山东理工大学概率自测

22【参考数据：t0.025(15)2.1315，z0.05(15)1.7531，z0.051.64，0，(15)27.488.0250.975(15)6.262】 一、填空选择题（每题2分，共30分; 请将各题的答案填入表格） 1、设A、B、C为三个随机事件，事件“A发生，B、C均不发生”可表示为________。 2、甲、乙、丙3位同学同时参加《概率论与数理统计》课程考试，不及格的概率分别为0.5，0.3，0.4，求至多有 一位同学不及格的概率________。 3、设X~(3)，Y在[0,2]上服从均匀分布，则E(2X3Y1)________。 4、从1,2,3,4中任取一个数记为X，再从1,,X中任取一个数，记为Y，则概率P{Y4} 。 5、设随机变量X的概率密度函数为fX(x)，则Y3X2的概率密度函数fY(y)________。 6、设样本X1,X2,,Xn来自总体X~N(,)，S表示样本方差，则22(n1)S22~________。（注明分布及参数） 7、设随机变量X~N(0,1)，X的分布函数为(x)，则P{|X|2}的值为________。 (A) 2(2) (B) (2) (C) 2(2)-1 (D) 1-2(2) 8、设随机变量X与Y互相独立，则下列结论中错误的是________。 (A) X、Y不相关 (B) E(XY)E(X)E(Y) (C) D(XY)D(X)D(Y) (D) D(XY)D(X)D(Y) 9、设X1,X2,X3是来自总体X的一个样本，E(X),D(X)2，在下列（未知）的无偏估计量中， ________最有效。 X1X2XX2X3111 (C) T3X1X2X3 (D) T41 26323 10、设总体X~N(,2)，参数,2均未知，X1,X2,,Xn是来自X的样本，X,S2分别表示样本均值和样本方 差，则的置信水平1(01)的置信区间为________。 (A) T1X1 (B) T2SSSS (A)  (B) (C) (D) Xt(n1)Xt(n1)Xt(n)Xt(n)/2/2 nnnn11.一个盒子装有1个红球和2个白球，某人从该盒中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他 所得分数的数学期望为 。 12、设总体X~N(,2)，其中,2均未知，X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，对于假设H0:22.4, H1:22.4,可采用 检验法进行统计推断。 x1x0，其中0为未知参数，X,X,,X是来自总体X的样本， 13、设总体X的概率密度为f(x)e12nx00X为样本均值，则参数的矩估计量为 。 14、同时掷两颗均匀的骰子，出现的两个点数之和为4的概率是 。 15、设随机变量X服从泊松分布，且PX14PX2，则PX3 ______. 二、解答下列各题（40分） 1、有甲、乙两个盒子，分别装有2个白球3个红球、1个白球4个红球。掷一枚均匀骰子，若出现的点数大于4 则选甲盒，否则选乙盒，然后从选中的盒子中任取一球，求取到白球的概率。 2、在冬季供暖季节，住房平均温度20℃，标准差2℃，试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4℃的 概率下界。 3、设随机变量X 在[2, 5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有一次观测值大于3 的概率。 kx0x24、设随机变量X的概率密度为f(x)，求： 0其它 (1) 常数k的值; (2) X的分布函数F(x); (3) E(X)，D(X) 5、若二维随机变量(X,Y)的分布律为 X -2 -1 1 2 Y 1 0 11 0 444 11 0 0 44 (1) 求边缘分布律； (2) 求在Y4的条件下X的条件分布律； (3) 计算P{XY5}； (4) 判断X与Y是否独立； (5) 判断X与Y是否相关。 共 3 页 第 1 页 6x0xy16、已知随机变量X与Y的联合概率密度为f(x,y)， 其他0 （1） 求关于X,Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立; （2）求概率：P{XY1}。 三、数理统计部分（共30分） x10x11、设总体X的密度函数为f(x,)，其中(0)未知，X1,X2,,Xn是来自总体的样本， 其他0 x1,x2,,xn是一组样本观察值，试求参数的最大似然估计量. 2、设某种保险丝熔化时间X~N(,2)（单位：秒），取n9的样本，得样本均值为x12，样本方差为 s20.25，求参数2的置信水平为95%的置信区间。 3、某电子元件的寿命（单位：小时）服从正态分布，从一批这样的元件中抽取16个样品，测得样本均值为933 小时，样本标准差为72小时。在显著性水平0.05下，是否可以认为该批元件的平均寿命显著地大于900 小时？ 四、设事件A、B、C相互独立，证明：AB和C相互独立。 参考 一、填空选择题（每题3分，共30分）

1y21) 6、2(n1) 7、C 8、C 9、D 10、B 1、ABC 2、0.65 3、2 4、 5、fX(331611、3 ；12、 2；13、X；14、1/12

(2.设A,B,C分别表示三人及格，则所求概率为P(ABCABCABCABC)

P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)=0.65)

二、1、解 设B表示点数大于4，A表示取到白球，则所求概率为

12214P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)

353515D(X)3 2、解 设X表示住房温度，则P(|XE(X)|4}116415122x53、解 fX(x)3 PX3fX(x)dxdx Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数，

33330其他2261则Y~b(3,)，PY11PY01

332721 4、解 (1) f(x)dxkxdx2k1k-------------------------------------------------4分

020x02xx1x (2) F(x)f(x)dxxdx 0x2----------------------------------------3分

0242x121214 (3) E(X)xf(x)dxx2dx，E(X2)x2f(x)dxx3dx2，

020232 D(X)E(X2)[E(X)]2--------------------------------------------------------3分

9 5、解 (1) Y 1 4 X -2 -1 1 2 pk 11pk 1111 224444(2) -2 -1 1 2 Xk PXk|Y4 10 0 1 223 (3) PXY5;(4) 由PX2,Y10PX2PY1知X、Y不独立;

4 (5) 因E(X)0,E(XY)0,Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0,XY0,故X、Y不相关.

16xdy6x(1x)0x16、解 fX(x)f(x,y)dyx，

0其他y6xdx3y20y1fY(y)f(x,y)dx0，

0其他f(x,y)fX(x)fY(y)，X,Y不独立。

3 P{XY1}nxy1f(x,y)dxdy120dx1xx6xdy1 4三、1、解 L()xi1n(x1x2xn)1，lnL()nln(1)ln(x1x2xn)，

i1

dlnL()nnnˆ， ln(x1x2xn)0dln(x1x2xn)ln(X1X2Xn)(n1)S2(n1)S280.2580.252、解 ,(0.114,0.917) 2(n1),2(n1)17.542.181/2/2x03、解 H0:0900,H1:0，tt(n1)1.7561，计算得t1.833，

s/n故拒绝H0，可以认为该批元件的平均寿命显著地大于900小时。

四、证 P((AB)C)P(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)---------------------------------------3分 P(A)P(C)P(B)P(C)P(AB)P(C)[P(A)P(B)P(AB)]P(C)P(AB)P(C)，结论成立-----2分