几何综合题讲座

几何综合题讲座

讲课人：穆家峪中学张静红

一． 落实基础知识

解几何综合题离不开几何的基本图形，学生应落实对基本图形的识别与认识．注意基本图形个性化的认识，是求解几何综合题的前提。让学生熟悉定理和图形的关系，形成知识网。 （一） 平行线的认识∥

1. 平行线的判定和性质，也就是说平行线与角之间的关系．垂直于同一条直线的两条直线平行．

２.平行线在三角形的应用

基本图形是塔字形和八字形。不能只停留在角相等，还可以得到对应线段成比例，还可以得到相似三角形，得出对应边成比例，学生在作题时忽略得到相似三角形平行之比．

AEDBECBACD

DE//BC得到AD:AB=AE:AC, AD:BD=AE:EC DB:AB=EC:AC DE//BC得到⊿ADE∽⊿ABC 所以DE:BC=AD:AB=AE:AC (二)对相似的认识

1. 通过位置移动证相似,主要是这两个图形正相似都有公共角.

ADBCBEADC这两个图形∠A=∠A在保证一对角等得到相似。（2）图可看作（1）

平移后得到的。

2. 对双垂直图形的认识

BADDCAECA∠ACB=90 CD⊥AB所以得到相似三角形

（1） 各图形可以得到⊿ACB∽⊿ADC∽⊿CDB得到三个等积式 AC2=AD•AB BC2=BD•AB CD2=AD•BD （2） 由面积可以得到AB•CD=AC•BC 得到四个等积式,直角三角形证相似 (三)对全等的认识

0

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通过基本图形简单的全等

（四）角平分线 垂直平分线 角相等线段相等弧相等

三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心，内心到各边距离相等。三角形的面积和内切圆的半径，三角形周长的关系。

垂直平分线 一条线段的垂直平分线上的点到线段个端点距离相等。三角形三条变得垂直平分线交于一点，这点叫三角形的外心，外心到各顶点的距离相等。

通过对基础知识的复习,学生有了一定的基础,在把这些图形放在圆中识别.

二。对圆中图形的认识

CoBAp 此图的知识内涵：

如图：AB是圆O的直径，PC是圆的直径 １． PC是切线（首先联想到） 1） 切割线定理如：

FoBACp2） 连结CB,CA ①∠B=∠PCA

②∠ACB=90度，在直角三角形ACB中，有勾股定理，∠B的四种三角函数值。

PAACCAPAACPAtanC所以③⊿PCA∽⊿PBC得到得到tanB因为，所以PCBCCBPCBCPC切线长短直角边

割线长长直角边DCCApoBBOAP

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2．将图形变化：DB⊥AB于B,切线PC的延长线交BD于D

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知识内涵: DB⊥AB于B, PC是圆O的切线 连结OC,∴OC⊥PC于C ∴⊿PCO∽⊿PBDPCOC切线长() PBDB割线长与上面的3）联系，求

DCBOAP切线长有两种方法。

割线长DCFBEOAP

3.图2中，从上向下的结论 1） 可证DB是圆O的切线 2） DB=DC

3） 连结BC,⊿BDC是等腰三角形，连结OD,交BC于E,弧BC于F,OD平分∠BDC,OD⊥BC,E,F分

别是BC,弧BC的中点。

4） 连结AC∴OE是⊿ABC的中位线，∴OE//AC 5） ∴⊿BEO∽⊿BCA得到⊿BEO∽⊿BCA∽⊿DBO 6） 对应线段成比例：PC:CD=PA:OA

FCCpoBApBoDA

出现两个双垂直三角形，得到相应的比例式 4．三角形与圆的关系 圆O是⊿ABC的内切圆

AEOBFDC 1

AOBC2

AB,BC,CA分别与圆相切，结论：p1） SABC页脚内容

abc 2111S1S2S3arbrcrpr

222页眉内容

2）Sp(pa)(pb)(pc)

ABC(pa)tan(pb)tan(pc) 222圆O是⊿ABC的外接圆 abcR sinAsinBsinC

3）rtan三.综合题的特征

我们要想解好综合题，首先要了解综合题的特点，这样才能对症下药。综合题具有如下特征： 1、渉及知识点多

由于综合题渉及的知识点多，综合性强，因此，有的题目以初三知识为主出现，在解题中也往往涉及初一、初二学过的知识，用到的知识点必然较多，这是由于数学知识的系统性决定的。知识点多既给解题带来方便，为寻求解题思路创造了条件；但也会给解题带来干扰，每个知识点都要考虑它的用途，必然分散精力。

2、隐含性质多

解题要用到某些关系式以及图形的性质，而这些关系式和性质以两种形式呈现出来：一种是显性的，另一种是隐含的。对知识理解深刻，能够抓住其本质的学生不但能够看到题目中给出的条件，而且能够挖掘出隐含在图形中或某个已知中不宜想到的结论，从而使解题思路变的畅通，或结果完美无缺。 3、解题技巧性强

综合题从多方面、全方位考察学生的能力，因此，有些题目的解题思路虽然找到，在解题技巧上要求学生能够随机应变，灵活地去处理问题。如果这方面差，那很可能半途而废。

4、运用数学思想方法广泛

解综合题之所以困难较大，主要是思路难寻。思路的探寻应该运用题目中蕴含的数学思想，挖掘题目中的内在规律，从而找到解题的方法。因此，数学思想可以比喻成解题的“导航系统”，它是解题的灵魂。

转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想是四种常见的数学思想。 在几何综合题中运用最多的数形结合,方程思想,转化思想 四、解综合题的程序

有序性是人们处理问题的一个重要原则，事情越多，越繁琐，就越需要把事情理出一个头绪，分清轻重缓急，一件一件地去做。我们在解综合题时，也应遵循有序性的原则去处理。由于综合题有的条件复杂，有的条件分散，有的条件隐蔽，我们需要按照程序理出一个框架，这样可以少走弯

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路。解综合题大致分为以下几个步骤：

1、 2、 3、

培养学生认真审题的习惯，提高解题能力 分析因果关系，想办法建立已知与未求的联系； 反思小结。

（一）培养学生认真审题的习惯，提高解题能力

无论综合题多么复杂，都一定会给出必要的条件，也能挖掘出解题信息的蛛丝马迹。也就

是说给你这句话，这个已知条件，可以得出怎样的结论，可以想到什么，这个关系式存在的前提条件是什么，都应去思考一下。读题时一句话一句话的读，一个字一个字的去挖掘。只要我们善于捕捉这些信息，就能寻求解题途径做好必要的准备。

检索解题信息，一是审视所给的条件，二是挖掘所给条件中隐含的结论，然后把这诸多的条件、性质加以整理。

当阅读题目，挖掘隐含，扩大已知后，把每一已知、每一个隐含条件能够得出什么结论，能够求出什么，算出什么，让学生动手算一算，做一做，看一看，又有什么新的发现，新的结论，新的想法。

几何复习课，教师能上的兴奋，来源于教学内容。多从如何调动学生的积极性上下功夫。 （二）分析因果联系

当有了前面两个步骤后，便要设法寻求一条沟通二者之间联系的通道。但实际操作时，往往不那么顺利，有时看不到条件和结论之间的联系，或有许多条小路不知应该选哪一条，无奈只好“摸着石头过河”，摸索前进。一旦找到一条通路，不管是否是捷径，坚持向前进，等到达彼岸后，再回头探究更优的解法，一题多解便是由此而生的。分析因果联系大致有三种方式：

一是从已知条件推进，将所得的结论落实，将关系式进行演变，向结论靠拢，这种方法称为综合法。

二是从结论入手，向前探源，争取找到源头，从而与已知条件牵手，这种方法称为分析法。 三是从条件和结论两头夹击，从而找到他们之间的联系，这种方法称为两头堵法。 （三）反思小结

反思小结是解题后的“再回首”，总结一下经验教训，不管是成功的经验，还是失败的教训，都是可贵的，都要进行反思。

培养学生养成解题后的反思习惯，帮助学生形成和运用数学思想方法。对解题过程进行回顾，分析与研究是非常必要与重要的。同样一道题目，老师在课堂上讲过，有些同学善于反思，把老师的东西转化为自己的东西，遇到类似的例子能够举一反三。不善于反思的学生，只知道老师讲过这道题，至于愈合在做出来，感到比较盲从，似乎见过，做题时又没把握，不能灵活运用。

比如，为什么一开始找不到解题的途径？为什么有了思路推进不下去？通过此题有什么教训？有什

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么经验？本题有没有其他的解法，这种解法是不是最佳方案等等。

反思小结是必不可少的一个步骤，但往往被忽略。只要努力做好这一步骤，便可能是我们的头脑聪明起来，吃一堑，长一智，碰个钉子买个明白。

让学生亲身体验。解题过程是求解几何综合题的关键，让学生在读信息，确认构造出基本图形，发展条件，问题转化，探索概括，得到接替策略的经历中，得到训练。有时图的能力，知识间的相互联系：由平行线想到角相等，想到对应线段成比例，想到基本图形；由图形的基本相似的到圆中的图形的认识。讲课时按照知识间的前后呈现层次进行，是不同的学生在一堂课中有所得，好同学吃得饱，中等学生在原有基础上提高

五 典型题目举例

一。圆中出现平行线（一）利用平行线的性质和判定1。已知：如图，P是O的直径CB延长线 上的一点，PA切O于点A,PA=15,PB=5,弦AD交CB于M,C2(1)若MA=MBMP,试判断CD与AP是否平行，并说明理由，(2)求弦AC的长。2.已知：如图，AB为圆的直径，DC切圆F于C,CDDC于D,交AC于F,CEAB于E,(1)写出图中所有相等的线段（不要求证明）(2)延长CE交圆于点D点，连结AP,设DC=3,ADF=3,试判断AP与DC的位置关系，并证明你的结论。DAOPMDCBB

OE

主要出现塔字形或八字形，利用平行线得到对应线段成比例

C（二）利用平行线得到对应线段成比例1。已知：如图，BD是O的直径，E是O上一点，直线AE交BD的延长线于点A,BCAE于点C,交O于点F,且AED=DBE(1)求证：AC是O的切线(2)若AD=BD,BC=4,求EF的长。FBOEAD

CE2.已知：如图，在ABC,DEBE交AB于D,O是BDE的外接圆.(1)求证：AC是O的切线(2)若AD=2,AE=4,求tanAED的值；(3)在第（2）问的条件下，求ABE的面积。ABC中，C=90,BE平分ADOB

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3。已知：直角三角形ABC中，ACB=90,O在AC上，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D,交AC于点E.(1)求证：DEOB(2)求证：BCAE=OCAD(3)若O的半径为3，tanBDC=2,求AD的长。4.已知：如图，AB为半圆O的直径，O为圆心，AB=6,延长BA到F,使FA=AB,若P为线段AF上的一动点（P与A重合），过P点作半圆的切线，切点为C,作CD交AB于D,过B点作BEPC的延长线于点E,连结AC,DE.(1)试判断线段AC，DE所在的直线是否平行，并证明结论;(2)设AC=x,AC+BE=y,求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。0BDC

OEA

FAOB

二． 圆中出现相似图形

（一） 出现基本图形

ADEAD

BCBC

1。已知，如图PA为O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10,PB=5,BAC的平分线交BC于D,与O 交于点E,(1)O的半径(2)sinBAP(3)ADAEABPDEOC

C2.已知:如图,BD为O的直径,A为BD延长线上一点,AC与O相切于点E,CBAB,如果AAE:EC=2:1,DE+BE=4+22求ABC的面积3.已知:ABC中,AD为BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径,交BC的延长线于点E,交AD于点,交AE于点M,且B=CAE,FE:FD=4:3(1)求证:AF=DF(2)如果BD=10,求ABC的面积页脚内容

EDOB

AFBDCME

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4.已知:ABC内接于O,AD是O的直径,点E,F分别在AB,AC的延长线上,EF交O于点M,N,交AD于点H,H是OD的中点,MD=DN3EH=8,HF=6,设ACB=,tan=,4(1)求证：ACBAEF(2)求BC的长

CABOFMHDNE

5.已知:ABC内接于O,AD是O的直径,点E,F分别在AB,AC的延长线上,EF交O于点M,N,交AD于点H,H是OD的中点,MD=DNEH-HF=2,EH和HF是方程x2-(k+2)x+4k=0的3两根,设ACB=,tan=,4F(1)求EH和HF的长(2)求BC的长ABOMHDNEC

4，5题给出不同的已知，降低了难度，通过对第4题的解决，为第5题奠定了基础，学生做起5题不在感觉吃力。

（二）圆中出现双垂直图形

1。已知：如图，AB为O的直径，点P在BA的延长线上，弦CDAB于点E,且PC2=PEPO.B(1)求证：PC是O的切线；(2)若OE:EA=1:2,PA=6,求O的半径.COEDA

P

通过图形的变换为止，进一步解决问题，学生能找到图形间的关系，一图多解。

2.已知:AB是O的直径,P是BA延长线上一点,CEAB于E,连结BC,AC,PCA=B(1)求证:PC是O的切线;POE1(2)若=,且PA=9,求O的半径及sinPEA2的值.CAEOB页脚内容

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3.已知：在ABC中，ABC=90,O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径作O与AB交于点E,与AC相切于点D,AD=2,AE=1.(1)求BCD的面积。(2)若F是线段BE上的任一点，FGAC,点G为垂足，设BF和CG的长分别为x和y,试求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域。AEOBC

D

这两个图形位置变化，已知也发生变化，但解题思路没有发生变化，让学生体会到几何图形间的关系，此图又是双垂直图形的变式。 三。圆中出现全等

DC4。已知：在ABC中，ABC=90,O是线段AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D,EB=BC=6.(1)求BCD的面积；(2)若F是线段BE上一点，FHAC,H是垂足，设CH和EF的长分别为x和y,试写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。DCAEOB1.已知：如图，AB是O的直径，CD切O于C,BDCD于D,CEAB于E.求证：CD2=AEEBAEOB

DFAOCEB2。已知：如图，AB为圆的直径，DC切圆于C,ADDC于D,交AC于F,CEAB于E.（1）写出图中所有相等的线段，并选择一对证明；（2）设DC=3,DF=3,求圆的半径。

FECAODGB3.如图，已知:AB是O的直径，C是O上的一点，CE切O于C,GEAE于E,AE的延长线交于F点，CDAB于点D.2如果CD=35,cosF=,求EF的长。3

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4.已知:ABC中,AD为BAC的平分线,以C为圆心,CD为半径,交BC的延长线于点E,交AD于点,交AE于点M,且B=CAE.B求证:AF=DFDAFDCBMCE

5.已知：如图，AB为圆的直径，DC切圆于C,CDAD于D,交AC于F,CEAB于E,延长CE交圆于点P，连结AP.求证：DAB=2PAB.FAOEP

6.已知：在直角三角形ABC中，ABC=90,D是AC的中点，O经过A,B,D三点，CB的延长线交O于点E(如图1),在满足上述条件的情况下，当CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等关系。（1）观察上述图形，连结图2种已标明字母的某两点，得到一条新 线段，证明它与线段CE相等；（2）在图2中，过点E作O的切线，交AC的延长线于点F. CF·1)若CF=FD,求sinACB的值；2）若=n(n>o),试用含n的代数式CD表示ACB（直接写结果）

CDACBDABOEOE

四.定值问题

1．已知：⊙I是⊿ABC的内切圆，半径为r，设BC=a, CA=b, AB=c.

1求证：SABCr(abc)

2图1图2AEIBFDAAOC

CB

BOC

2.已知：如图，ABC中，C=90,内切圆O与三边分别切于D,E,F,若O的半径为r,BE=n.试用r,n表示ABC的面积。页脚内容

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3.半径为r的圆的弦长为L,弦心距为d,弓形高为h.(1)用r和d表示L2;(2)用r和h表示L2.4.在锐角三角形ABC中，BC=a,CA=b,AB=c,外接圆的半径为R.abc求证：==sinAsinBsinC五．最值问题

CDB1。已知：如图，O的半径为R,C,D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96，BD的度数为36，动点P在AB上。求CP+PD的最小值。2.如图，设影院的地面与银幕不垂直，银幕上沿的一点A与地面上的点O的距离为a,下沿的一点B与地面上的点O的距离为b.试问面对银幕的观众坐在地面OC的什么地方看到画面的俯角最大.APO

ACB

六．动态几何题

运动几何图形隐含着不变的关系。

（一）几何教学参考（第三册）158页

O

D1。已知：AB为O的直径，直线L与O相切于E,与过点A,B的切线分别相交于D,C.求证： (1) ADBC=OE2 (2) DEEC=AOOBEAOCB

E1E2CB2.在第1题图1中，平移切线L，使它变为割线DE1E2C，E1F1DC交AB于F1，E2F2DC于F2.求证：(1)ADBC=E1F1E2F2 (2)DE1E2C=AF1F2B

DAF1OF2

3.在第1题图2中，继续平移直线L，使它与直径AB相交，E1F1DC交BA的延长线于F1，E2F2DC交AB的延长线于F2.求证：(1)ADBC=E1F1E2F2 (2)DE1E2C=AF1F2B.

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DE1EF1AOBF2C

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DE4.在第1题图1中，把直径AB变为与它平行的弦AB,OE交弦AB于F(图4）求证：（1）ADBC=EF2 (2) DEEC=AFFBCAOFB

DE1E2CAF1OF2B

5.在第1题图4中,平移切线L,变为割线DE1E2C,E1F1DC交AB于F1, E2F2DC交AB于F2(图5).求证：（1）ADBC=E1F1E2F2 (2) DE1E2C=AF1F2B.

6.在第1题图4中,继续平移切线L,使它与直径AB相交，E1F1DC交BA的延长线于F1, E2F2DC交AB的延长线于F2(图6).求证：（1）ADBC=E1F1E2F2 (2) DE1E2C=AF1F2B.

DF1AE1BOE2F2C

（二）

1.已知：如图，四边形ABCD中内接于O,AD和BC的延长线相交于点P,BA的延长线相交于Q,与CDP的平分线交AB于E,交CD于F.(1)求证：QEF是等腰三角形；(2)若Q的平分线为QG,交BC于G,求证：QGPE;(3)设QG交AD于H,求证四边形GFHE是菱形；(4)设AC与BD相交于M,PE交AC,BD于X.Y,求证MXY是 等腰三角形。QAEOFCPD

B

2.题1中四边形ABCD内接于O,四边形的对角线AC与BD垂直相交于点K,过点K的直线与边AD,BC分别向交于点H和M.求证：①如果KHAD,那么CM=MB;②如果CM=MB,那么KHAD.(2)让（1）中弦AC,BD的内分点K运动变化为外分点。（ACBD不变），结论变化吗？请证明。(3)让（2）中的割线KCA变为切线KA,(KAKB),有什么结论？(4)让（3）中的割线KDB变为切线KB,(KAKB),有什么结论?AHKOMCD

B

七 ．在几何图形中建立函数关系式

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N1.已知：在O中，AB为弦，直径MNAB于D,E为BD上一动点，连结ME且延长线交O于C,过C点作切线PC，交AB的延长线于P,OM=5,MD=2(1)设DE=x,PE=y,求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。15(2)当y=时，求SPCE2OA

DMAQPB

2.等边三角形ABC中,AB=2,P是AB边上的任意一点，（P可与A重合，但不与B点重合）过P作PEBC于E,过E点作EFAC于F,过F点作FQAB于Q,设BP=x,AQ=y.(1)写出y与x的函数关系式；(2)当BP的长等于多少时,P,Q点重合；(3)当线段PE,PQ相交时，写出线段PE,PF,FQ围成三角形的周长的取值范围.FC

B

ED3.点A在O外，射线AO与O交于F,G两点，点H在O上，FH=GH,D点是FH上一动点（不运动到F),BD是直径，连AB交O于C,连结CD,交AO于点E,且OA=5,OF=1,设AC=x,AB=y(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求证：AD是O的切线；(3)当DE,DC是方程x2-ax+2=0的两根时，求sinDAB的值。HOBGAFCE

4.如图在正方形ABCD中，AB=1,AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（E与A,D不重合），过E作AC的圆的切线，交DC于点F,G为切点.(1)当DEF=45时，求证G是线段EF的中点；(2)设AE=x,FC=y,求y与x的函数关系式，并求出函数的定义域；(3)将DEF沿EF翻折后得到D1EF,如图，5当EF=时，讨论ADD1ED1F是否相似，6若相似，加以证明，若不相似，只写结论，不写理由。AEGDFBC

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