2015年河南高考数学真题

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1+z（1） 设复数z满足＝i，则|z|＝

1z(A)1 (B)2 (C)3 (D)2 (2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝ (A)1133 (B) (C) (D)

2222(3)设命题P：nN，n2>2n，则P为

(A)nN， n2>2n (B) nN， n2≤2n (C)nN， n2≤2n (D) nN， n2＝2n

(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互，则该同学通过测试的概率为

(A)0.8 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

x2 (5)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21 上的一点，F1、F2是C上的两个焦

2点，若MF1MF2＜0，则y0的取值范围是

(A)(－

33，) 33(B)(－33，) 66

1 / 6

(C)(22222323，) (D)(，) 3333(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有

委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛

(7)设D为ABC所在平面内一点BC3CD，则

1414ABAC (B) ADABAC 33334141(C) ADABAC (D) ADABAC

3333(A) AD

(8)函数f(x)＝(A)(

)，k

的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 (b)(

)，k

(C)()，k (D)()，k

(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

2 / 6

2r （10）(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为 (A)10 (B)20 (C)30 (D)60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20，则r＝ (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

r 正视图 r 2r 12.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的 整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( ) A.[

333333，1) B. [,) C. [,) D. [，1)

2e42e42e2e俯视图

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)若函数f(x)＝xln(x＋ax2)为偶函数，则a＝ 3 / 6

(14)一个圆经过椭圆程为 .

的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方

x10y(15)若x，y满足约束条件xy0，则的最大值为 .

xxy40(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 .

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，(Ⅰ)求{an}的通项公式： (Ⅱ)设

，求数列

}的前n项和

E

F

(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， A D

DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC

B (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量

C

年宣传费(千元)

x y w x11(x1－x)2 x11(w1－w)2 x11(x1－x)(y－x11(w1－y) 4 / 6

w)(y－y)

46.6 56.3 6.8 2.8 1.6 1469 108.8 1表中w1 ＝x1， ，w ＝

8w1

x11(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)„„.. (un vn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

(uu)(vv)iii1n(uu)ii1n,vu

2

(20)(本小题满分12分)

x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，

4(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

(21)(本小题满分12分)

1已知函数f(x)＝x3ax,g(x)lnx

4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线yf(x) 的切线； (Ⅱ)用min

m,n 表示m，n中的最小值，设函数

h(x)minf(x),g(x)(x0) ，讨论h(x)零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号

5 / 6

C E D A B O

后的方框涂黑.

(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E

（I） 若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线； （II） 若OA＝3CE，求∠ACB的大小.

(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中.直线C1:x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I） 求C1，C2的极坐标方程； （II） 若直线C3的极坐标方程为△C2MN的面积

4R，设C2与C3的交点为M，N ，求

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

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