移动粒子半隐式法的研究进展及应用

龚少军;潘徐杰;姚震球

【摘 要】介绍了一种Lagrange无网格数值方法--移动粒子半隐式法,该方法使用粒子取代了传统方法中的网格,用粒子与其周围粒子之间的关系取代了传统方法中的差分项,利用粒子数密度的变化来识别自由表面.由于使用了Lagrange形式的控制方程,避免了可能出现的数值发散情况.重点介绍了该方法的理论基础,研究热点及进展等.

【期刊名称】《江苏科技大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2009(023)006 【总页数】6页(P484-489)

【关键词】移动粒子半隐式法;无网格;数值模拟 【作 者】龚少军;潘徐杰;姚震球

【作者单位】南通航运职业技术学院,江苏,南通,226010;上海交通大学,船舶海洋与建筑工程学院,上海,200030;江苏科技大学,船舶与海洋工程学院,江苏,镇江,212003 【正文语种】中 文 【中图分类】O357.1

船舶计算流体力学是船舶与海洋工程学科里的一个重要研究领域,带自由表面流动是船舶计算流体力学问题的一个重要特征,如液舱的共振晃荡、船舶的耐波性等大多都具有自由表面,自由面有它本身所固有的性质,它的特性给问题的求解带来很大

的困难, 在理论上自由面流动解的存在性和唯一性至今还没有完全解决[1],尽管基于MAC法或VOF法的Navier-Stokes方程模拟方法在有自由表面的流体力学问题中已经取得明显的进展,但是这类数值模型在遇到诸如自由表面剧烈变形、边界几何形状极不规则等情况下,计算比较烦琐,并且对流项也会出现数值耗散情形．无网格法是近年来兴起的一类数值模拟方法,移动粒子半隐式法(Moving-Particle Semi-Implicit Method, MPS)是一种新的基于Lagrange粒子的无网格方法,MPS法着眼于跟踪粒子的运动学和动力学性质变化过程,各粒子之间通过核函数相互联系,用Gradient模型和Laplace模型离散控制方程,由于MPS法使用Lagrange形式的Navier-Stokes方程作为控制方程,方程中不直接出现对流项,可以避免数值耗散问题,同时MPS法中不需要建立粒子间的拓扑关系,尤其适合对自由表面的模拟,即使在剧烈变形情况下,也能取得较好的效果,鉴于MPS法在处理和表现自由表面时有独到之处,因此，MPS法提出不久,便逐渐成为船舶与海洋工程中无网格计算流体力学方法的研究热点和前沿课题． 1 MPS数值计算方法

MPS使用Lagrangian形式的Navier-Stokes方程作为控制方程 =0 (1) P+vu+F (2)

式中,ρ为流体的密度,t为时间,u为速度矢量,P为压力,F为体积力．MPS使用Gradient模型和Laplacian模型取代控制方程中的项 (3)

(4)

式(3)是Gradient模型,式(4)是Laplacian模型,d是空间的维数,n0是初始粒子数密度,矢量ri和矢量rj是粒子i和粒子j的坐标,式(4)中的λ可由式(5)求得,粒子数密度n0可由式(6)求得 (5) (6)

在式(3～6)中，w(d)为核函数．研究表明,核函数在MPS模拟中扮演着重要的角色,MPS中的每一个粒子是使用核函数来同其他粒子进行作用的,所以即使是同一个模拟,采用不同的核函数也会导致不同的结果．从目前看,MPS使用的主流核函数如表1和图1．

图1 不同核函数的曲线Fig.1 Different kernel functions

表1 MPS中的常见核函数Table 1 Different kernel functions of MPS核函数 核函数方程KF1w(d)=re/d-1 0≤d在核函数中,re为核函数作用距离,d为两粒子间的距离．MPS中的压力,可由压力Poisson方程求得 (7)

由所有粒子的压力泊松方程建立的方程组可由ICCG法求得．对于自由表面的判

断,MPS使用粒子数密度的变化,通过下式来识别 i<βn0 (8)

n0 为在模拟初始求得的粒子初始数密度,i为在某个时间步下的粒子i的数密度,MPS理论推荐β可以选取介于0.8～0.99之间的数．有了上述的方程,MPS法的计算过程如图2．

图2 MPS法的模拟顺序Fig.2 Algorithm of MPS simulation 2 移动粒子半隐式法的研究进展

MPS最早由Koshizuka于1995年提出的一种用于计算不可压缩流体运动的无网格方法,其基本思想与早期的SPH方法类似,通过各代表流体或边界条件粒子的性质来表现出流场的时-空物理特征．在MPS法中,采用Lagrange形式的Navier-Stokes控制方程,不出现对流项,每个计算部分为显式和隐式2步：第1步考虑重力与边界条件的影响,对粒子的速度和坐标进行显式修正；第2步由第1步引起的粒子数密度变化为条件,建立压力Poisson方程,求得压力场后对粒子进行第2次隐式修正,使得粒子的数密度回到初始状态,满足了不可压缩条件．在MPS法中,控制方程各项由粒子与其周围粒子的关系得到,方程通过这种关系进行离散．尽管MPS法提出的时间较短,但该方法已被运用到众多领域中,证明其具有广泛的适用性和良好的应用前景．同传统的网格法比较,MPS法由于控制方程中不存在对流项,避免了可能存在的数值耗散;由于使用可移动的粒子来代表流体,使得在剧烈变形自由表面的模拟中能够较为满意地表现出自由表面的形状;并且粒子布置容易性使得MPS法用在各种复杂边界条件中均能得心应手．

最初Koshizuka使用溃坝模型结合实验说明了MPS新方法在一定程度上的适用性,当时研究的重点还只集中在方法本身各种参数的选择上,确定了在模拟过程中Gradient模型和Laplacian模型中的核函数可使用不同的作用距离,而在

Laplacian模型中使用较大的作用距离使得在求解压力Poisson方程时有更高的准确性,此后很多的MPS研究中均在Gradient模型和Laplacian模型中使用不同的核函数作用距离;之后Koshizuka课题组致力于将该方法应用于核热工程领域中去,如两相流、反应堆的蒸汽膜覆盖的液滴水力学特性等．

随后,MPS法在各个领域中得到了较为广泛的应用．1999年,Gotoh用MPS法来模拟波浪的传播问题,讨论了挡板在带有固定不可穿透斜面的水槽中突然运动问题以及可穿透斜面的流体粒子运动过程问题，模拟了带有垂直墙的破碎波问题．Sueyoshi用MPS法在船舶与海洋工程方面,由浅至深做了一系列的研究．且Sueyoshi首次提到了由MPS法引起的压力振荡问题．在此之前,有关MPS法的研究重点在MPS的基础问题上,而对压力场的关注不够．Sueyoshi借助压力片原理,使用简单的面积和时间平均,很大程度上修正了压力振荡现象,取得了不错的效果.2003年,Sueyoshi在之前研究的基础之上,用MPS法全面研究了具有液舱和不具有液舱的二维浮体在由数值水池模拟出恶劣海况下的运动,其中还模拟了破损情况下二维浮体的运动等[2]．

2005年,Gotoh[3]用MPS法模拟了水跃问题,Xie[4]再次将MPS法运用到了核工程中去,与以往不同的是,这次Xie使用的是三维的MPS模型,模拟了液滴在流场中的自由沉降问题,模拟出了沉降过程的环状雾流．2006年,Wang[5]通过MPS法与fBm的耦合实现了碎波的模拟．通过fBm由2D扩展到了3D,这为MPS的3D计算提供了另一种可借鉴的方法．另外,Alam[6]使用MPS法模拟了楔形体入水问题,对于水面的破碎又分考虑表面张力和不考虑表面张力两种情况．2008

年,Sueyoshi再次使用MPS法模拟了甲板上浪问题;而Pan[7]先后使用MPS法模拟了晃荡及不同船舶二维横剖面的横摇阻尼问题．

由于MPS法提出后在理论上尚不完善,所以有许多研究致力于丰富MPS算法自身．2001年,Gotoh将大涡湍流模式嵌入到MPS法中去,首先实现了MPS的大涡

模拟．由于MPS法在控制方程的形式、离散方式、甚至是计算流程上,都同SPH法有一定的相似性,Gotoh借鉴早期的SPH法中的大涡湍流模式的应用方式,将大涡湍流模式引入至MPS法中,并且利用溃坝模型来说明其可行性．Shao[8]2005年重复了上述工作,并且Shao还使用带有大涡湍流模式的MPS法和SPH法模拟同一个溃坝模型．在亚格子应力方面,Gotoh和Shao均使用了较早的Smargorinsky涡粘模式,取得不错的效果．

2001年Chikazawa将MPS法使用到流体和弹性边界的相互作用中,除流体外,弹性边界也用MPS法的模型进行离散,丰富了MPS法在弹性体控制方程中的算法,包括算子和新的边界条件,这是MPS法在计算结构力学中的首次应用．包括一个带有弹性挡板的数值水池和一个受到自由落体流体团冲击的弹性悬臂梁,两个模型被成功地模拟,说明MPS法在流体和弹性边界作用中也是可行的．

2004年,Hibi专门研究由MPS法自身引起的压力振荡问题,这是继Sueyoshi的研究后对压力振荡现象的再次关注．不同的是,在Sueyoshi的研究中涉及压力振荡的部分较少,并且只使用了简单的面积时间平均,而Hibi则全面地研究了MPS法的压力振荡问题,提出了4种不同的方法来缓解压力振荡现象,包括新的底部流体粒子压力计算方式，异相异性的核函数，两次的ICCG迭代，以及修改的压力Poisson方程．Hibi使用这4种不同的方式,结合晃荡模拟与晃荡实验,验证方法的有效性,并取得了一定的效果．但是Hibi的方法同Sueyoshi的方法相比,效果上并没有显著提高,而算法的复杂度却大大地提升了,所以到目前为止,Hibi的方法不如Sueyoshi方法应用广泛．

2006年,Ataie-Ashtiani[9]讨论了多种已提出的核函数在溃坝模型中使用的情况,选取的是同Koshizuka一致的溃坝模型,讨论了包括不同核函数和不同核函数作用范围引起的模拟过程中自由表面粒子数目不等,以及自由表面的不同等情况．类似的研究Pan也做过,这次不同的是Pan使用的是晃荡模型,直接讨论不同核函数在

模拟中的表现,并与差分VOF法的结果相比较．上述两个研究结果表明,在不同模拟中,核函数扮演着重要的角色,尤其是不同模拟的边界条件运动方式．

2007年,Lee[10]使用MPS法模拟了具有刚性和弹性边界的晃荡及溃坝问题．Lee将MPS同有限元耦合在一起,流体部分通过MPS法考虑,而固体部分则使用有限元考虑;同年,Ikejiri[11]模拟了单气泡上升过程,尝试着将粒子与网格结合使用,同MPS法一样，每个时间步的模拟分为2步：第1步使用MPS方法进行模拟；第2步则使用有限体积法进行模拟．上述2个研究均成功地实现了MPS法同其他数值方法的耦合．

还有一些研究工作是在MPS法的基础上进行较大幅度的改进,从而形成一种新的方法以弥补MPS法中的一些不足,或者在理论上对MPS法有所提高．最早对MPS法的改进来自Yoon,Yoon[12]在MPS法提出后不久就在其基础上发展了一种新方法——Meshless Advection Using Flow-Direction Local-Grid

Method,MAFL．该方法是一种Lagrange与Euler结合的粒子法,同MPS法不同的是,它支持不均布粒子,使用MPS法中的Gradient模型和Laplacian模型．由于粒子的不均匀分布,MPS中以保持粒子数密度不变来实现不可压缩的理念不再适用,所以MAFL在压力修正后又增加了一步类似QUICK算法的修正以实现不可压缩．该算法的最大意义在于实现了粒子不均匀布置,这对船舶与海洋工程研究领域有着重大意义,因为不均布的粒子在考虑边界层等问题上有很大的优势,这样使得在某些不太重要的区域使用较稀疏的粒子以减小计算量．Yoon使用反应堆蒸汽液滴和晃荡的实例说明了方法的可行性．但是使用了不均布粒子布置后带来了2个棘手的问题:①自由表面的判别,不均布分布的粒子使得MPS法中使用粒子数密度变化来判别自由表面的方法不再可行;②由于Lagrange算法中粒子的运动性,在长时间周期性的模拟中,如何保证较密集分布的粒子总处在希望出现的位置也成为一个难题．虽然Yoon在算例中使用了具有自由表面和周期性的晃荡实例,但遗憾的是

在该实例中Yoon仍然采用了均布粒子借助MAFL算法来实现,实质上并未解决由不均布粒子带来的难题，并且由于改进后的方法增加了计算量和算法的复杂度,所以到目前为止，MAFL法应用并不广泛．

2007年,在Yoon的MAFL法之后,Suzuki又对MPS[13]进行了较大规模的改进,提出一种新的算法——Hamiltonian Moving-Particle Semi-Implicit(HMPS)．HMPS将整个流场的粒子视为一个Hamiltonian系统,算法直接分解Lagrange形式的控制方程．由于将整个流场视为Hamiltonian系统,整个模拟中所有粒子整体完全保证能量和动量守恒,这同MPS法相比是一个进步,大大提高了算法的复杂度．通过改进MPS以提高算法稳定性的努力仍在继续,2008年Khayyer[14]在MPS基础之上发展出Corrected Moving Particle Semi-implicit Method(CMPS)．该方法从动量守恒角度出发,修正了MPS理论,同HMPS将整个流场视为一个Hamiltonian系统以保证能量和动量守恒不同的是,CMPS是以单个粒子为基础来保证动量守恒的．在算法中,CMPS对MPS的修改仅体现在压力Poisson的建立上,有效降低了修改后算法的复杂度．HMPS和CMPS都是以提高MPS稳定性为目的,借助守恒手段来实现的基于MPS的修改法,HMPS同时考虑了能量与动量守恒,而CMPS在算法简洁性上更有优势．但在两个算法所给的算例中,均没有给出模拟实例压力值的表现情况,而压力的振荡性则是现有MPS法中存在的比较大的问题．

在国内对MPS研究的重点放在液滴的水力特性和溃坝模型两个方面．在液滴的水力特性方面,段日强先后在2005年和2006年模拟了蒸汽膜覆盖的液滴破裂现象[15],多相多组分含复杂界面变形的流动和闪蒸射流过程．孙中国[16]在2007年模拟了二维情况下水中气泡自由上升运动;在溃坝模型方面,李邵武[17],席光[18]、孙中国、徐刚[19]也先后用MPS法进行了反复的尝试;MPS在其他方面的应用比较典型的有郭隽[20]在边界条件的改进等．

3 结论

MPS从1995年提出至今已有十多年,MPS凭借明了的算法流程,简洁的自由表面捕捉,无数值发散性,以及在不可压缩流体模拟中的良好表现,从2000年开始,得到广泛应用,而MPS在日本的研究热度要明显高于其他地区．从整体上看,MPS的研究主要集中在以下3个层面:

1) 拓展MPS的应用范围．MPS最初提出的目的是应用在核热工程领域的气泡模拟中,而将MPS使用到各个领域则扩展了MPS的使用范围．除了应用比较多的不可压缩流体外,MPS还应用于血液、弹性体等．而在应用最多的不可压缩流体中,MPS在包括晃荡、甲板上浪、楔形体入水、船舶大幅度横摇及倾覆、数值造波等领域均有较成功的应用．但是应该注意到,MPS在各领域的应用主要还集中于较简单的实例模拟,同差分在复杂实际工程中的良好表现相比尚有一定距离． 2) 对MPS算法的改进．由于MPS算法自身还不完善,所以有许多研究致力于弥补MPS的不足,以提高MPS的实用性．这方面比较典型的有不同核函数的适用性，压力振荡现象的处理，粒子碰撞模型，湍流模式等等．这些方法的提出弥补了MPS的不足,在某些领域取得很不错的效果,在整体上这些方法还需进一步检验以证明其可行性．

3) 对MPS算法的提高．在MPS算法的基础上提出新的算法是完善MPS的另一思路．比较典型的有MAFL，HMPS，CMPS．这些算法虽然解决了MPS算法的一些问题,但是同时带来了新的问题．如MAFL虽然实现了粒子的不均匀布置,但自由表面的判别和保证密集粒子在合适位置运动成了一个新的难题;HMPS虽然提高了算法的守恒性但极大地增加了算法的复杂度等．在这些问题解决前,这些新算法的适用范围仍很局限． 参考文献(References)

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