔｏｒ［Ｊ】．ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｙｓｔｅｍｓａｎｄＳｉｇｎａｌＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００８，２２，（４）：９０５－９１４．【２２】于德介，程军圣，方宇．机械故障诊断的Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ变换方法【Ｍ】．北京：科学学出版社，２００６，９８．【２３】ＰＥＮＧＺＫ，ＰＥＴＥＲＨＵＡＮＧ，ＺＨＷＵ．ＡｒｅｖｉｅｗｏｎＨｉｌｂｅｒｔ—ｇｅｏ—ｔｒａｎｓｆｏｒｍ：ｍｅｔｈｏｄａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｔｏＷ，ＣＨＵＦＬ．Ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄｐｈｙｓｉｃａｌｓｔｕｄｉｅｓ【Ｊ】．Ｒｅｖ．Ｇｅｏｐｈｙｓ．，ＲＧ２００６，（４６）：１－２３．ＮＨｉｌｂｅｒｔ—ＨｕａｎｇｓｉｇｎａｌｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｖｉｂｒａｔｉｏｎｏｆＳｏｕｎｄａｎｄ【３８】ＣＨＥＮＱ，ＨＵＡＮＧＥ，ＲＩＥＭＥＮＳＣＨＮＥＩＤＥＲＳ，ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ】．ＪｏｕｒｎａｌＶｉｂｒａｔｉｏｎ，２００５，ＸＵＹ．ＡＢ－ｓｐｌｉｎｅａｐｐｒｏａｃｈｆｏｒｅｍｐｉｒｉｃａｌｍｏｄｅｄｅｃｏｍｐｏ—２８６，（１—２）：１８７－２０５．【２４】ＳＨＥＮＭｅｄｉｃａｌＺＨＩＹＵＡＮ，ＳＨＥＮｓｉｔｉｏｎｓ【Ｊ】．Ａｄｖ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｍａｔｈ．２００６，（２４）：１７１—１９５．ＹＩ，ＷＡＮＧＱＩＡＮＧ，ｏｎＵＩｔｒａｓｏｕｎｄＳｉｇｎａｌＤｅｎｏｉｓｅＢａｓｅｄＥｎｓｅｍｂｌｅＥｍｐｉｒｉｃａｌＭｏｄｅＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｔｉｏｎａｎｄＮｏｎｌｉｎｅａｒＣｏｒｒｅｔａ－ｏｎＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｔｒｏｐｙ［Ｃ】．ＩＥＥＥＹｏｕｔｈＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＣｏｍｐｕｔｉｎｇａｎｄＴｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，２００９，１９—２２．【２５】龚英姬，胡维平．基于ＨＨＴ变换的病态嗓音特征提取及识别研究…．计算机工程与应用２００７，４３（３４）：２１７—２２０．【２６】周振宇，杨宏宇，龚辉等．基于希尔伯特一黄变换的近红外脑功能成像技术研究【Ｊ】．光学学报，２００７，２７（２）：３０７－３１２．【２７】宋立新，王祁，王玉静．基于Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｈｕａｎｇ变换的ＥＣＧ信号降噪方法【Ｊ】．传感技术学报，２００６，１９，（６）：２５７８—２５９０．【２８】ＮＥＨＵＡＮＧ，ＭＬＷＵ，ＷＤＱＵ，ＳＲＬＯＮＧ，ＳＡＭＵＥＬＳＰＳＨＥＮ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｆｏｒｍｔｏｎｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙｆｉｎａｎｃｉａｌＨｉｌｂｅｒｔ－Ｈｕａｎｇｔｒａｎｓ－ｔｉｍｅｓｅｒｉｅｓａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ】．Ａｐｐｌ．ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＭｏｄｅｌｓＢｕｓ．Ｉｎｄ．，２００３。１９：２４５—２６８．【２９】ＴＩＡＮＹ，ＨＵＡＮＧＹ，ＬＩＹＪ．Ｉｍａｇｅａｎｄｚｏｏｍｉｎｇｍｅｔｈｏｄｕｓｉｎｇ２ＤＥＭＤｔｅｃｈｎｉｑｕｅ［Ｃ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ６ｔｈＷｏｒｌｄｏｎＣｏｎｇｒｅｓｓＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＣｏｎｔｒｏｌＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ．２００６．作者简介：沈毅（１９６５一），男，教授，博士，研究方向：智能检１００３６一１００４１．【３０】ＸＵＧＵＡＮＬＥＩ，ＷＡＮＧＸＩＡＯＴＯＮＧ，ＸＵＨｉｌｂｅｒｔ测技术，故障诊断、飞行嚣控制。ＸＩＡＯＧＡＮＧ．ＩｍｐｒｏｖｅｄＢｉ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＥＭＤａｎｄＳｐｅｃｔｒｕｍｆｏｒｔｈｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＴｅｘｔｕｒｅｓＩＪ】，ＰａｔｔｅｒｎＲｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ，万方数据
