3马井堂高二数学椭圆试题(有答案)

一：选择题 1.已知方程

表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）

C． ﹣1＜m＜2 D． m＞2或﹣2＜m＜﹣1 A．m＞2或m＜﹣1 B． m＞﹣2 解：椭圆的焦点在x轴上 22∴m＞2+m，即m﹣2﹣m＞0 解得m＞2或m＜﹣1 又∵2+m＞0 ∴m＞﹣2 ∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1 故选D ，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（ ） 5 B． 7 C． 8 D． 2.已知椭圆 4 A． 解：将椭圆的方程转化为标准形式为显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6， ，解得m=8 故选D 223．椭圆（1﹣m）x﹣my=1的长轴长是（ ） A．B． C． 22， D． 解：由椭圆（1﹣m）x﹣my=1，化成标准方程： 由于 ， ∴椭圆（1﹣m）x﹣my=1的长轴长是2a=2故选B． 22=． 4．已知点F1、F2分别是椭圆

+

=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2

的周长为8，则椭圆的离心率为（ ） A．B． C． D． 解：由椭圆定义有4a=8 2∴a=2，所以k+2=a=4 ∴k=2． 从而b=k+1=3，c=a﹣b=1，所以2222， 故选A 5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ） A．B． （x≠0） C．（x≠0） D． （x≠0） （x≠0） 解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8 ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4 2∴b=20， ∴椭圆的方程是故选B． 6．方程 A． B． =10，化简的结果是（ ） C． D． 解：根据两点间的距离公式可得： 表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离， 所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10， 因为|F1F2|=2＜10， 表示所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2， 所以b=21． 所以椭圆的方程为：故选D． 7．设θ是三角形的一个内角，且

，则方程xsinθ﹣ycosθ=1表示的曲线

2

2

2． 是（ ） A．焦点在x轴上的双曲线 B． 焦点在x轴上的椭圆 焦点在y轴上的双曲线 C．D． 焦点在y轴上的椭圆 解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以，θ∈（ ，π）， 且|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（ 22，），从而cosθ＜0， 从而xsinθ﹣ycosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆． 故选 D． 8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A．B． C． D． 解：设点P在x轴上方，坐标为∵△F1PF2为等腰直角三角形 ∴|PF2|=|F1F2|，即故椭圆的离心率e=故选D ，即 ， 9.从椭圆

上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与

x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A．B． C． D． 解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0）， 则+=1， ∴y0=， ）， ∴P（﹣c，又A（a，0），B（0，b），AB∥OP， ∴kAB=kOP，即∴b=c． ==， 设该椭圆的离心率为e，则e=2===， ∴椭圆的离心率e=故选C． ． 10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

的最大值为（ ）

2 A． 3 B． 6 C． 8 D． 解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有因为所以=此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2， 因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，故选C． 11.如图，点F为椭圆

取得最大值，， ，解得， =， ， =1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆

短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D． 解：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线， ∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b， 又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c， 直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）+b=c，又a﹣b=c， 可求得离心率 e==，故答案选 B． 22222212．椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距

离等于 A． ，则椭圆的离心率e=（ ）

B． C． D． 解：由题意可得直线AB的方程为即bx+ay﹣ab=0，F（c，0） ∴F（c，0）到直线AB的距离d==，|AF|=a﹣c 则∴a=3b 222∴a=3a﹣3c 22即3c=2a ∴= 22 故选B 13．已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1||PF2|

2

2

的最大值的取值范围是[2c，3c]，其中c= A．[ ，] B． [，1） 2．则椭圆的离心率的取值范围为（ ）

C． [，1） D． [，] 解：∵|PF1|•|PF2|的最大值=a， 222∴由题意知2c≤a≤3c， ∴， ∴故选A． ．故椭圆m的离心率e的取值范围 ． 14．在椭圆

圆离心率的取值范围是（ ） A．B． 中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭

C． D． 解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，故，即，又e＜1， ． ，即a≤3c ， 故该椭圆离心率的取值范围是故选B． 二：填空题 15.已知F1、F2是椭圆C：

（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且

．若△PF1F2的面积为9，则b= 3 ．

解：由题意知△PF1F2的面积=∴b=3， 故答案为3． ， 16．若方程 解：∵+表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 4＜k＜7 ．

=1表示焦点在y轴上的椭圆， ∴k﹣1＞7﹣k＞0． ∴4＜k＜7． 故k的取值范围是4＜k＜7． 故答案为：4＜k＜7． 17.已知椭圆 的焦距为2

，则实数t= 2，3，6 ．

解：当t＞5t＞0即t＞5时，a=t，b=5t 22此时c=t﹣5t=6 解可得，t=6或t=﹣1（舍） 2222当0＜t＜5t即0＜t＜5时，a=5t，b=t 2222此时c=a﹣b=5t﹣t=6 解可得，t=2或t=3 综上可得，t=2或t=3或t=6 故答案为：2，3，6 18.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则

=

．

2222解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8 由正弦定理得故答案为 = 19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a

为半径作圆M，若过

．

作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为

解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形， 故解得故答案为， ， ． 20.若椭圆

的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x+y=1的切线，切点分别为A，

2

2

B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是 ．

解：设切点坐标为（m，n）则 即∵m+n=1 ∴m 22 即AB的直线方程为2x+y﹣2=0 ∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 ∴2c﹣2=0；b﹣2=0 解得c=1，b=2 2所以a=5 故椭圆方程为 故答案为三：解答题 21.已知F1，F2为椭圆

的左、右焦点，P是椭圆上一点．

（1）求|PF1|•|PF2|的最大值；

（2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为 ，求b的值．

解：（1）∵P点在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=20， ∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤∴|PF1|•|PF2|有最大值100． （2）∵a=10，|F1F2|=2c． 设|PF1|=t1，|PF2|=t2， 则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20①， 在△F1PF2中，∠F1PF2=60°， 222所以根据余弦定理可得：t1+t2﹣2t1t2•cos60°=4c②， 22由①﹣②得3t1•t2=400﹣4c， 所以由正弦定理可得：=所以c=6， ∴b=8． ． =100， 22.如图，F1、F2分别是椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，

B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．

解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==． （Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m， 222在三角形BF1F2中，|BF1|=|BF2|+|F1F2|﹣2|BF2||F1F2|cos120° ⇔（2a﹣m）=m+a+am．⇔m=△AF1B面积S=|BA||F1F2|sin60° ⇔⇔a=10， ∴c=5，b=5=40 222． ． 23.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点． （1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为 F（﹣2，0），从而有2222，解得c=2，a=4， 又a=b+c，所以b=12，故椭圆C的方程为（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t， ． 由得3x+3tx+t﹣12=0， 2222因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）﹣4×3（t﹣12）≥0，解得﹣4另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2， ≤t≤4， 由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在． 的左、右焦点，过F1斜率为1的直线

24.设F1，F2分别是椭圆

ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （1）求E的离心率；

（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程 解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|， 得l的方程为y=x+c，其中． 设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组2222222 化简的（a+b）x+2acx+a（c﹣b）=0 则 因为直线AB斜率为1，得，故a=2b 22所以E的离心率 （II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1， 即得c=3，从而故椭圆E的方程为 ． ，． 25.设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直

线被椭圆截得的线段长为．

（Ⅰ） 求椭圆的方程；

（Ⅱ） 设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若 解：（I）根据椭圆方程为． ，求k的值．

∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为∴=， ，∴=， ． ； ， ∵离心率为解得b=，c=1，a=∴椭圆的方程为（II）直线CD：y=k（x+1）， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 由消去y得，（2+3k）x+6kx+3k﹣6=0， 222∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0）， ∴ ，y2）•（﹣x1．﹣y1） =（x1﹣，y1）•（﹣x2．﹣y2）+（x2+222=6﹣（2+2k）x1x2﹣2k（x1+x2）﹣2k， =6+=8，解得k=． 26.设椭圆E：

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

，O为坐标原点

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且

？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．

解：（1）因为椭圆E：过M（2，），N（（a，b＞0） ，1）两点， 所以解得 所以椭圆E的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆， 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B， 且2，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组2222 得x+2（kx+m）=8，即（1+2k）x+4kmx+2m﹣8=0， 222222则△=16km﹣4（1+2k）（2m﹣8）=8（8k﹣m+4）＞0， 即8k﹣m+4＞022，要使， 需使x1x2+y1y2=0， 即， 所以3m﹣8k﹣8=0，所以22又8k﹣m+4＞0， 22所以，所以， 即或， 因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为， ， ，所求的圆为此时圆的切线y=kx+m都满足， 或， 而当切线的斜率不存在时切线为存在圆心在原点的圆， 与椭圆的两个交点为或使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且． 因为， 所以，①当k≠0时 因为所以， 所以， 所以2当k=0时，当且仅当 时取”=”． 27.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭

圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点． （1）求椭圆C的方程；

（2）求线段MN的长度的最小值；

（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0）， 上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1 故椭圆C的方程为（4分） （2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），2222从而，由得（1+4k）x+16kx+16k﹣4=0 设S（x1，y1），则得，从而 即，（6分） 又B（2，0）由得， ∴故又k＞0，∴，（8分） 当且仅当，即时等号成立． ∴ 时，线段MN的长度取最小值（10分） （2）另解：设S（xs，yS），线斜率存在， 由kAM=kAS，可得依题意，A，S，M三点共线，且所在直同理可得：又 所以，=不仿设yM＞0，yN＜当且仅当yM=﹣yN时取等0号， 即 （3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为 ，∴时，线段MN的长度取最小值． （11分） ， 要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于所以T在平行于BS且与BS距离等于设直线l'：x+y+t=0，则由的直线l'上． 或． ，此时点T有两个满足条，解得又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得件．（14分）